專題六數(shù)列（教師版）

專題六數(shù)列真題卷題號考點考向2023新課標1卷7等差數(shù)列等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列的性質(zhì)20等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項公式及基本量計算2023新課標2卷8等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)18等差數(shù)列、數(shù)列的綜合應(yīng)用求等差數(shù)列的通項公式及前n項和、數(shù)列的綜合應(yīng)用（不等式證明）2022新高考1卷17數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項公式、裂項相消法求和2022新高考2卷17等差數(shù)列、等比數(shù)列等差、等比數(shù)列的通項公式2021新高考1卷16數(shù)列的實際應(yīng)用錯位相減法求和17數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項公式、公式法求和2021新高考2卷12等比數(shù)列數(shù)列的新定義問題17等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列求和2020新高考1卷14等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列、數(shù)列求和求等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和2020新高考2卷15等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列求等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列求和【2023年真題】1.（2023·新課標I卷第7題）記為數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列：乙：為等差數(shù)列，則(

)A.

甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列前n項和、充分必要條件的判定，屬于中檔題．結(jié)合等差數(shù)列的判斷方法，依次證明充分性、必要性即可.【解答】解：方法為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為d，則，，，故為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件，，反之，為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為t即，故故，兩式相減有：，對也成立，故為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選方法因為甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為即，則，故為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，乙：為等差數(shù)列即，即當(dāng)時，上兩式相減得：，所以當(dāng)時，上式成立．

又為常數(shù)所以為等差數(shù)列．則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選C.2.（2023·新課標=2\*ROMANII卷第8題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則(

)A.120 B.85 C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于中檔題.利用等比數(shù)列前n項和之間差的關(guān)系可知，，，成等比數(shù)列，列出關(guān)系式計算即可得解.【解答】解：，，，成等比數(shù)列，從而計算可得故選3.（2023·新課標I卷第20題）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且令，記，分別為數(shù)列的前n項和.若，，求的通項公式;若為等差數(shù)列，且，求【答案】解：因為，故，即，故，所以，，，又，即，即，故或舍，故的通項公式為：方法一：基本量法若為等差數(shù)列，則，即，即，所以或當(dāng)時，，，故，，又，即，即，所以或舍當(dāng)時，，，故，，又，即，即，所以舍或舍綜上：方法二：因為為等差數(shù)列且公差為d，所以可得，則解法一：因為為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式可知與n的關(guān)系滿足一次函數(shù)，所以上式中的分母“”需滿足或者，即或者解法二：由可得，，，，因為為等差數(shù)列，所以滿足，即，兩邊同乘化簡得，解得或者因為，均為等差數(shù)列，所以，，則等價于，①當(dāng)時，，，則，得，解得或者，因為，所以②當(dāng)時，，，則，化簡得，解得或者，因為，所以均不取;綜上所述，【解析】本題第一問考查數(shù)列通項公式的求解，第二問考查等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)，等差數(shù)列基本量的求解，計算量較大，為較難題.

4.（2023·新課標=2\*ROMANII卷第18題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，求的通項公式；證明：當(dāng)時，【答案】解：設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意知：，即，解得由知，，，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)且時，即時，，當(dāng)n為奇數(shù)且時，即時，當(dāng)時，【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式等.由已知，，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式展開，即可得出等差數(shù)列的首項，公差，進而得出通項公式由知，可得，數(shù)列的通項公式，進而，分兩情況討論，當(dāng)n為偶數(shù)時，中含有偶數(shù)項，相鄰兩項兩兩一組先求和，得出當(dāng)n為奇數(shù)時，為偶數(shù)，此時最后只需證明即可.【2022年真題】5.（2022·新高考I卷第17題）記為數(shù)列的前n項和，已知，是公差為的等差數(shù)列.

求的通項公式;

證明：【答案】解：，

則①，②;

由②①得：

當(dāng)且時，

，

又也符合上式，因此

，

，

即原不等式成立.

【解析】本題考查了數(shù)列與不等式，涉及裂項相消法求和、等差數(shù)列的通項公式、根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式等知識，屬中檔題.

利用進行求解然后化簡可求出的通項公式;

由可求出，然后再利用裂項相消法求和可得.

6.（2022·新高考II卷第17題）已知為等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列，且

證明：

求集合中元素個數(shù).【答案】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d

由，知，故

由，知，

故故，整理得，得證.

由知，由知：

即，即，

因為，故，解得，

故集合中元素的個數(shù)為9個.

【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，解指數(shù)不等式，集合中元素的個數(shù)問題，屬于中檔題.

【2021年真題】7.（2021·新高考II卷第12題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記，則(

)A. B.

C. D.【答案】ACD

【解析】【分析】本題重在對新定義進行考查，合理分析所給條件是關(guān)鍵，屬于拔高題.

利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【解答】解：對于A選項，，，

則，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選8.（2021·新高考I卷第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____________________；如果對折次，那么__________【答案】5；【解析】【分析】本題考查實際生活中的數(shù)列問題，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)題設(shè)列舉，可以得到折疊4次時會有五種規(guī)格的圖形.由面積的變化關(guān)系得到面積通項公式，從而由錯位相減法得到面積和.【解答】解：對折3次時，可以得到，，，四種規(guī)格的圖形.

對折4次時，可以得到，，，，五種規(guī)格的圖形.

對折3次時面積之和，對折4次時面積之和，即，，，，……

得折疊次數(shù)每增加1，圖形的規(guī)格數(shù)增加1，且，

記，

則，

，

得，

，

故答案為5；9.（2021·新高考I卷第17題）已知數(shù)列滿足，，記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；求的前20項和.【答案】解：=1\*GB2⑴，且，則，，且，則；，可得，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列；故.數(shù)列的前20項中偶數(shù)項的和為，又由題中條件有，，，，故可得的前20項的和【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系式運用，等差數(shù)列通項公式求法，數(shù)列求和，考查了分析和運算能力，屬于中檔題.

結(jié)合題干給的遞推關(guān)系，可以快速的算出和，同時利用可判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列通項公式;

的前20項的和可分組求和，求出其對應(yīng)的偶數(shù)項的和，再結(jié)合奇數(shù)項與偶數(shù)項的關(guān)系求解即可.10.（2021·新高考II卷第17題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，求數(shù)列的通項公式；求使成立的n的最小值．【答案】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有，，從而，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項公式為：由數(shù)列的通項公式可得，

則，則不等式即，整理可得，解得或，又n為正整數(shù)，故n的最小值為【解析】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用.

由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【2020年真題】11.（2020·新高考I卷第14題、II卷第15題）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項和為__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的特定項與性質(zhì)以及等差數(shù)列求和.

利用公共項構(gòu)成首項為

，公差為的等差數(shù)列，利用求和公式即可求出答案.【解答】解：數(shù)列

的首項是，公差為的等差數(shù)列；數(shù)列

的首項是，公差為的等差數(shù)列；公共項構(gòu)成首項為

，公差為的等差數(shù)列;故

的前n

項和

為：

.故答案為12.（2020·新高考I卷第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足求的通項公式；記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前100項和【答案】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，

，，

，

解得舍或，

數(shù)列的通項公式為

由知，，，，，，，

則當(dāng)時，，當(dāng)時，，

以此類推，，，

，，

，，

【解析】本題考查了數(shù)列求和及等比數(shù)列通項公式，屬中檔題．

根據(jù)等比數(shù)列通項公式列出方程，求出首項和公比，即可求出通項公式;

根據(jù)等比數(shù)列通項公式，歸納數(shù)