方程的根和函數(shù)的零點

人教A必修1§3.1.1《方程的根與函數(shù)的零點》教學設(shè)計一、教學內(nèi)容分析《方程的根與函數(shù)的零點》是人教版《普通高中課程原則實驗教科書》A版必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》第一節(jié)的第一學時.本節(jié)內(nèi)容是在《基本初等函數(shù)（Ⅰ）》的基礎(chǔ)上,學習函數(shù)與方程的第一學時.通過研究一元二次方程的根及對應(yīng)的函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標的關(guān)系,學生導(dǎo)出函數(shù)零點的概念;通過分析具體函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的特點,探究在某開區(qū)間上持續(xù)函數(shù)存在零點的鑒定辦法.為下一節(jié)“二分法求方程近似解”做好鋪墊.同時也為后續(xù)學習不等式、算法等知識奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課滲入了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.二、教學目的設(shè)立根據(jù)課標規(guī)定,結(jié)合教材,考慮學生的已有認知及本班學生特點,我將本節(jié)的教學目的設(shè)立為下列內(nèi)容：1.探究二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標和對應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系,理解函數(shù)零點的定義.理解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,會求簡樸函數(shù)的零點.2.學會用數(shù)形結(jié)合思想研究某區(qū)間上圖象持續(xù)的函數(shù)存在零點和零點個數(shù)的鑒定辦法.3.感知從特殊到普通的歸納推理.培養(yǎng)抽象概括的能力,養(yǎng)成普通性思考問題的習慣.教學重點:函數(shù)零點的概念,函數(shù)的零點存在性定理的理解和應(yīng)用.教學難點:發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；運用零點存在性定理分析函數(shù)零點所在區(qū)間.三、學生狀況分析授課對象:延邊二中理科平行班學生1.學生已有認知基礎(chǔ)學生在本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學習了幾個基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),會畫簡樸函數(shù)的圖象,也會通過圖象去分析函數(shù)的性質(zhì).含有初步的數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力,這就為學生探究函數(shù)的零點做好了鋪墊.為鑒定函數(shù)與否存在零點提供了直觀感知.2.達成目的所需的認知基礎(chǔ)學生需要含有較好的觀察分析圖象的能力,較高的抽象概括能力.3.突破方略為學生創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境,激發(fā)學生的思維,引導(dǎo)學生通過觀察、計算、作圖、思考,發(fā)現(xiàn)函數(shù)在某個開區(qū)間上存在零點的兩個條件是圖象持續(xù)和端點處函數(shù)值異號.4.核心素養(yǎng)課堂中學生動手操作,感知從特殊到普通的歸納推理.體會從圖象中抽象概括出函數(shù)零點定義、零點存在性定理的數(shù)學抽象過程.養(yǎng)成普通性思考問題的習慣.四、教學方略設(shè)計1．設(shè)立問題情境,學生參加.不停發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，探究出有關(guān)結(jié)論,體會函數(shù)在高中數(shù)學的核心作用.2.采用開放式的學習方式,學生體驗知識的生成、發(fā)展過程.借助《幾何畫板》等信息技術(shù)手段,感知函數(shù)的動態(tài)變化,體會特殊到普通的歸納過程.學生不僅探究了概念,還“體驗”到了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系是通過函數(shù)的圖像與軸的交點來建立的.3.課堂中學生動手操作,進一步認識數(shù)學本質(zhì).感知從特殊到普通的歸納推理.體會從圖象中抽象出函數(shù)零點定義,零點存在性定理的數(shù)學抽象過程.養(yǎng)成普通性思考問題的習慣.五、教學過程教學構(gòu)造設(shè)計：零點概念的建構(gòu)零點概念的建構(gòu)零點存在性定理的探究設(shè)計問題，滲入數(shù)學思想形成概念，確認等價關(guān)系歸納定理,深刻理解熟悉定理,辨析應(yīng)用例題變式，深化拓展應(yīng)用與鞏固小結(jié)反思，提高認識布置作業(yè)，獨立探究歸納小結(jié)約12分鐘約18分鐘約12分鐘約3分鐘（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課師：通過第二章的學習，我們已經(jīng)認識了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，今天我們開始學習第三章.方程的根，我們在初中已經(jīng)學習過了，重要是以代數(shù)計算的方式進行求解，側(cè)重“數(shù)”的方面的研究.高中數(shù)學學習階段我們接觸過的一種非常重要的數(shù)學思想叫做數(shù)形結(jié)合.我們這節(jié)課就要從“數(shù)”和“形”的兩方面去研究“方程的根”.引入課題：《方程的根與函數(shù)的零點》(教師板書)（二）新課解說【環(huán)節(jié)一：零點概念的建構(gòu)】設(shè)計問題，滲入數(shù)學思想問題1：求下列一元二次方程的實數(shù)根，畫出對應(yīng)二次函數(shù)的簡圖，完畢下表。方程函數(shù)方程的實數(shù)根函數(shù)圖像思考討論：一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？鑒別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根兩個不相等的實數(shù)根x1、x2有兩個相等的實數(shù)根x1=x2沒有實數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函數(shù)的圖象與x軸的交點兩個交點：(x1,0)，(x2,0)一種交點：(x1,0)無交點生：（觀察討論）方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標.師：回答的較好！方程的根是從“數(shù)”的角度研究問題，而函數(shù)圖像與軸交點是從“形”的角度研究問題.正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.教師歸納:方程的實數(shù)根函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標師：方程的根還和什么有等價關(guān)系呢？帶著這個問題我們繼續(xù)下面的學習.設(shè)計意圖:進一步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,為下一環(huán)節(jié)引出零點做鋪墊【環(huán)節(jié)二：零點概念的建構(gòu)】形成概念，確認等價關(guān)系問題2：求解方程,說出方程所對應(yīng)的函數(shù)．；

生：,對應(yīng)的函數(shù)是師：使，叫做方程的根，對于函數(shù)我們給出一種新的定義，稱為函數(shù)的零點.你能根據(jù)我剛剛給出的零點的定義,求出函數(shù)的零點嗎?生：-1和3使，-1和3是函數(shù)的零點師：你能概括普通函數(shù)零點的概念嗎？生：對于函數(shù),我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.教師活動：板書概念，協(xié)助學生體現(xiàn)精確的概念問題3：在這個概念中，我們新接觸了一種數(shù)學名詞“零點”，請同窗們思考，零點是點嗎？生：（主動討論，發(fā)表見解）零點不是點師：那零點是什么？生：是一種數(shù)！師：滿足什么條件的實數(shù)？生：方程的根，再次強調(diào)：零點不是點,是一種實數(shù)！師:回想剛剛老師提出的問題,“方程的根”還和什么是等價的呢?師生互動：學生思考作答,互相討論;教師糾錯,引導(dǎo)得出對的的關(guān)系.生:還和函數(shù)的零點等價在屏幕上顯示：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點教師歸納:這種等價關(guān)系,為我們分析問題解決問題又提供了一種數(shù)學思想叫函數(shù)與方程的思想.對于不能運用公式求根的方程,我們能夠?qū)⑺c函數(shù)聯(lián)系起來,運用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點,從而求出方程的根.例1.求函數(shù)的零點()A.B.C.D.練習:1.函數(shù)的圖象以下，則其零點為.2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)有零點嗎？問題4：函數(shù)零點的求法有哪些呢？生：求方程的實數(shù)根.師：我們把這種辦法叫做代數(shù)法.生：也能夠畫函數(shù)的圖像找到它與軸交點的橫坐標.師：我們把這種辦法叫做幾何法.設(shè)計意圖：規(guī)定學生從“數(shù)”和“形”兩個層面來理解函數(shù)零點這個概念，深化了學生對數(shù)形結(jié)合思想的認識.運用函數(shù)有零點的等價關(guān)系,向?qū)W生滲入函數(shù)與方程的數(shù)學思想.【環(huán)節(jié)三：零點存在性定理的探究】歸納定理,深刻理解問題5：:二次函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有零點嗎?_______，_______，___0(“＜”或“＞”)．師生歸納:發(fā)現(xiàn)＜0,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.問題6：二次函數(shù)的圖象在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)與否也含有這種特點呢?生:觀察圖像,思考作答.問題7:已知函數(shù)的圖象是持續(xù)不停的,且有以下對應(yīng)值表,函數(shù)在哪個區(qū)間存在零點呢？12345625-31-4

-5學生小組討論，代表作答,教師展示學生作品，學生闡明生：存在零點師：在哪個區(qū)間內(nèi)呢？生：，由于圖象持續(xù)，函數(shù)值從正變到負，圖像和x軸一定有交點，函數(shù)有零點.問題8:如何判斷普通函數(shù)在區(qū)間內(nèi)與否存在零點?生:問題9:如果函數(shù)在區(qū)間滿足,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,這樣就能夠嗎?生：（討論）如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點問題10:這個判斷辦法在敘述上尚有無需要修改的地方？教師引導(dǎo):這種辦法是判斷函數(shù)在某個區(qū)間上與否存在零點,需要計算端點處的函數(shù)值.生：函數(shù)必須在端點處有定義，因此函數(shù)必須是在閉區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線問題11:那存在零點的區(qū)間與否也需要改成閉區(qū)間？生：不需要，零點是運用擬定的零點，因此零點不會出現(xiàn)在端點處.定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,即存在,使,這個也就是方程的根．問題12：①滿足定理條件，函數(shù)一定在區(qū)間有零點，不滿足定理條件，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定不存在零點嗎？②此定理能鑒定零點的存在性，能鑒定零點有多少個嗎？生：不滿足定理條件，時仍然可能存在零點師：如何修改條件時,函數(shù)在區(qū)間上只有一種零點？教師活動：教師指導(dǎo)學生作圖,引導(dǎo)學生大膽猜想學生活動：小組討論,代表作答,學生經(jīng)歷自主舉例,增進對定理的精確理解.生：只要讓函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)就能夠.教師歸納：定理中的“持續(xù)不?！笔潜夭豢缮俚臈l件；定理不能確零點的個數(shù)；不滿足定理條件時仍然可能存在零點．師:回想剛剛提出的問題,這個函數(shù)在哪個區(qū)間存在零點呢?生:主動作答設(shè)計意圖：1、將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學模型,進行合情推理,將原來學生只認為靜態(tài)的函數(shù)圖象,理解為一種動態(tài)的過程.2、由原來的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力.體驗語言轉(zhuǎn)化的過程.【環(huán)節(jié)四：零點存在性定理的探究】熟悉定理,辨析應(yīng)用例2：判斷函數(shù)在區(qū)間與否存在零點？解:通過計算可知，，則，這闡明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.由于函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，因此它僅有一種零點.【環(huán)節(jié)五：應(yīng)用與鞏固】例題變式，深化拓展變式：函數(shù)在哪個區(qū)間存在零點？練習1.已知持續(xù)函數(shù),有則()A.在區(qū)間上可能沒有零點B.在區(qū)間上可能有三個零點C.在區(qū)間上至多有一種有零點D.在區(qū)間上不可能有兩個零點2．已知函數(shù),,的零點依次是,則()A.B.C.D.3.討論函數(shù)的零點所在區(qū)間.【環(huán)節(jié)六：歸納小結(jié)】小結(jié)反思，提高認識本節(jié)我們學習了哪些知識？能夠解決哪些問題?接觸到了哪些數(shù)學思想辦法？知識點:零點的定義等價關(guān)系零點存在性原理思想辦法:數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)與方程思想化歸與轉(zhuǎn)化思想題型:求函數(shù)零點判斷零點所在區(qū)間判斷零點個數(shù)【環(huán)節(jié)七：歸納小結(jié)】布置作業(yè)，獨立探究分層作業(yè)：1、教材88頁練習1、22、拓展作業(yè)：已知,求取何值時函數(shù)能分別滿足下列條件①有2個零點;②3個零點;③4個零點.六、教學反思1、教學內(nèi)容的反思本課內(nèi)容，從幾何直觀上感知和認識函數(shù)的零點，進而形成函數(shù)零點的概念；對于零點存在的條件，高中階段不必要加以證明．重點就是讓學生通過觀察和分析函數(shù)圖象，直觀感受零點存在的條件．通過本節(jié)的學習，是要學生體會函數(shù)在高中數(shù)學的核心作用.用函數(shù)的觀點統(tǒng)帥中學代數(shù)，把全部中學代數(shù)問題納入函數(shù)的思想下．2、問題設(shè)立的反思如何創(chuàng)設(shè)“函數(shù)零點”的“問題情境”,我是通過認真思考的.考慮到學生現(xiàn)有的概括能力較差,因此我采用開門見山的方式.通過給出具體的一次函數(shù)的零點的概念,給學生提出如何求一種具體二次函數(shù)的零點的問題,學生通過模仿求出二次函數(shù)的零點.這個過程也為下一種問題“抽象概括出普通函數(shù)零點的概念”做好了鋪墊,使教學過渡更流暢.3、預(yù)設(shè)與生成的反思課堂活動的設(shè)計是階梯性的,多層次多角度,盡量確保學生都能夠參加到課堂活動中來.但是學生的思維是有差別的,不一定都能和教師預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)同時.因此教師要隨時把握課堂教學,為學生提供思維發(fā)散及延伸的空間使學生在接受數(shù)學科學教育的同時,完善和提高自己.方程的根與函數(shù)的零點點評本節(jié)課李老師由學生熟悉的二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù)引入,學生自主完畢表格,歸納二次方程的根與對應(yīng)二次函數(shù)圖象關(guān)系,通過具體例子給出零點的定義,同時引導(dǎo)學生自己舉例、通過交流、討論的方式展開研究,歸納出零點的普通性定義,總結(jié)三個等價關(guān)系,讓學生切實理解三個等價關(guān)系的意義,學生歸納零點存在定理,通過正、反例的剖析,學生對零點存在定理理解透徹,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,函數(shù)與方程思想,滲入了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等學科素養(yǎng).教學中突出了“零點定義”和“零點存在定理”這兩個重點內(nèi)容,教師能夠圍繞問題的本質(zhì),不停啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題,引導(dǎo)學生參加知識的發(fā)生、發(fā)展的學習過程,零點存在定理學生在每個核心詞都進行了