第 6 講 一次函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)

第6講一次函數(shù)、二次函數(shù)與冪函數(shù)基礎(chǔ)自查2．冪函數(shù)

(1)冪函數(shù)的定義形如

(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．

(2)冪函數(shù)的圖象y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR{x|x∈R且x≠0}值域R

[0，＋∞)R[0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時(shí)增，(－，0]時(shí)，減增增定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)函數(shù)特征性質(zhì)[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}x∈(0，＋∞)時(shí)，x∈(－∞，0)時(shí)，減聯(lián)動(dòng)思考想一想：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同？答案：本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置．聯(lián)動(dòng)體驗(yàn)考向一二次函數(shù)的解析式的求法【例1】

設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為10，f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)，求f(x)的解析式．解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱．于是，設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，則由f(0)＝3，可得k＝3－4a，∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的兩實(shí)根的平方和為10，∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活地選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)求解．在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移、對(duì)稱，函數(shù)的周期性、奇偶性等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．遷移發(fā)散1．設(shè)二次函數(shù)f(x)，當(dāng)x＝x1時(shí)，取最大值5(x1＞0)，二次函數(shù)g(x)的最小值為－2，且g(x1)＝25，f(x)＋g(x)＝x2＋16x＋13.(1)求x1的值；

(2)求g(x)的表達(dá)式．解：(1)設(shè)f(x)＝a(x－x1)2＋5(a＜0)，則g(x)＝x2＋16x＋13－a(x－x1)2－5.

而g(x1)＝25，故x＋16x1＋13－a(x1－x1)2－5＝25.

即x＋16x1＋8＝25，得x1＝－17(舍去)或x1＝1.∴x1＝1.(2)由(1)得g(x)＝(1－a)x2＋2(a＋8)x－a＋8.∵g(x)有最小值－2，∴8－a－＝－2，解得：a＝－2.

故g(x)＝3x2＋12x＋10.【例2】

已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)

的表達(dá)式．

考向二二次函數(shù)的最值問題∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝－，(1)當(dāng)t＋1≤－，即t≤－時(shí)，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1(t≤－)．(2)當(dāng)t≤－＜t＋1，即－＜t≤－時(shí)，h(t)＝f(－)＝－.反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得頂點(diǎn)(m，n)或?qū)ΨQ軸方程x＝m，分三個(gè)類型：①頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；②頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)．遷移發(fā)散考向三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．利用冪函數(shù)的性質(zhì)，確定冪指數(shù)的取值范圍，以達(dá)到求解的目的．2．注意對(duì)a、b的討論來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性3．有關(guān)冪值的大小比較，可結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．遷移發(fā)散課堂總結(jié)感悟提升1．二次函數(shù)的單調(diào)性只與對(duì)稱軸和開口方向有關(guān)系，因此單調(diào)性的判斷通常用數(shù)形結(jié)合法來(lái)判斷．2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如y＝x＋

1，y＝x2－2x等都不是冪函數(shù)．3．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多