black-scholes期權(quán)定價模型

black-scholes期權(quán)定價模型

1973年，著名的f.black和s科爾斯教授發(fā)表了一篇題為《論證據(jù)和證據(jù)》的著名文章，并成功地建立了基于權(quán)重的一般價格公式，這在金融理論家和在實踐中引起了強烈的影響，并在豐富的金融衍生市場中得到了充分發(fā)展。1997年10月，斯科爾斯和默頓獲得了諾格爾獎，他們的主要貢獻是黑面包的價格調(diào)整模型。Black-Scholes期權(quán)定價公式的推導(dǎo)過程是相當(dāng)復(fù)雜的,需要用到隨機過程、隨機微分方程求解等較高深的數(shù)學(xué)工具知識,常常使得許多讀者覺得難于理解,望而生畏,這在一定程度上影響了這一著名結(jié)論的普及和運用.筆者在為學(xué)生講授Black-Scholes公式時,采用了下述較為簡化的推導(dǎo)方法,它使得那些僅僅具有微積分和概率統(tǒng)計知識的大學(xué)本科生也能理解并欣賞這一公式的導(dǎo)出過程.我們借助于Black-Scholes模型的原始假設(shè)條件:1)期權(quán)為股票的歐式看漲期權(quán),其執(zhí)行價為K,記當(dāng)前時刻為t,期權(quán)到期時間為T,股票當(dāng)前價格為S,T時刻價格為ST;2)交易成本和稅金為零;3)在期權(quán)到期之前,股票不支付紅利;4)股票交易可連續(xù)進行,且無賣空限制;5)無風(fēng)險利率r,股票期望收益率μ和股票價格波動率σ均為常數(shù).進一步假設(shè):6)股票價格ST是服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量,其分布密度函數(shù)為p(SΤ)={1√2π(Τ-t)σSΤexp[-(lnSΤ-μ)22(Τ-t)σ2]SΤ＞00SΤ≤0(1)p(ST)=???12π(T?t)√σSTexp[?(lnST?μ)22(T?t)σ2]0ST＞0ST≤0(1)由此可得ST的期望值為E(SΤ)=eμ+Τ-t2σ2(2)E(ST)=eμ+T?t2σ2(2)下面考慮Black-Scholes公式的導(dǎo)出:對不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán),它在到期日的價值為CΤ=max(SΤ-Κ,0)(3)CT=max(ST?K,0)(3)可見CT隨ST也是一隨機變量,其期望值為:E(CΤ)=∫+∞-∞max(SΤ-Κ,0)p(SΤ)dSΤ=∫+∞Κ(SΤ-Κ)p(SΤ)dSΤ(4)E(CT)=∫+∞?∞max(ST?K,0)p(ST)dST=∫+∞K(ST?K)p(ST)dST(4)再假定投資者是風(fēng)險中性的,從風(fēng)險中性的角度看,股票當(dāng)前價格S應(yīng)是(2)式以無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)的結(jié)果,即S=e-r(Τ-t)E(SΤ)=eμ+Τ-t2σ2-r(Τ-t)(5)S=e?r(T?t)E(ST)=eμ+T?t2σ2?r(T?t)(5)此時,有eμ+Τ-t2σ2=Ser(Τ-t)(6)及μ+Τ-t2σ2=lnS+r(Τ-t)(7)eμ+T?t2σ2=Ser(T?t)(6)及μ+T?t2σ2=lnS+r(T?t)(7)同時,期權(quán)當(dāng)前價格C應(yīng)是(4)式以無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)的結(jié)果,即C=e-r(Τ-t)E(CΤ)=e-r(Τ-t)∫+∞Κ(SΤ-Κ)p(SΤ)dSΤ=e-r(Τ-t)∫+∞ΚSΤp(SΤ)dSΤ-Κe-r(Τ-t)∫+∞Κp(SΤ)dSΤ(8)C=e?r(T?t)E(CT)=e?r(T?t)∫+∞K(ST?K)p(ST)dST=e?r(T?t)∫+∞KSTp(ST)dST?Ke?r(T?t)∫+∞Kp(ST)dST(8)將(8)式右端兩式分別記為C1和C2,并令w=lnST,則由(1)式有C1=e-r(Τ-t)∫+∞ΚSΤp(SΤ)dSΤ=e-r(Τ-t)1√2π(Τ-t)σ∫+∞Κexp[-(lnSΤ-μ)22(Τ-t)σ2]dSΤ=e-r(Τ-t)1√2π(Τ-t)σ∫+∞lnΚexp[w-(w-μ)22(Τ-t)σ2]dwC1=e?r(T?t)∫+∞KSTp(ST)dST=e?r(T?t)12π(T?t)√σ∫+∞Kexp[?(lnST?μ)22(T?t)σ2]dST=e?r(T?t)12π(T?t)√σ∫+∞lnKexp[w?(w?μ)22(T?t)σ2]dw由(7)式可得w-(w-μ)22(Τ-t)σ2=-[w-μ-(Τ-t)σ2]22(Τ-t)σ2+μ+Τ-t2σ2w?(w?μ)22(T?t)σ2=?[w?μ?(T?t)σ2]22(T?t)σ2+μ+T?t2σ2再利用(5)式,有C1=e-r(Τ-t)eμ+Τ-t2σ21√2π(Τ-t)σ∫+∞lnΚexp{-[w-μ-(Τ-t)σ2]22(Τ-t)σ2}dw=S√2π(Τ-t)σ∫+∞lnΚexp{-[μ+(Τ-t)σ2-w]22(Τ-t)σ2}dwC1=e?r(T?t)eμ+T?t2σ212π(T?t)√σ∫+∞lnKexp{?[w?μ?(T?t)σ2]22(T?t)σ2}dw=S2π(T?t)√σ∫+∞lnKexp{?[μ+(T?t)σ2?w]22(T?t)σ2}dw再令h=1√Τ-tσ[μ+(Τ-t)σ2-w]h=1T?t√σ[μ+(T?t)σ2?w],則dw=-√Τ-tσdhdw=?T?t????√σdh,有C1=S√2π∫-∞μ+(Τ-t)σ2-lnΚ√Τ-tσexp(-h22)(-dh)=S√2π∫μ+(Τ-t)σ2-lnΚ√Τ-tσ-∞exp(-h22)dh=SΝ(μ+(Τ-t)σ2-lnΚ√Τ-tσ)這里N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù).注意到(7)式得C1=SΝ(lnS+r(Τ-t)+Τ-t2σ2-lnΚ√Τ-tσ)=SΝ(ln(S/Κ)+(r+σ22)(Τ-t)√Τ-tσ)(9)同理可證C2=Κe-r(Τ-t)∫+∞Κp(SΤ)dSΤ=Κe-r(Τ-t)Ν(ln(S/Κ)+(r-σ22)(Τ-t)√Τ-tσ)(10)故得不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)價格的Black-Scholes公式:C=SΝ(d1)-Κe-r(Τ-t)