《數(shù)學建模》考試試卷與參考答案

《數(shù)學建模》試卷第4頁共4頁密線密線封層次報讀學校專業(yè)姓名317題號一二三四總分得分一、填空題（每題5分，滿分20分）：1.設開始時的人口數(shù)為，時刻的人口數(shù)為，若人口增長率是常數(shù)，那麼人口增長問題的馬爾薩斯模型應為.2.設年利率為0.05，則10年后20萬元的現(xiàn)值按照復利計算應為.3.所謂數(shù)學建模的五步建模法是指下列五個基本步驟，按一般順序可以寫出為.4.其中.二、分析判斷題（每題10分，滿分20分）：1.從下面不太明確的敘述中確定要研究的問題，需要哪些數(shù)據(jù)資料（至少列舉3個），要做些甚麼建模的具體的前期工作（至少列舉3個），建立何種數(shù)學模型：一座高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時間非常擁擠，該如何解決。2.某公司經(jīng)營的一種產(chǎn)品擁有四個客戶，由公司所轄三個工廠生產(chǎn)，每月產(chǎn)量分別為3000，5000和4000件.公司已承諾下月出售4000件給客戶1，出售3000件給客戶2以及至少1000件給客戶3，另外客戶3和4都想盡可能多購剩下的件數(shù).已知各廠運銷一件產(chǎn)品給客戶可得到的凈利潤如表1所示，問該公司應如何擬訂運銷方案，才能在履行諾言的前提下獲利最多？表1 單位：元/件客戶利潤工廠1234123656362646867656263605960上述問題可否轉(zhuǎn)化為運輸模型？若可以則轉(zhuǎn)化之（只需寫出其產(chǎn)銷平衡運價表即可），否則說明理由。三、計算題（每題20分，滿分40分）：1.有一批貨物要從廠家A運往三個銷售地B、C、D，中間可經(jīng)過9個轉(zhuǎn)運站從A到的運價依次為3、8、7；從到的運價為4、3；從到的運價為2、8、4；從到的運價為7、6；從到的運價為10、12；從到的運價為13、5、7；從到的運價為6、8；從到的運價為9、10；從到的運價為5、10、15；從到的運價為8、7。試利用圖模型協(xié)助廠家制定一個總運費最少的運輸路線。2.試求如表2所示運輸問題的最優(yōu)運輸方案和最小運輸費用：表2 單位：百元/噸銷地運價產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A1A2A3352947512691011201525銷量10201515四、綜合應用題（本題滿分20分）：試建立方桌問題在四條腿腳呈長方形情形時的數(shù)學模型，以說明方桌能否在地面上放穩(wěn)的問題。（提示：要求按照五步建模法進行建模工作，本題至少應給出前四個步驟。）數(shù)學建?！吩囶}參考答案一、填空題：1、2.、3、問題分析，模型假設，模型建立，模型求解，模型分析；4.、80.二、分析判斷題（每題10分，滿分20分）：1、1）要研究的問題：如何設置四部電梯的?？糠绞?，使之發(fā)揮最大效益……..2分2）所需資料為：每天早晨乘電梯的總?cè)藬?shù)、各層上、下電梯的人數(shù)、電梯的速度、樓層的高度、層數(shù)等……….5分3）要做的具體建模前期工作：觀察和統(tǒng)計所需資料，一般講，需要統(tǒng)計一周內(nèi)每天的相關資料8分4）可以建立概率統(tǒng)計模型，亦可在適當?shù)募僭O下建立確定性模型………10分2.可以轉(zhuǎn)化為運輸模型，具體做法如下：首先確定總的產(chǎn)銷量.總產(chǎn)量顯然為12000件；總需求量中，客戶3的需求量在保證已承諾給客戶1和2的供給量7000件條件下，最多是5000件，而客戶4則最多可得4000件。因此，總需求量按最高需求應為16000件，因而可視問題為供小于求的運輸問題…4分其次，為產(chǎn)銷平衡，虛設一個工廠4，其產(chǎn)量為4000件……………6分再次，為確定需求量，將有最低需求與額外需求量的客戶分別視為兩個客戶，并確定各自需求量，注意最低需求量不能由虛設工廠供給，從而可設其利潤值是-M（M是一個充分大的正數(shù)）8分綜合上述討論得產(chǎn)銷平衡運價表如下：10分表1 單位：元/件客戶利潤工廠1233‘4供給量1234656362626468676565626360595960-M-M-M003000500040004000需求量40003000100040004000三、計算題（每題20分，滿分40分）：1.建立圖模型如圖1-1.AEAE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587圖1-1…….10分AE2AE2E3E1G2G3G1F2F3F1CDB738342847610121357689105101587202116131112176773801913圖1-2…15分再利用逆向搜索法便可得到運輸路線有：，；或.…20分（注意，到C的路線只給出一條者扣2分）2.易見，這是一個產(chǎn)銷平衡且為最小值類型的運輸問題。我們有(1)利用最小元素法可得初始方案如表1，表1銷地運價產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量1515A11515A2A33⑤5294⑤7⑩51269⑩1011201525銷量10201515…..5分（2）使用閉回路法可得負檢驗數(shù)為=-1，故令進基……………...10分（3）使用閉回路法進行調(diào)整知出基，便得新的運輸方案如表2……15分表215銷地15運價產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量15A115A2A335⑤294⑩7⑤51269⑩1011201525銷量10201515（4）再進行檢驗知，所有檢驗數(shù)，故得最優(yōu)運銷圖如圖1-3：……………20分A3BA3B4B21015A2B2B1105A1B3B2515圖1-3最小費用為385（百元）。四、綜合應用題（本題滿分20分）：1.問題分析………………..5分所謂方桌可否在地面上放穩(wěn)，可視為其四個桌腳可否同時著地，從而可將問題歸結(jié)為桌腳與地面的距離是否同時為零，故構(gòu)造這個距離函數(shù)是建模的關鍵，而證明四個距離函數(shù)同時為零這個命題是建模的最終目的。2.模型假設………………..10分(1)四條桌腿同長,視四個桌腳為四個幾何點,四腳的連線呈長方形；(2)地面的高度是連續(xù)變化的，即將地面看作數(shù)學上的連續(xù)曲面；(3)地面是相對平坦的，在任何位置，至少有三個桌腿同時著地。ABDC(A)ABDC(A)(B)(C)(D)xyo如圖1-4，以長方形的兩條對角線的交點為原點建立平面直角坐標系，且不妨設A、C兩桌腳開始時位于橫軸上，則問題與旋轉(zhuǎn)角度有關。注意到假設3，設A、B兩個桌腳與地面距離之和為，另外兩個桌腳與地面距離之和為則與中至少有一個為零，當時不妨假設圖1-4。又由假設2，以上兩個函數(shù)均為旋轉(zhuǎn)角度的連續(xù)函數(shù)，于是有命題：已知則，使得上述命題即為所建立的數(shù)學模型。