2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)）計(jì)數(shù)原理單元測(cè)試(一)

專題13計(jì)數(shù)原理

1.(l+Zr2)(1+x)4的展開式中%3的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

答案A

由題意得％3的系數(shù)為C：+2C；=4+8=12,故選A.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù).

2.在二項(xiàng)式(0+幻9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

答案1605

由題意，(返+幻9的通項(xiàng)為7；+1=(^(也)9-3「(「=0,1,2...9),當(dāng)r=0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為

7；=《(0)9=16及；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則r=L3,5,7,9,有心,看,”,n,7；0共5個(gè)項(xiàng).故

答案為：16\/^?5.

名師點(diǎn)評(píng)此類問題解法比較明確，首要的是要準(zhǔn)確記憶通項(xiàng)公式，特別是“累指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)

算要細(xì)心，確保結(jié)果正確.

2

3.設(shè)(1+x)"=a。+axx+tz2x+—\-anx'\n>4,nGN1已知aj=2a2a4.

(1)求〃的值；

(2)設(shè)(1+8)”=a+b百,其中a力1N*,求片一3/?2的值.

答案(1)n=5；(2)-32.

(1)因?yàn)?1+工)”=1；+(3>:+<2>：2+.??+(3；*〃，/?>4,

所以a,=C：=妁曰必=C：=〃("U("2),

26

c_「4_"("一1)(〃一2)(/7-3)

”4=C,=萬-

因?yàn)閍；=244，

所以[〃(“_1)QL2)]2=2Xn(n-l)〃(〃一1)(“一2)("-3)

6-2-*24

解得“=5.

(2)由(1)知，〃=5.

（1+6）"=（1+6）5

=C+C；6+C；（G）2+C；（6）3+C；（6）4+C（6）5

=a+b也.

解法一：

因?yàn)閍/eN*,所以a=C?+3C；+9C；=76,人=C；+3C：+9C；=44,

從而〃一3人2=76?一3x44?=—32.

解法二：

（1_G）5=C；+C（一8）+C（_e）2+C；（_6）3+C（_g）4+G（_6）5

=C-C；g+C（G）2-CS）3+C；（石）4-C（6）5.

因?yàn)閍,Z?eN'，所以（1一=a—/?G.

因此Q2_3力2=（a+bG）（a-b^）=（i+^）5x（i-Q）5=（_2）5=_32.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問題能力與運(yùn)算求解能力.

4.山東省鄲城一中等學(xué)校2020屆高三第三次模擬考試已知二項(xiàng)式(〃wN*)的展開式中第2項(xiàng)

與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2:5,則x3的系數(shù)為

A.14B.-14C.240D.-240

答案C

二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式為北|=C；,(2x)"'

由展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2：5,可得：C：:C：=2:5.即

n(n-l)5

解得〃=6或〃=0(舍去).所以卻=d26T(-

3’,

令6-5r=3,解得r=2,所以d的系數(shù)為C：26-2(T)-=240.故選C.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式，考查了方程思想及計(jì)算能力，還考查了分析能力，屬

于中檔題.

5.廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2020屆高三適應(yīng)性考試（6月）已知（l+0）（2x-‘）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和

XX

為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為

A.-80B.TOC.40D.80

答案D

令x=1,得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為（l+f）（2-；）5=1+。，

「.1+。=2,\1,

（xxJ卜x八x）\xJx\x）

所求展開式中常數(shù)項(xiàng)為（2x-的展開式的常數(shù)項(xiàng)與x項(xiàng)的系數(shù)和，

\X）

（2x—展開式的通項(xiàng)為*=C；（2x）5-r?（一1丫（$，，

令5—2r=l得r=2；令5—2r=0,無整數(shù)解，

???展開式中常數(shù)項(xiàng)為8C；=80，故選D.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)和，屬于中檔題.二項(xiàng)展開式定理的問題也

是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二

項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)

和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.

6.山東省淄博市2020屆部分學(xué)校高三階段性診斷考試試題數(shù)學(xué)（x~^=\展開式的常數(shù)項(xiàng)為

A.-56B.-28C.56D.28

答案D

（龍一展開式的通項(xiàng)公式為（+1=c/x8T《—Ay=c;8--r

?（-S3,

4

令8—石「=0,得r=6,.?.所求常數(shù)項(xiàng)為：C；?（一1”=28,故選D.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查二項(xiàng)式定理中求解指定項(xiàng)系數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.

7.河南省濮陽市2020屆高三5月模擬考試安排A,B，C,D，E,F,共6名義工照顧甲，乙，丙

三位老人，每?jī)晌涣x工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A不安排照顧老人甲，義

工8不安排照顧老人乙，則安排方法共有

A.30種B.40種C.42種D.48種

答案C

6名義工照顧三位老人，每?jī)晌涣x工照顧一位老人共有：C；C；=9()種安排方法，

其中A照顧老人甲的情況有:C；C；=30種，

3照顧老人乙的情況有：C；C：=3()種，

A照顧老人甲，同時(shí)B照顧老人乙的情況有：C；C；=12利J

.??符合題意的安排方法有：90—30—30+12=42種，故選C.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查利用排列組合解決實(shí)際問題，對(duì)于限制條件較多的問題，通常采用間接法來進(jìn)行求解.

8.上海市浦東新區(qū)2020屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二模)數(shù)學(xué)試題二項(xiàng)式(2x-1-)6展開式的常

2x

數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng).

答案4

由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得：Tr+產(chǎn)晨(2x)%(—」-)r=C；(-1)磔-2「產(chǎn)2r,

2x

令6-2r=0,得r=3,二。為常數(shù)項(xiàng)，即二項(xiàng)式(2x-」-)6展開式的常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，故答案為：4.

2x

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.

9.河北省唐山市2020屆高三第二次模擬考試將六名教師分配到甲、乙、丙、丁四所學(xué)校任教，其中甲校

至少分配兩名教師，其它三所學(xué)校至少分配一名教師，則不同的分配方案共有種.(用裂手

作等)

答案660

若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C：C：A；種，

若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C：A；種，則不同的分配方案共有C：C；A；+C：A：=66C^,

故答案為：660.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查排列組合，分類討論思想，對(duì)每個(gè)學(xué)校人數(shù)討論是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

10.上海市交大附中2020屆高三高考一模試數(shù)學(xué)試題已知

n

(1+x)+(1+x)~+(1+x),+...+(1+x)=cig+qx+ci7x~+...+(〃eN),且

1

那么(4-)”的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

%+q+g+.??+=126,不

答案-20

nn

?(1+x)+(1+x)2+(1++...+(1+x)=a。+qx++...+cinx(ziGN)，

2(i_2W)

令x=l,可得%+q+。2+…+Q〃=2+22+...+2"=-----------=2向-2,,??2'用一2=126,工

1—2

〃=6,

1y,即(G-j=)6

那么(6-的展開式的通項(xiàng)公式為AM=C；-(-lX-X3-r,

y/x\Jx

令3-「=0,求得r=3,可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-C：=-20,故答案為：-20.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，賦值法，求展開式的系數(shù)和，項(xiàng)的系數(shù)，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，

屬于基礎(chǔ)題.

11.江西省南昌市南昌外國語學(xué)校2020屆高三高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)2”展開式的

二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2”向展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為〃，若15。=88，則

答案7

(x+y)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為。=CM，

(x+y廣”展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b=,

因?yàn)?5。=%，所以15cM=8C，；\,BP15^^=8(2ffl+1)!,,解得加=7.

2?"m\m\/n!(m+l)!

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)最大值的問題，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)

的最大值.

12.北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三一模數(shù)學(xué)試題若(V+L)"展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,

x

則〃等于,該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

答案615

由展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,可得2〃=64,解得〃=6,

=(/+1)的展開式的通項(xiàng)公式為1+1=(2〉》2-2，.r，=鼠."2-3，，

令12-3r=0,解得r=4,故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：=C：=15,

本題正確結(jié)果為：6,15.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系

數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.廣東省2020屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題若a=「(2sinx-cosx心，貝火8―4卜的展開式中常數(shù)

項(xiàng)為.

答案240

R

???a=f(2sinx-cosx)6tx=(-2cosx-sinx)|Q=(2-0)-(-2-0)=4?

*0

二.(&—4)6展開式的通項(xiàng)公式為卜?)'=46-，(_l)'G/-6,

XIX7

令&-6=0,即r=4.

2

4L

(2-?)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是46-4(一1)4或=240,故答案為240.

X

名師點(diǎn)評(píng)本題考查定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求展開式中某項(xiàng)的系

數(shù)是解題關(guān)鍵.

(八〃

14.河北衡水金2020屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)二項(xiàng)式ax+-(。>0,8>0)的展開式中，設(shè)“所

\x)

有二項(xiàng)式系數(shù)和''為A,"所有項(xiàng)的系數(shù)和”為B,“常數(shù)項(xiàng)”值為C,若A=3=256,C=70,則含爐的

項(xiàng)為.

答案8尤6

依題得2"=256，所以〃=8，在ax+-的展開式中令日，則有(4+。『=256，所以“+加2,又因

IX)

為卜+§”展開式的通項(xiàng)公式為加=6(曲「［胃=q(a廣產(chǎn)?，令8一2廠=0=r=4.所

以得到C；a%4=70=q。=1,q/?=—1(舍),當(dāng)位>=1時(shí),由。+匕=2得Q=。=1?所以令

8-2r=6=>r=b所以(=C；f=",故答案為：8x6.

名師點(diǎn)評(píng)求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策：

（1）求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第「+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

（2）已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)

得出，?值，最后求出其參數(shù).

15.山東省煙臺(tái)市2020屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)（二）設(shè)〃=『|sinx|公在，則-2）（1+x）n展開式中x?

的系數(shù)為.

答案-8

由題意，

/?=￡|sinx|6k=￡|sinxkZv+J|sinxkZv=￡sinx^H-J（-sinx心=-cosx|+cosx|『=4,

4r

（1+x）的通項(xiàng)公式為7；+1=C；x1-.x=CX，

2233

當(dāng)r=2時(shí),T3=C^x=6x,當(dāng)r=3時(shí)，T4=C1x=4x,故

（：一2卜1+尤）"展開式中丁的系數(shù)為4+（-2）x6=-8.故答案為：-8.

名師點(diǎn)評(píng)本題考查了定積分的計(jì)算、二項(xiàng)式定理，正確求出〃值，是解題的關(guān)鍵.

16.湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三考前演練（五）習(xí)近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首

次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國脫貧攻堅(jiān)的基本方.為配合國家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)，某省示范性高

中安排6名高級(jí)教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1

人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為.

答案360

方法1：根據(jù)甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，可分四種情況：

（1）甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)有C；（C；C：A"C；CA：）=150；

（2）甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)有C；（C；C；A；+C：CD=140；

（3）甲校安排3名教師,分配方案種數(shù)有C；C；C；A；=60；

（4）甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)有C；C；C；=10；

由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有150+140+60+10=360（種）分配方案.

方法2：由6名教師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人，可能的分組情況為4,1,1；3,2,1；2,2,2,

（1）對(duì)于第一種情況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個(gè)學(xué)校有C；種，其余5名分成一人組和

四人組有C；A；種，共C；A；C；=2（）（種）；李老師分配到四人組且該組不去甲校有C；C；A；=4（）（種），

則第一種情況共有20+40=6（）（種）；

（2）對(duì)于第二種情況，李老師分配到一人組有C；C；A；C；=4（）（種），李老師分配到三人組有

C；C；C；A；=120（種），李老師分配到兩人組有C；C；C：C；=80（種），所以第二種情況共有

40+80+120=240（種）；

（3）對(duì)于第三種情況，共有C；C；C；C；=60（種）；

綜上所述，共有60+240+60=360（種）分配方案.

名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，以及排列、組合的綜合應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理分類

討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

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