初中數學 微專題 中點問題綜合訓練

——第四章三角形微專題中點問題綜合訓練1.(2019臨沂)如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是.第1題圖2.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，F是CD的中點，且AE＝DC＋CE.求證：AF平分∠DAE.第2題圖3.如圖，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°.連接DE，MB，MC，設M為DE的中點，∠BAD＝∠CAE.求證：MB＝MC.第3題圖

參考答案綜合訓練1.8eq\r(3)【解析】如解圖，取AC的中點E，連接ED，∵D為AB的中點，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×4＝2.∴∠CDE＝∠BCD.∵DC⊥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝90°.∵∠ACB＝120°，∴∠DCE＝30°，∠CED＝60°.在Rt△EDC中，CD＝ED·tan∠CED＝2eq\r(3)，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3).∵D為AB的中點，∴S△ABC＝2S△BCD＝8eq\r(3).第1題解圖2.證明：如解圖①，延長AF交BC的延長線于點G，第2題解圖①∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠BCD＝∠GCF＝90°，AD＝DC.在△ADF和△GCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADF＝∠GCF,DF＝CF,∠AFD＝∠GFC))，∴△ADF≌△GCF(ASA)，∴AD＝CG，∠DAF＝∠G，∵EG＝EC＋CG，AE＝DC＋CE，∴EG＝AE，∴∠FAE＝∠G，∴∠FAE＝∠DAF，即AF平分∠DAE.【一題多解】如解圖②，連接EF并延長，交AD的延長線于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠FDG＝90°，∵F是CD的中點，∴DF＝CF，在△DGF和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDG＝∠C,DF＝CF,∠DFG＝∠CFE))，∴△DGF≌△CEF(ASA)，∴DG＝CE，GF＝EF，∵AE＝DC＋CE＝AD＋DG＝AG，∴AE＝AG，又∵F是CD的中點，∴AF平分∠DAE.第2題解圖②3.證明：如解圖，取AD、AE的中點F、G，連接BF、MF、MG、CG，顯然線段MG、MF都是△ADE的中位線，∴四邊形MFAG是平行四邊形，MG＝eq\f(1,2)AD，MF＝eq\f(1,2)AE，∴∠MFA＝∠AGM，又∵∠DBA＝∠ACE＝90°，∴BF＝eq\f(1,2)AD＝MG，CG＝eq\f(1,2)AE＝MF，∵∠DAB＝∠CAE，∴∠BDA＝∠CEA，∴∠BFA＝2∠BDA＝2∠CEA＝∠