【公開課】直線的點(diǎn)斜式方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程復(fù)習(xí)回顧1.傾斜角：2.斜率：直線向上的方向與x軸正方向的夾角α∈[0°,180°)3.平行與垂直：兩條不重合的直線l1,l2，斜率分別是k1,k2l1//l2l1⊥l2k1=k2k1k2=-1

lαxyOP0(x0,y0)P(x,y)直線

l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0)，且斜率為k，設(shè)P(x,y)是直線

l上不同于點(diǎn)P0的任意一點(diǎn)，則有即問題1.點(diǎn)P0的坐標(biāo)(x0,y0)滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)嗎？問題2.直線上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)嗎？問題3.

坐標(biāo)滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)的每一個(gè)點(diǎn)都在直線上嗎？思考已知直線

l經(jīng)過點(diǎn)(x0,y0)，(1)當(dāng)直線

l的傾斜角為0°時(shí)，直線

l的方程是什么？(2)當(dāng)直線

l的傾斜角為90°時(shí)，直線

l的方程如何表示？lxyOP0(x0,y0)P(x,y)當(dāng)傾斜角為0°時(shí)，k=0，代入點(diǎn)斜式思考已知直線

l經(jīng)過點(diǎn)(x0,y0)，(1)當(dāng)直線

l的傾斜角為0°時(shí)，直線l的方程是什么？(2)當(dāng)直線

l的傾斜角為90°時(shí)，直線l的方程如何表示？lxyOP0(x0,y0)P(x,y)

例1直線

l經(jīng)過點(diǎn)P0(-2,3)，且傾斜角α=45°，求直線

l的點(diǎn)斜式方程，并畫出直線

l.解：直線

l經(jīng)過點(diǎn)P0(-2,3)，斜率k=tan45°=1，

代入點(diǎn)斜式方程得

y-3=x+2.畫圖時(shí)，再找出直線l上的另一個(gè)點(diǎn)P1(x1,y1)，例如，取x1=-1，則y1=4，得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(-1,4)，過P0,P1的直線即為所求，如圖所示

145°60°思考我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式方程的表示，那么若直線經(jīng)過點(diǎn)P0(0,b)，斜率為k，此時(shí)直線方程如何表示？將點(diǎn)P0(0,b)和斜率k代入點(diǎn)斜式方程，得y-b=k(x-0)即

y=kx+b我們把直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)

b叫做直線l在y軸上的截距，這樣，方程y=kx+b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定。我們把方程y=kx+b叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式。問題5.直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程有什么關(guān)系？問題4.截距是距離嗎？

y=-2x+4

平行垂直練習(xí)5

直線y=kx-3k+2(k∈R)必過定點(diǎn)（

）A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) D.(3,-2)A練習(xí)6若直線l過點(diǎn)P(2,1)，且與直線y-1=2x-3垂直，則直線l的點(diǎn)斜式方程為______________課堂小結(jié)點(diǎn)斜式：斜截式：直線

l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0)，斜率為k直線

l經(jīng)過點(diǎn)P0(0,b)，斜率為ky=kx+b導(dǎo)入

概念學(xué)習(xí)

小組討論

1、斜率相等2、向量平行概念學(xué)習(xí)

思辨

兩點(diǎn)式方程的運(yùn)用條件：課堂練習(xí)1.求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程:

(1)P1(2,1),P2(0,－3);(2)A(0,5),B(5,0).概念學(xué)習(xí)

概念學(xué)習(xí)

我們把直線l與x軸的交點(diǎn)(a,0)的橫坐標(biāo)a叫做直線l在x軸上的截距.直線l與y軸的交點(diǎn)(0,b)的橫坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距.

注意：截距可以取全體實(shí)數(shù),但截距式方程中的截距,是指非零的實(shí)數(shù)；因此截距式方程不包括過原點(diǎn)的直線方程,不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線方程.課堂練習(xí)P642.根據(jù)下列條件求直線的截距式方程,并畫出圖形:

(1)在x軸、y軸上的截距分別是2,3;

(2)在x軸、y軸上的截距分別是－5,6.3.根據(jù)下列條件,求直線的方程:

(1)過點(diǎn)(0,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2;

(2)過點(diǎn)(5,0),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為2.課堂練習(xí)P67

截距式方程中的截距,是指非零的實(shí)數(shù)；因此截距式方程不包括過原點(diǎn)的直線方程,不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線方程.7.求經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程.典型例題

變式引申

課堂練習(xí)P67典型例題直線的兩點(diǎn)式方程兩點(diǎn)式截距式已知條件兩點(diǎn)(其中，)直線在軸上的截距與直線在軸上的截距圖示方程形式適用條件斜率存在且不等于的直線備注截距式是特殊的兩點(diǎn)式方程課堂小結(jié)形式圖例條件直線的方程適用點(diǎn)斜式直線過點(diǎn)(x0,y0),且斜率為k不含與x軸垂直的直線斜截式斜率為k，且在y軸上的截距為b不含與x軸垂直的直線兩點(diǎn)式過點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)不含與x,y軸垂直的直線截距式與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0).不含過原點(diǎn)和與x,y軸垂直的直線思考

上述四種直線方程都是一個(gè)怎樣的方程？能否寫成統(tǒng)一的形式？形式條件直線方程應(yīng)用范圍點(diǎn)斜式直線過點(diǎn)(x0,y0),且斜率為k斜截式在y軸上的截距為b,且斜率為k兩點(diǎn)式過點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)截距式過點(diǎn)P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0)不含與x軸垂直的直線不含與x軸垂直的直線不含與x,y軸垂直的直線不含過原點(diǎn)和與x,y軸垂直的直線都是關(guān)于x,y的二元一次方程思考(1)平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎?(2)任意一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?

因此,在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.探究：先看問題(1),在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有傾斜角.即

kx-y+b=0.這是關(guān)于x,y二元一次方程,若設(shè)A=k,B=-1,C=b,

則方程形式可寫成當(dāng)α≠90°時(shí),直線方程可寫成

y=kx+b,

當(dāng)α=90°時(shí),直線方程可寫成x=x1,即x-x1=0.這也是關(guān)于x,y二元一次方程,若設(shè)A=1,B=0,C=-x1,

則方程形式也可寫成Ax+By+C=0.Ax+By+C=0.思考

(2)任意一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?由上可知,

關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一條直線.探究：對(duì)于問題(2),任意一個(gè)二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0),如果能把它化為直線方程的某種形式，那么我們就可以斷定它表示條直線.當(dāng)B≠0時(shí),方程Ax+By+C=0可變形為當(dāng)B=0時(shí),A≠0,方程Ax+By+C=0可變形為綜上可知,

在平面直角坐標(biāo)系中,任何關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一條直線.探究在方程Ax+By+C=0中,A,B,C為何值時(shí),方程表示的直線：①平行于x軸；②平行于y軸；③與x軸重合；④與y軸重合.我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式.直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系：直線的一般式代數(shù)特征明顯，而直線方程的四種特殊形式具有比較明顯的幾何意義；直線的一般式Ax+By+C=0通常化為斜截式以獲取直線的幾何特征如斜率、截距等；直線方程通常用一般式表示，直線的四種特殊形式化為一般式的規(guī)范要求：先x項(xiàng)，再y項(xiàng)，最后常數(shù)項(xiàng)；A、B、C盡可能整數(shù)化，A>0;題型一直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化注意：對(duì)于直線方程的一般式，一般做如下約定：一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；x項(xiàng)的系數(shù)為正；x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特殊要求時(shí)，求直線方程的結(jié)果寫成一般式．題型一直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化4x－y－2＝02x＋y－3＝0x＋3y＋3＝0(2)y＝4x－2題型一直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化答案：D

題型二直線的一般式方程的應(yīng)用1.已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟題型二直線的一般式方程的應(yīng)用2．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.3．過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0.例3（由含參數(shù)的一般式求參數(shù)的值或取值范圍）(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________．(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直線．當(dāng)m＝____________時(shí)，直線的傾斜角為45°；當(dāng)m＝____________時(shí)，直線在x軸上的截距為1.例4（一般式下直線的平行與垂直問題）已知A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0.求：(1)過點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程．[跟蹤訓(xùn)練]2已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(diǎn)(－1，3)，且與l平行；(2)過點(diǎn)(－1，3)，且與l垂直．[跟蹤訓(xùn)練]2已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l