泰勒公式的推廣與應(yīng)用

PAGE1泰勒公式的推廣與應(yīng)用摘要：泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，它在分析和研究一些數(shù)學(xué)問題中，有著廣泛地應(yīng)用，淺談泰勒公式在研究方程根的存在性和唯一性、求極限、近似計(jì)算以及證明等式或不等式等問題中的方法和技巧。通過對(duì)泰勒公式的簡(jiǎn)單介紹和總結(jié)，拓寬泰勒公式在數(shù)學(xué)問題上的廣泛應(yīng)用，探究泰勒公式在具體數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用，使泰勒公式成為被大家廣泛接受的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具。進(jìn)而討論泰勒公式在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，使泰勒公式真正成為能夠解決實(shí)際問題的重要工具和理論基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中我們可以發(fā)現(xiàn)很多函數(shù)都能用泰勒公式表示，特別在求函數(shù)的近似值，求函數(shù)的極值和判斷級(jí)數(shù)收斂性的問題中泰勒公式都有著重要作用。正因?yàn)樘├展绞菙?shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題的重要理論工具，這就要求我們要掌握泰勒公式的基本思想和在各個(gè)領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，以便在今后的學(xué)習(xí)生活中更方便和靈活的研究一些運(yùn)算復(fù)雜和函數(shù)問題，更好的利用泰勒公式解決各領(lǐng)域的實(shí)際問題本文主要針對(duì)泰勒公式的推廣與應(yīng)用進(jìn)行了相關(guān)的闡述分析，希望為泰勒公式的發(fā)展和應(yīng)用提供一定的幫助。關(guān)鍵詞：泰勒公式；導(dǎo)數(shù)；極限；近似計(jì)算ThegeneralizationandApplicationofTaylorFormulaAbstract:Taylorformulaisaveryimportantpartofhighermathematics.Itiswidelyusedintheanalysisandstudyofsomemathematicalproblems.Methodsandtechniquesinapproximatecalculationandproofofequalityorinequality.ThroughabriefintroductionandsummaryofTaylor'sformula,theextensiveapplicationofTaylor'sformulainmathematicalproblemsisexpanded,andtheapplicationofTaylor'sformulatospecificmathematicalproblemsisexplored.TheapplicationofTaylorformulainotherfieldsisdiscussed,sothatTaylorformulacanreallybeusedtosolvetheproblem.Inthecourseofmathematicallearning,wecanfindthatmanyfunctionscanbeexpressedbyTaylorformula,especiallyinfindingtheapproximatevalueoffunction.Taylor'sformulaplaysanimportantroleinfindingtheextremumoffunctionandjudgingtheconvergenceofseries,preciselybecauseTaylor'sformulaisanimportanttheoreticaltoolformathematicallearningandpracticalproblemsolving.ThisrequiresustomasterthebasicideaofTaylor'sformulaanditsspecificapplicationinvariousfields,sothatwecanstudysomecomplexandfunctionalproblemsmoreconvenientlyandflexiblyinourfuturestudyandlife.BetteruseofTaylorformulatosolvepracticalproblemsinvariousfieldsthispapermainlyaimsatTaylorTheextensionandapplicationoftheformulaarediscussedandanalyzedinordertoprovidesomehelpforthedevelopmentandapplicationofTaylorformula.Keyword:Taylorformula;derivative;limit;approximatecalculation泰勒公式及其應(yīng)用1緒論1.1研究背景十七世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)界人才輩出，近代微積分高速發(fā)展，極限作為數(shù)學(xué)研究的重要概念也被明確的提了出來。最初極限沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)完善的定義?？上攵?，極限并沒有被認(rèn)可。最先給出極限嚴(yán)格定義的是捷克斯洛伐克數(shù)學(xué)家貝爾納·波爾查諾，但在很長(zhǎng)一段時(shí)間中極限沒有受到應(yīng)有的重視。直至18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才開始了對(duì)極限的深度研究柯，1820年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西創(chuàng)造性地使用極限理論將微積分學(xué)中的定理加以嚴(yán)格全面的證明。之后德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯先生給出了精確的“”方法，最終解決了之前存在的問題。經(jīng)過長(zhǎng)達(dá)近百年的研究和論證，極限在數(shù)學(xué)界中的地位不斷提高，近代大量數(shù)學(xué)家都從事了相關(guān)問題的研究。泰勒、笛卡爾、費(fèi)馬等人都貢獻(xiàn)了重要理論知識(shí)和實(shí)踐研究。

泰勒公式的提出和發(fā)展也經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的過程。1715年泰勒出版《增量法及其逆》首次提出了泰勒公式，泰勒根據(jù)牛頓提出的有限差分法，推導(dǎo)出了格里戈里-牛頓插值公式,進(jìn)而設(shè)初始變量為零,項(xiàng)數(shù)為無窮，但沒有給出余項(xiàng)的具體表達(dá)式。泰勒的理論在當(dāng)時(shí)并沒有引起關(guān)注和認(rèn)可。直到1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把泰勒級(jí)數(shù)應(yīng)用于他的“微分學(xué)”，世人才開始漸漸認(rèn)識(shí)并接受泰勒公式，后來拉格朗日另辟蹊徑，采用帶余項(xiàng)的級(jí)數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注，一舉確認(rèn)了泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)研究以及應(yīng)用中的重要地位。

泰勒公式作為分析和研究函數(shù)極限的重要理論工具，可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，并且能夠滿足較高的精確度和準(zhǔn)確率，可以應(yīng)用多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。為近代微積分的高速展提供了強(qiáng)有力的支持。

雖然泰勒公式應(yīng)用于多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但有些學(xué)者或?qū)W派不認(rèn)同或很少提及泰勒公式，他們普遍認(rèn)為泰勒公式不夠嚴(yán)謹(jǐn)，不能完全適用于解題以及計(jì)算當(dāng)中。因此在泰勒公式的應(yīng)用方面還有很大的提升空間值得我們研究。1.2研究意義1715年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒公式：當(dāng)時(shí)變稱作麥克勞林公式。1772年，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了這條公式的重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但是泰勒在證明中并沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)，直到十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成?？挛鲗?duì)無窮級(jí)數(shù)的收斂性給出了一個(gè)嚴(yán)格的證明。1755年，歐拉把泰勒級(jí)數(shù)用于他的“微分學(xué)”時(shí)才認(rèn)識(shí)到其價(jià)值，后來拉格朗日用帶余項(xiàng)的級(jí)數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎(chǔ)，進(jìn)而從一元推廣到多元，多元泰勒公式又進(jìn)一步推廣到多維與無限維空間上的算子情形，即巴拿赫空間上的泰勒公式，從而進(jìn)一步確認(rèn)了泰勒公式的重要地位。泰勒公式是分析學(xué)中非常重要的內(nèi)容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)凹凸性判斷、斂散性的判斷、等式與不等式的證明等方面都有著重要的應(yīng)用，而且在其它數(shù)學(xué)分支如微分方程、計(jì)算方法、泛函分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、代數(shù)學(xué)等分支中同樣具有重要意義。同時(shí)，泰勒公式在其它學(xué)科中也有著廣泛而重要的應(yīng)用。例如，在風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中、金融學(xué)中期望效用函數(shù)和均值－方差分析的關(guān)系、時(shí)間序列分析中的平穩(wěn)化過程、彈性力學(xué)中的廣義Hooke定律等都需要借助泰勒公式才能獲得重要結(jié)果。因此，我們有必要對(duì)泰勒公式進(jìn)行深入、系統(tǒng)的回顧，從而更好地利用這一有力工具。2泰勒公式理論介紹2.1泰勒公式的定義我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分概念時(shí)已經(jīng)知道，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時(shí)，其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場(chǎng)合，取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為，其中為多項(xiàng)式的次數(shù)。為此，我們考察任一次多項(xiàng)式逐次求它在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)，得到即由此可見，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)。由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。2.2泰勒公式的類型1帶有佩亞諾余項(xiàng)型的泰勒公式：若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有2帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式泰勒定理若函數(shù)在上有階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意的，必存在一點(diǎn)，使得（1）其中稱為拉格朗日型余項(xiàng)。3帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式在（1）式中設(shè)，有下面是5個(gè)常用的麥克勞林公式（2）3泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)的展開式，闡述了泰勒公式在判斷級(jí)數(shù)斂散性，求行列式的值，求近似計(jì)算，證明不等式，求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用。下面從討論級(jí)數(shù)斂散性、計(jì)算極限、證明不等式、研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式等幾個(gè)方而來探討泰勒公式的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值，同時(shí)泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差估計(jì)．從變換的角度看，泰勒公式具有將復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)的功能，更進(jìn)一步從本質(zhì)上展示了泰勒公式的核心與靈魂，這種化繁為簡(jiǎn)的性質(zhì)使它在分析和研究數(shù)學(xué)問題等各個(gè)方面發(fā)揮了巨大的作用．3.1利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性，最主要的問題是求出級(jí)數(shù)的極值，且希望極值，利用泰勒公式就可以較容易的解決。例1：討論級(jí)數(shù)的斂散性解：由泰勒展開式（2）得：選取比較級(jí)數(shù)因?yàn)槎?jí)數(shù)收斂，所以由級(jí)數(shù)斂散性判別定理1知級(jí)數(shù)收斂。3.2利用泰勒公式求極限有時(shí)候利用洛必達(dá)法則求極限會(huì)遇到比較復(fù)雜的運(yùn)算，步驟也多，而利用泰勒公式來求極限，則會(huì)簡(jiǎn)單得多。例2：假設(shè)，并且，證明：證：按題設(shè)有其中又因?yàn)榇嬖冢仕詮亩凶⒁獾缴鲜絻蛇吶O限可得3.3利用泰勒公式求近似值當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值，只能求得靠近似值，這時(shí)候，泰勒公式是解決這種問題的好方法。例3：當(dāng)充分小時(shí)，推導(dǎo)近似公式，解：因?yàn)樵卩徲騼?nèi)任意階可導(dǎo)，故由帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，可得另一方面，因?yàn)樵卩徲騼?nèi)任意階可導(dǎo)，且在該鄰域內(nèi)。由帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的唯一性得對(duì)比上面兩個(gè)式子，由泰勒公式的唯一性得所以即有可得，，，于是由此可見，當(dāng)足夠小時(shí)，有。3.4利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式的各種展開式，可以比較容易的證明不等式。例4：假設(shè)是可微分二次的函數(shù)，且，證明不等式證：由泰勒公式對(duì)任何都有（3）（4）其中位于與之間，位于與之間（3）式減去（4）式得到即所以即上式對(duì)任何都成立，故左邊二次式的判別式必小于等于0，即即由的任意性有。3.5利用泰勒公式研究函數(shù)的性質(zhì)在利用泰勒公式研究各種函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，往往都要用到泰勒展開式。例5：設(shè)為一次多項(xiàng)式，若皆為正值。證明在上無根。證：在題設(shè)條件下，假定，使得，注意多項(xiàng)式處處任意階可導(dǎo)，故存在，使得，于是，由泰勒公式，在上，有注意，故中，所以任一項(xiàng)即，假定有誤，由的任意性及知在上無根。3.6利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例6：將多項(xiàng)式表為的冪的多項(xiàng)式解：令，則，代入表達(dá)式中得故關(guān)于的冪的多項(xiàng)式為其實(shí)泰勒公式的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，在這里只能說明一部分，也證明了泰勒公式的應(yīng)用面之廣。但是，在某些特定的情況下，使用泰勒公式才能做到方便和快捷，例如在證明不等式時(shí)，當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合不等式時(shí)，作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往使證明簡(jiǎn)單不少；還有就是利用泰勒公式求近似值時(shí)，當(dāng)離越來越遠(yuǎn)，效果會(huì)越來越差，甚至產(chǎn)生完全錯(cuò)誤的結(jié)果。所以，泰勒公式不是萬能的，利用泰勒公式的時(shí)候要對(duì)具體的情況進(jìn)行分析，否則可能會(huì)得到相反的結(jié)果。在對(duì)函數(shù)的某些形態(tài)進(jìn)行理論分析時(shí)，泰勒公式大有用武之地，是最有力的數(shù)學(xué)工具之一，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中等都有廣泛的應(yīng)用，包括求極限，級(jí)數(shù)的斂散性，近似值，不等式，函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式等。從近似計(jì)算角度來說，泰勒公式對(duì)附近的有較高的精度，在求極限方面節(jié)省的很多步驟和時(shí)間。4泰勒公式在其他學(xué)科的應(yīng)用泰勒公式不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科有著廣泛而深刻的應(yīng)用，而且在其它學(xué)科的應(yīng)用也非常廣泛和普及．它除了在傳統(tǒng)的力學(xué)、控制論、計(jì)算機(jī)、工程建筑等領(lǐng)域外，還在統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融、保險(xiǎn)與精算等新興領(lǐng)域發(fā)揮著日益重要的作用．它們應(yīng)用的共同點(diǎn)都是用到了泰勒公式的精髓：逼近思想。4.1泰勒公式在力學(xué)中的應(yīng)用力學(xué)中的廣義Hooke定律是解決有關(guān)材料力學(xué)問題的重要工具之一．它建立了微體上的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，在工程應(yīng)用方面也顯示出它的重要性．然而，廣義Hooke定律的建立就依賴于泰勒公式。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系最一般的形式可表示是為4.2泰勒公式在風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)無處不在，它可能對(duì)個(gè)人和社會(huì)造成巨大的損失，所以有效的風(fēng)險(xiǎn)管控變得尤為重要．風(fēng)險(xiǎn)管控的前提是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)確有效的預(yù)測(cè)．評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)由各種風(fēng)險(xiǎn)因素組成，Taylor公式是一種非常有力的工具，可以用來研究風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中各參數(shù)值的改變對(duì)總風(fēng)險(xiǎn)的影響，從而提高評(píng)估的準(zhǔn)確性。4.3泰勒公式在時(shí)間序列分析中的應(yīng)用在當(dāng)前大數(shù)據(jù)時(shí)代，隨機(jī)數(shù)學(xué)中時(shí)間序列分析的研究變得越來越重要．但大多數(shù)實(shí)際數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)序列，因而其平穩(wěn)化就成為不可缺少的重要一步，泰勒公式在時(shí)間序列的平穩(wěn)化過程中起到了關(guān)鍵性作用。結(jié)論泰勒公式也稱為泰勒中值定理，是高等數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要內(nèi)容，不僅在理論分析方面有重要作用，應(yīng)用也非常廣泛。但在高等數(shù)學(xué)課程中沒有深入廣泛的展開討論，本文通過幾個(gè)例子也僅僅說明其中的兩方面的應(yīng)用，還有很多其他方面的應(yīng)用，以及二元函數(shù)的泰勒公式及其應(yīng)用等很多內(nèi)容可以展開進(jìn)一步的總結(jié)討論，從而對(duì)泰勒公式有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)與了解。參考文獻(xiàn)[1]邱克娥,彭長(zhǎng)文.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2017,33(06):76-79.[2]袁秀萍.靈活運(yùn)用泰勒公式提高解題能力[J].高等數(shù)學(xué)研究,2017,20(03):39-41+47.[3]袁占斌,王俊剛,聶玉峰,孫浩.積分型余項(xiàng)的泰勒公式與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[J].高等數(shù)學(xué)研究,