一份關(guān)于歷年國賽數(shù)論真題

2023.四．求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)k，對任意正整數(shù)n，不整除2023.四．設(shè)整數(shù)模2023互不同余，整數(shù)模2023也互不同余.證明：可將重新排列為使得模4028互不同余.2023.二.給定正整數(shù).數(shù)列定義如下：，對整數(shù)，記.證明：數(shù)列中有無窮多項是完全平方數(shù).四．設(shè)為大于1的整數(shù)，.證明：存在個不被n整除的整數(shù),假設(shè)將他們?nèi)我夥殖蓛山M,那么總有一組有假設(shè)干個數(shù)的和被n整除.2023．二．試證明：集合滿足(1)對每個及，假設(shè)那么一定不是的倍數(shù)(2)對每個〔A在N中的補(bǔ)集〕，且，必存在，，使是的倍數(shù)四．設(shè),n是正整數(shù).證明：對滿足的任意實(shí)數(shù)，數(shù)列中有無窮多項屬于.2023.二．證明：對任意整數(shù)，存在一個n次多項式具有如下性質(zhì)：(1)均為正整數(shù)(2)對任意正整數(shù)m，及人員個互不相同的正整數(shù)，均有四．設(shè)A是一個的方格表，在每一個小方格內(nèi)各填一個正整數(shù).假設(shè)它的所有數(shù)的和為10的倍數(shù)，稱A中的一個方格表為“好矩形〞.假設(shè)它不包含于任何一個“好矩形〞,稱A中的一個的小方格為“壞格〞.求A中“壞格〞個數(shù)的最大值.2023.二．設(shè)是給定的正整數(shù)，.記，.證明：存在正整數(shù)m，使得為一個整數(shù).其中，表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如.2023.二．設(shè)是給定的兩個正整數(shù).證明：有無窮多個正整數(shù)，使得與n互素.2023.二．設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且．證明：〔1〕假設(shè)為有理數(shù)，那么存在素數(shù)，使是的周期；〔2〕假設(shè)為無理數(shù)，那么存在各項均為無理數(shù)的數(shù)列滿足，且每個都是的周期．2007.三．設(shè)集合P={1，2，3，4，5}，對任意k∈P和正整數(shù)m，記f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整數(shù).求證：對任意正整數(shù)n，存在k∈P和正整數(shù)m，使得f(m，k)=n.2005.三.對每個正整數(shù)n，定義函數(shù)〔其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，試求：的值.2004.三．對于整數(shù)，求出最小的整數(shù)，使得對于任何正整數(shù)，集合的任一個元子集，均有至少個兩兩互素的元素．2003.二.設(shè)三角形的三邊長分別是整數(shù)且其中而表示不超過的最大整數(shù).求這種三角形周長的最小值.2002.三.在世界杯足球賽前，國教練為了考察，這七名隊員，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽〔每場90分鐘〕都上場．假設(shè)在比賽的任何時刻，這些隊員中有且僅有一人在場上，并且每人上場的總時間〔以分鐘為單位〕均被7整除，每人上場的總時間〔以分鐘為單位〕均被13整除．如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況．2001.三.將邊長為正整數(shù)m,n的矩形劃分成假設(shè)干邊長均為正整數(shù)的正方形，每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長之和的最小值.2000.二．設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1，a1=4，a2=49，且eq\b\lc\{(\a\ac(an+1=7an+6bn－3，,bn+1=8an+7bn－4．))n=0，1，2，……證明an〔n=0，1，2，…〕是完全平方數(shù)．三．有n個人，他們中的任意兩人至多通一次，他們中的任意n－2個人之間通的次數(shù)相等，都是3k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值．1999.三．給定正整數(shù)n，用克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為1,2,3,…,n克的所有物品?！?〕求k的最小值f(n)；〔2〕當(dāng)且僅當(dāng)n取什么值時，上述f(n)塊砝碼的組成方式是唯一確定的？并證明你的結(jié)論。1998.三.對于正整數(shù)a、n，定義Fn(a)=q＋r，其中q、r為非負(fù)整數(shù)，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整數(shù)A，使得存在正整數(shù)n1，n2，n3，n4，n5，n6，對于任意的正整數(shù)a≤A，都有Feq\s\do4(n6)(Feq\s\do4(n5)(Feq\s\do4(n4)(Feq\s\do4(n3)(Feq\s\do4(n2)(Feq\s\do4(n1)(a))))))=1．1995.二.求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．1994.二.將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，試求出這個數(shù)列的第1000項.1991.三．設(shè)an是下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1、3或4．求證：a2n是完全平方數(shù).n=1，2，…1990.二．設(shè)E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100},G為E的真子集且G具有以下兩條性質(zhì)：⑴對任何1≤i<j≤100，恒有ai+aj≠201；⑵eq\s\do4(\o(\s\up12(100),Σ,\s\do6(i=1)))ai=10080．試證明：G中的奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)．且G中所有數(shù)字的平方和為一個定數(shù)．1989.三．有n×n〔n≥4)的一張空白方格表，在它的每一個方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個數(shù)中的一個，現(xiàn)將表內(nèi)n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個根本項．試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部根本項之和總能被4整除〔即總能表示成4k的形式，其中k∈Z〕．1988.一．?dāng)?shù)列{an