專題05 解題技巧專題：特殊平行四邊形中定值、最小值、最大值、動(dòng)點(diǎn)、中點(diǎn)四邊形問(wèn)題之五大考點(diǎn)（解析版）

專題05解題技巧專題：特殊平行四邊形中定值、最小值、最大值、動(dòng)點(diǎn)、中點(diǎn)四邊形問(wèn)題之五大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一特殊平行四邊形中求定值問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二特殊平行四邊形中求最小值問(wèn)題】 5【考點(diǎn)三特殊平行四邊形中求最大值問(wèn)題】 8【考點(diǎn)四特殊平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 15【考點(diǎn)五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】 23【典型例題】【考點(diǎn)一特殊平行四邊形中求定值問(wèn)題】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形中，對(duì)角線，則菱形的面積是____，若點(diǎn)O是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于E，于F．則____．【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用菱形的面積公式求出菱形的面積；連接，利用等積法，即可得解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，∵邊長(zhǎng)為10的菱形，對(duì)角線，∴，∴，∴，∴菱形的面積是，連接，∵于E，于F，∴，即：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)F，G，則___________．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形是正方形，，點(diǎn)E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)E作，交射線點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形．連接．(1)連接，求證：．(2)求證：矩形是正方形．(3)探究：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)的值是定值，定值為4．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及邊角邊的關(guān)系證明即可得到結(jié)論；（2）作出輔助線，得到，然后判斷，得到，則有即可證明矩形是正方形；（3）同（法判斷出得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)E是正方形對(duì)角線上的點(diǎn)，∴，，，∴，∴；（2）證明：如圖，作，∴，∵點(diǎn)E是正方形對(duì)角線上的點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．∴矩形是正方形；（3）解：的值是定值，定值為4．理由：∵四邊形、都是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．【考點(diǎn)二特殊平行四邊形中求最小值問(wèn)題】例題：（2023春·河南開(kāi)封·九年級(jí)金明中小學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，四邊形是菱形，，，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，當(dāng)時(shí)，最小，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在、上，則的最小值是___．【答案】6【分析】作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作于，則的最小值，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作于，則的最小值，四邊形是矩形，，，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求線段和的最小值問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，，為的中點(diǎn)，若為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】連接，，，交于，依據(jù)，可得，依據(jù)是等邊三角形，即可得到，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，即點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，的最小值為的長(zhǎng)，的最小值為【詳解】解：如圖，連接，，，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，又是的中點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為，，，，中，，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，即點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，的最小值為的長(zhǎng)，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短問(wèn)題、菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，軸對(duì)稱求線段和的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．3．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，G是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)____．【答案】5【分析】作G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時(shí)的值最小，利用已知可以得出長(zhǎng)度不變，求出最小時(shí)即可得出四邊形周長(zhǎng)的最小值，利用軸對(duì)稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時(shí)的值最小，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，G為邊的中點(diǎn)，∴，由勾股定理得∶，即的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)，確定最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)三特殊平行四邊形中求最大值問(wèn)題】例題：（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)O，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，且，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____________．【答案】1【分析】作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，ME，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AC，垂足為Q，可判定當(dāng)點(diǎn)P，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PE的值最大，為ME的長(zhǎng)，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分線的性質(zhì)得到EM=CM=1即可．【詳解】解：如圖：作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接PE，ME，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AC，垂足為Q，∴PN=PE，則PM-PN=PM-PE，∴當(dāng)點(diǎn)P，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，PM-PE的值最大，為ME的長(zhǎng)，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=，∵N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)N和E關(guān)于BD成軸對(duì)稱，∴點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴CE=AC=，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ為等腰直角三角形，∴CQ==，∴EQ=，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，且，則長(zhǎng)的最大值為_(kāi)________．【答案】【分析】連接、、，由已知條件得出（當(dāng)點(diǎn)P是和的交點(diǎn)是取等號(hào)），再利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出最大值即可．【詳解】解：連接、、交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，,，，,，，,∴是等邊三角形，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，,，，，，，即長(zhǎng)的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和判定、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造等邊三角形得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)常州實(shí)驗(yàn)初中?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC為斜邊在矩形的外部作直角三角形BEC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則EF的最大值為_(kāi)_．【答案】【分析】取BC中點(diǎn)O，連接OE，OF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可求OC，CF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求OF的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，EF有最大值，即．【詳解】解：如圖，取BC中點(diǎn)O，連接OE，OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，∵點(diǎn)F是CD中點(diǎn)，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴，，∴，∵點(diǎn)O是Rt△BCE的斜邊BC的中點(diǎn)，∴，∵根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，∴當(dāng)點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F共線時(shí)，EF最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及三角形三邊關(guān)系，作出輔助線及熟知三級(jí)形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為_(kāi)_______．

【答案】【分析】作的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得到，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：作的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川南充·八年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，為正三角形，在菱形的邊上．(1)證明：．(2)當(dāng)點(diǎn)分別在邊上移動(dòng)時(shí)(保持為正三角形)，請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蔚拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值．(3)在(2)的情況下，請(qǐng)?zhí)骄康拿娣e是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）先求證，進(jìn)而證為等邊三角形，得進(jìn)而證，即可得；（2）根據(jù)可得，故根據(jù)即可解題；（3）當(dāng)正三角形的邊與垂直時(shí)，邊最短．的面積會(huì)隨著的變化而變化，且當(dāng)最短時(shí)，正三角形的面積會(huì)最小，又根據(jù)，則的面積就會(huì)最大．【詳解】（1）證明：連接,則，∵，∴，∵，∴，

∵四邊形是菱形，∴，∴為等邊三角形∴，∴在和中，，∴∴．（2）解：由（1）得，則．故，是定值．作于點(diǎn)，則，；（3）解：由“垂線段最短”可知，當(dāng)正三角形的邊與垂直時(shí)，邊最短．故的面積會(huì)隨著的變化而變化，且當(dāng)最短時(shí)，正三角形的面積會(huì)最小，又，則的面積就會(huì)最大．由（2）得，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的證明和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，本題中求證是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四特殊平行四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】例題：（2023春·四川自貢·八年級(jí)四川省榮縣中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值；(2)當(dāng)為多少秒時(shí)，四邊形是矩形；(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若四邊形能夠成為菱形，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出解出即可得出答案．（2）由矩形的性質(zhì)得出解出即可得出答案．（3）由菱形的性質(zhì)可求求出由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，（2）∵在梯形中，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．（3）如圖，若四邊形是菱形，則在中，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練運(yùn)用方程的思想方法是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形為矩形，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向B運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為_(kāi)__________時(shí)，四邊形是平行四邊形．（2）若M為線段上一點(diǎn)，且，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，它的最小值為_(kāi)______．【答案】12【分析】（1）先求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等列出方程求解即可；（2）如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，連接，則，四邊形是平行四邊形，，推出當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，由勾股定理得，則四邊形的周長(zhǎng)最小的最小值為12，求出直線解析式為，則當(dāng)時(shí)，，建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，，∴，∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；故答案為：；（2）如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，連接，∴，四邊形是平行四邊形，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)，∴當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最小，由勾股定理得，∴四邊形的周長(zhǎng)最小的最小值為12，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴此時(shí)，∴，解得，∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，它的最小值為12，故答案為：，12．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于點(diǎn)E，且DE=，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，速度為2個(gè)單位/秒，沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，速度為3個(gè)單位/秒，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①t=_______秒時(shí)，四邊形PQED是矩形；②t為何值時(shí)，線段PQ與四邊形ABCD的邊構(gòu)成平行四邊形；③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）26；（2）①；②當(dāng)t=或時(shí)，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構(gòu)成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數(shù)值可求CE，進(jìn)而可求CD，再利用等腰梯形的性質(zhì)可求BC；（2）①先畫(huà)圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對(duì)邊相等，于是PD=QE，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得2t=26-4-3t，進(jìn)而可求t；②有兩種情況：（i）是PQ與AB構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，可得AP=BQ，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得3t=18-2t，進(jìn)而可求t；（ii）是PQ與CD構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，可得PD=CQ，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得2t=26-3t，進(jìn)而可求t；③根據(jù)②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．【詳解】∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，又∵∠C=60°，∴CE==4，∠EDC=30°，∴CD=2CE=8，∵AD∥BC，AB=CD，∴四邊形ABD是等腰梯形，∴BC=2CE+AD=8+18=26；故答案為26；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，四邊形PQED是矩形，如圖，

∵四邊形PQED是矩形，∴PD=QE，∴2t=26-4-3t，解得t=；故答案為；②有兩種情況：（i）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，線段PQ與AB構(gòu)成平行四邊形，如圖，

∵四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP=BQ，∴3t=18-2t，解得t=，（ii）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，線段PQ與CD構(gòu)成平行四邊形，如圖，

∵四邊形PQCD是平行四邊形，∴PD=CQ，∴2t=26-3t，解得t=，綜上，當(dāng)t=或時(shí)，，線段PQ與四邊形ABCD的邊構(gòu)成平行四邊形；③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，（i）當(dāng)t=時(shí)，BQ=3t=，而AB=CD=8，所以BQ≠AB，∴四邊形ABQP不是菱形，（ii）當(dāng)t=時(shí)，DP=2t=，而AB=CD=8，所以DP≠AB，∴四邊形PQCD不是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出相關(guān)的圖，根據(jù)圖找出等量關(guān)系，進(jìn)而求出t．3．（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市蓮花中學(xué)?？计谥校┰谡叫沃?，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作的平行線，過(guò)點(diǎn)F作的平行線，兩條線交于點(diǎn)G．①若，求證：四邊形是菱形；②若，，，求四邊形的面積．(2)如圖2，若點(diǎn)M在線段上，，且，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，問(wèn)：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若有改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②30(2)不變，【分析】（1）①先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明得到即可證得結(jié)論；②在圖1中，延長(zhǎng)到H，使，連接、，分別證明和得到，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理求得，進(jìn)而求得，利用三角形的面積公式求得即可求解；（2）在圖2中，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接、，∵四邊形是正方形，先證明，得到，，進(jìn)而證得是等腰直角三角形，得到，再根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)證得，可得到，可得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是正方形，∴，，又，∴，∴，∴四邊形是菱形；②在圖1中，延長(zhǎng)到H，使，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，又∴，∴，，，∴，∵，∴，又，∴，∴，，設(shè)，則，在中，，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，由（1）知四邊形是平行四邊形，∴四邊形的面積為；（2）解：不變，且．理由為：在圖2中，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接、，∵四邊形是正方形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【考點(diǎn)五特殊平行四邊形中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】例題：（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是．(2)如圖2，請(qǐng)連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD，當(dāng)AC與BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；證明你的結(jié)論．(3)你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？說(shuō)明理由．【答案】(1)平行四邊形(2)AC⊥BD，證明見(jiàn)解析(3)菱形，見(jiàn)解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EH//BD，EH=BD，F(xiàn)G//BD，F(xiàn)G=BD，推出EH//FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得EH∥FG，EH＝FG，進(jìn)而得出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明EH⊥HG，可得平行四邊形EFGH是矩形．【詳解】（1）解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖1，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖2，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：如圖3，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀理解：我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形．(1)判斷圖1中的中點(diǎn)四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，在四邊形中，點(diǎn)M在上且和為等邊三角形，E、F、G、H分別為、、、的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析(2)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，，利用三角形中位線定理可得，，，，則，，從而證明結(jié)論；（2）連接與，首先利用證明，得，然后由（1）同理可得答案．【詳解】（1）解：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由如下：連接，，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，，同理，，，∴，，∴中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；（2）四邊形是菱形，證明如下：連接與，∵與為等邊三角形，∴，，，則，∴，在與中，，∴，∴，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，，的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結(jié)論解決新問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）【猜想結(jié)論】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，可以根據(jù)度量或目測(cè)猜想結(jié)論：DEBC，且DEBC．(1)【驗(yàn)證結(jié)論】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DEBC，DEBC．(2)【應(yīng)用結(jié)論】如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點(diǎn)四邊形．應(yīng)用上述驗(yàn)證結(jié)論，求解下列問(wèn)題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是矩形；③當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根據(jù)“SAS”證明，得出，，根據(jù)平行線的判定得出，得出BD=CF，證明四邊形BCFD為平行四邊形，得出，，即可證明結(jié)論；（2）①連接AC、BD，根據(jù)中位線性質(zhì)得出，，即可得證明四邊形EFGH為平行四邊形；②根據(jù)矩形的判定方法，得出結(jié)論即可；③根據(jù)正方形的判定方法，得出結(jié)論即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中，∴，∴，，∴，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴BD=CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即DEBC，DEBC．（2）①連接AC、BD，如圖所示：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∴四邊形EFGH為平行四邊形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；根據(jù)解析①可知，，，四邊形EFGH是平