分形與混沌理論在湍流研究中的應(yīng)用

分形與混沌理論在湍流研究中的應(yīng)用

0從研究方法看,可不斷形成研究新的學(xué)科或新的研究領(lǐng)域,尤其是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法非線性科學(xué)的兩個主要問題是分裂和混淆?；煜乾F(xiàn)象的深化，分割是結(jié)構(gòu)的深化，是混合運動的直觀幾何語言。目前,分形和混沌已經(jīng)進(jìn)入自然和社會科學(xué)的諸多領(lǐng)域,有著廣泛的應(yīng)用,并不斷形成新的學(xué)科或新的研究領(lǐng)域。湍流是混沌的、隨機的、無序的不可預(yù)測的系統(tǒng),湍流中流體軌道行為的隨機性及其復(fù)雜規(guī)律的刻劃與描述一直是科學(xué)研究上的難題,湍流一度被稱為“經(jīng)典物理學(xué)最后的疑團”。湍流之所以如此難解,究其原因在于運用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法,即線性的方法和觀點去研究湍流這樣的強非線性問題,無法取得突破性的進(jìn)展。而分形、混沌理論在處理非線性問題方面具有明顯的優(yōu)越性,因此近年來它們在湍流研究中越來越被關(guān)注,本文總結(jié)了近年來該研究的一些重要研究成果,以期對后序研究有所幫助。1分散理論與混亂理論的總結(jié)1.1混沌的概念和基本特征分形最早是由曼德布羅特于1967年提出的,用來描述那些表面看上去雜亂無章、變幻莫測而實質(zhì)上潛在有某種內(nèi)在規(guī)律性的幾何圖形或形狀。分形不僅是指幾何形狀還可以指具有自相似性的功能、信息等抽象對象。自相似性可以指絕對的自相似也可以指統(tǒng)計意義上的自相似,還可以是沿不同方向上按不同比例存在自相似的自仿射性。存在相似性的區(qū)間稱為標(biāo)度區(qū)間,在標(biāo)度區(qū)間內(nèi)研究分形體的性質(zhì),就是分形理論的內(nèi)容。這樣,分形的概念就可以應(yīng)用于多個領(lǐng)域,具有廣泛的意義?；煦缡前l(fā)生在確定性系統(tǒng)中偽隨機的現(xiàn)象,它是一種動態(tài)系統(tǒng)的運動,它通常具有初值放大效應(yīng)、奇怪吸引性、不可線性迭加、非周期性、結(jié)構(gòu)自相似及分形幾何特征?；煦邕\動是一種非常普遍的非線性現(xiàn)象,它的基本特征有:宏觀上無序無律;微觀上的有序有律;有序有律與無序無律的互補。1.2時間標(biāo)度:分形與混沌的一致性混沌與分形聯(lián)系密切,其研究內(nèi)容從本質(zhì)上講存在著極大的相似性?；煦鐚W(xué)研究的是無序中的有序,許多現(xiàn)象即使遵循嚴(yán)格的確定性規(guī)則,但大體上仍是無法預(yù)測的,比如大氣中的湍流,人的心臟的跳動等等?；煦缡录诓煌臅r間標(biāo)度下表現(xiàn)出相似的變化模式,與分形在空間標(biāo)度下表現(xiàn)的相似性十分相像?；煦缰饕懻摲蔷€性動力系統(tǒng)的不穩(wěn)、發(fā)散的過程,但系統(tǒng)在相空間總是收斂于一定的吸引子這與分形的生成過程十分相象混沌學(xué)與分形學(xué)在很大程度上依賴于計算機的進(jìn)步計算機技術(shù)不僅使這兩個領(lǐng)域中的一些最新發(fā)現(xiàn)成為可能,同時因其圖形直觀的表現(xiàn)形式也極大地激發(fā)了人們的興趣,起到了推廣作用。分形與混沌的一致性并非偶然,在混沌集合的計算機圖像中,常常是軌道不穩(wěn)定的點集形成了分形。所以這些分形是一個動力系統(tǒng)的混沌集,是各種各樣的奇異吸引子。因此,分形藝術(shù)的美麗就是混沌集合的美麗,對分形藝術(shù)的研究就是對混沌動力學(xué)研究的一部分。2在波浪研究中，分布式和混沌理論的應(yīng)用2.1渦流分維的演化過程湍流是一種典型的分形現(xiàn)象,其Kolmogorov圖像就是大渦套小渦、小渦中再套更小的渦,這一嵌套結(jié)構(gòu)顯然是一種自相似結(jié)構(gòu)。間隙、湍流斑這些擬序結(jié)構(gòu)也表現(xiàn)出統(tǒng)計意義上的自相似性。對于湍流的分形特征,一種解釋是流體中的渦管在運動中不斷地拉伸和折疊,根據(jù)Helmhotz定理,渦管不能在流動中消失,只能回避式的折疊。與分子隨機運動一樣,渦管全部填滿空間的可能性為零,呈不均勻分布,從而形成分形結(jié)構(gòu)。曼德布羅特和很多學(xué)者都將紊流圖象當(dāng)作分形的典型實例并做了大量研究工作。文獻(xiàn)用實驗證明了當(dāng)系統(tǒng)的控制參數(shù)增加到特定值時,螺旋式的Taylor渦流吸引子的分維將會不連續(xù)地突然增加;文獻(xiàn)得出了紊流的等值面、層紊流交界面和耗散結(jié)構(gòu)的分維;文獻(xiàn)通過信息熵和極值原理從理論上推導(dǎo)了耗散結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)維;文獻(xiàn)研究了幾種典型湍流的邊界線獲得了K區(qū)的分維;文獻(xiàn)對圓形湍流射流和羽流進(jìn)行了分維結(jié)構(gòu)測量。2.2湍流預(yù)混火焰?zhèn)鞑ニ俣饶Ｐ屯牧鞯睦碚摲中文Ｐ椭饕性陂g歇模型和湍流擴散上。繼Richardson在1922年提出完全發(fā)展湍流由不同尺度的渦構(gòu)成的思想后,Kolmogorov在1941年為完全發(fā)展湍流的理論研究提出了一系列重要概念,如能譜慣性子區(qū)的存在和-5/3次冪定律,形成了K41理論。這個理論的核心之一是在慣性子區(qū)存在標(biāo)度律。Kolmogorov認(rèn)為,這個標(biāo)度律是普適性的,與大尺度脈動運動的統(tǒng)計特征、黏性耗散和流動環(huán)境無關(guān)。但間隙性的存在暴露了K41理論的缺陷,因此,Kolmogorov和Obukhov等在1962年提出了修正自相似假設(shè)的K62理論。文獻(xiàn)在1978年對間歇性完全發(fā)展湍流提出了湍流分形模型—β模型。其關(guān)鍵假設(shè)是:湍流的小尺度結(jié)構(gòu)隨著該尺度大小的減小,所占空間也變得越來越小,第n級渦只占第n-1級渦的體積的β部分(β<1)。文獻(xiàn)在1990年根據(jù)Frisch導(dǎo)出的關(guān)系式,提出包含分維的新湍流尺度式中當(dāng)D3=3時,l=(v3/ε)1/4就是經(jīng)典的Kolmogorov尺度。利用新的湍流尺度,可望將湍流模型與分形結(jié)合起來,從而改善現(xiàn)有湍流模型的特征,這是湍流模型改進(jìn)的一個新方向。文獻(xiàn)于1994年對完全發(fā)展湍流提出層次結(jié)構(gòu)模型,該模型繼承了K41理論的精髓,即慣性子區(qū)存在標(biāo)度律,提出在完全發(fā)展湍流的慣性區(qū),無量綱層次結(jié)構(gòu)量之間有嚴(yán)格的自相似性,層次相似性反映了最強間隙結(jié)構(gòu)與較弱的脈動結(jié)構(gòu)之間的層次遞推關(guān)系,認(rèn)為層次結(jié)構(gòu)由最高激發(fā)態(tài)與層次相似參數(shù)(間隙參數(shù))共同決定,獲得了簡潔的標(biāo)度指數(shù)公式。文獻(xiàn)對湍流射流的實驗研究發(fā)現(xiàn),速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)依賴于流動區(qū)域,而且擴展自相似(ESS)在近尾流區(qū)的剪切流中也遵循。文獻(xiàn)在1997年基于雙變量對數(shù)Poisson模型利用層次結(jié)構(gòu)模型發(fā)展了被動標(biāo)量在慣性區(qū)的間隙模型,得到了與實驗相符的標(biāo)度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)公式。但文獻(xiàn)對將層次結(jié)構(gòu)模型運用于標(biāo)度(如溫度)結(jié)構(gòu)函數(shù)的做法提出質(zhì)疑,通過對圓柱尾流中被動標(biāo)量的實驗測量和理論分析,得到了標(biāo)量—速度混合結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)公式。該成果的一個引人注目之處就是,實驗發(fā)現(xiàn)廣義自相似在大大超出慣性區(qū)的尺度范圍內(nèi)存在。文獻(xiàn)在對湍流預(yù)混火焰熱圖像序列進(jìn)行分形分析的基礎(chǔ)上,提出了一種基于分形理論的湍流預(yù)混火焰?zhèn)鞑ニ俣饶Ｐ?該模型將小尺度渦團在火焰鋒面的強化湍流擴散效應(yīng)歸結(jié)為對封面結(jié)果的改變上。文獻(xiàn)從分析湍流場中局域中渦旋的串級結(jié)構(gòu)出發(fā),得到了顆粒與液相間的湍流渦旋裂變傳質(zhì)模型。在湍流擴散中文獻(xiàn)在年利用標(biāo)度和分形概念考慮了完全發(fā)展湍流間歇性的影響通過引入分維修正了著名的Richardson4/3次方定律。1984年又根據(jù)Lovejoy關(guān)于云的分維的測量結(jié)構(gòu),提出了新的湍流相對擴散理論。近年來,國外一些學(xué)者正積極利用子波變換研究湍流問題,成為湍流研究的熱點之一。2.3管流中的混沌現(xiàn)象在湍流發(fā)生和混沌的交叉研究領(lǐng)域中,已經(jīng)取得了很多成果,開始認(rèn)為湍流發(fā)生過程是流動由層流狀態(tài)到達(dá)充分發(fā)展的湍流狀態(tài)的混沌過程,普遍的觀點是:混沌與湍流有一定的關(guān)系,但終究不是一回事。文獻(xiàn)研究了Couetter-Taylor流動中關(guān)于奇怪吸引子的問題,并得到結(jié)論:盡管流動可能是非周期的,但確是確定的,正如混沌一樣。文獻(xiàn)研究了管道流動的間歇中湍流的發(fā)生機理,證明與初始隨機擾動的性質(zhì)有關(guān),并指出以分叉和混沌的觀點來研究轉(zhuǎn)捩具有一定的物理意義。文獻(xiàn)也就管流中的“猝發(fā)”現(xiàn)象進(jìn)行了類似研究。文獻(xiàn)對平板邊界層中湍流的發(fā)生與混沌動力學(xué)之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析。混沌的理論分析困難較大,在湍流中都是針對一些具體問題提出的。作者認(rèn)為其原因一方面是由于湍流實驗專家還對試驗中所觀察到的現(xiàn)象是否真正的混沌意見并未統(tǒng)一,另一方面是混沌現(xiàn)象的實驗研究還很困難。重要的是,混沌機理并未完全探明而是剛剛起步,用混沌模擬湍流,或者說,研究湍流中的混沌現(xiàn)象,還處于積累時期,但混沌理論中許多新的思想和新的方法的確可以使我們不依賴于方程也能研究湍流的動力學(xué)行為。2.4湍流的子問題和b-k-dv方程以法國科學(xué)家Temam為首的里昂學(xué)派證明二維的N-S方程的解在時間演化過程中會被逐漸吸收到一個有限維的吸收集中,并證明這系統(tǒng)有有限維的整體吸引子。引入慣性流形的概念,奇怪吸引子就是被嵌入到這種光滑的流形中。慣性流形的存在標(biāo)志著奇怪吸引子的存在。Temam認(rèn)為,從物理學(xué)觀點來看,慣性流形就是把湍流中小渦和大渦聯(lián)系起來的一種相互作用規(guī)律。三維的N-S方程對所有的t,使方程(2)的解u(x,t)都無界的點x的集合,維數(shù)最多為121(分?jǐn)?shù)維)。文獻(xiàn)認(rèn)為,用B-K-dV方程描述一維湍流,意義深刻,進(jìn)一步分析指出B-K-dV方程含有三種因子:非線性、耗散和色散。非線性可以使能量集中,也是產(chǎn)生混沌的重要因素。耗散對應(yīng)著熵增,它使過程具有不可逆性,色散使能量可聚可散。非線性、耗散、色散三因子的互相作用可以解釋湍流的許多性狀。如能量級串散裂是耗散作用占主導(dǎo)地位,小渦形成大渦的能量逆轉(zhuǎn)現(xiàn)象則是非線性和色散共同作用的結(jié)果。采用非線性、耗散和色散相互作用的機制,可以解釋湍流的許多現(xiàn)象。至于湍流中是否確實含有這三種因子及其作用規(guī)律,有待實驗進(jìn)一步證實。3分形、混沌動力學(xué)在湍流研究中的應(yīng)用(1)用分形、混沌等非線性分析技術(shù)研究湍流才剛剛起步,近10年來才得到了較快的發(fā)展。目前這類研究處于只能給出一些定性解釋的階段,離