復(fù)變函數(shù)-第三章-復(fù)變函數(shù)的積分

1、復(fù)積分的概念2、柯西積分定理3、柯西積分公式4、高階導(dǎo)數(shù)公式5、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第三章復(fù)變函數(shù)的積分本章主要內(nèi)容：13、復(fù)積分計算的參數(shù)方程法若能寫出C的參數(shù)方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因為C是光滑曲線

x(t),y(t)

C[

,

]:§1復(fù)變函數(shù)積分的概念2=3設(shè)曲線C的參數(shù)方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.

f(z)沿曲線C連續(xù)注:該公式可看成由下式形式相乘而得到=4例1解5例2:解積分路徑的參數(shù)方程為674、復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).被積函數(shù)的線性可加性8積分路徑的可加性9（一）計算復(fù)變函數(shù)的積分有哪些方法？

思考1.定義2.性質(zhì)3.4.（二）第四種方法有哪些步驟？1.確定曲線C的復(fù)方程:z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.確定被積函數(shù)f[z(t)]=u(t)+iv(t)10（1）連接z1和z2兩點的線段的參數(shù)方程為（2）過兩點z1和z2的直線L的參數(shù)方程為幾類常見曲線的復(fù)數(shù)方程（3）11

§2柯西積分定理12例解根據(jù)柯西－古薩定理得1314習(xí)題3.3（1）（3）（5）習(xí)題3.4（4）（5）15即:設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)f(z)的積分與路徑無關(guān).16定理4

設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則--------復(fù)積分的牛頓—萊布尼茲公式說明：在區(qū)域單連通而函數(shù)解析的情況下，可用此公式求復(fù)變函數(shù)的積分，特別是處處解析的函數(shù)的積分。3、原函數(shù)17例8解例9解18例10解由牛頓-萊布尼茲公式知,19例10另解204.3柯西積分公式21關(guān)于柯西積分公式的說明:(---這是解析函數(shù)的又一特征)結(jié)論：如果兩個解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個區(qū)域上也相等。?22推論223三、典型例題解：C2xyC1O24解：被積函數(shù)有奇點

i和

-i.OC1C2Ci-ixy25例3解26習(xí)題3.4（1）（2）274.高階導(dǎo)數(shù)公式28OC1C2Ci-ixy29習(xí)題3.4（7）（8）30§5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1、調(diào)和函數(shù)的定義12312、解析與調(diào)和的關(guān)系32

解析函數(shù)

調(diào)和函數(shù)

解析函數(shù)的實部與虛部均為調(diào)和函數(shù)，并且還滿足C.—R.方程，即解析