2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：28 離心率歸類訓(xùn)練（解析版）

28離心率歸類訓(xùn)練 1 7 【題型八】多曲線交點(diǎn)1:和拋物線 【題型十】多曲線交點(diǎn)3:雙曲線和橢圓 【題型一】判斷橫放豎放求參的離心率為();【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】依據(jù)橢圓和雙曲線定義好幾何性質(zhì)，對(duì)方程中含參判斷，要從以下幾方面：1、通過討論，確定焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上判斷(即俗稱的橫放還是豎放)。2、“橢圓”要注意避開倆分母相等這個(gè)計(jì)算坑【變式演練】1.已知雙曲線M:的離心率為2,則雙曲線M的漸近線方程是()A.y=±√3xC.y=±3x,,【分析】先由離心率的值求出a的值，則可得雙曲線方程，從而可求出其漸近線方程【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2,A.6【答案】D【分析】c.,即可得出答案.【詳解】所以曲線C:mx2+3y2=1為雙曲線，即m<0,所以,,,,3.設(shè)e是橢圓x2+my2=1(m>0)的離心率，.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()【答案】B【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)位置分情況討論.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為即【典例分析】.解得,橢圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值與橢圓的短軸長相等，則橢圓的離心率為()【答案】B【分析】根據(jù)題意得a+c=2b,進(jìn)而得5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0,再解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c,橢圓的短軸長為2b所以根據(jù)題意得a+c=2b,解得所以兩邊平方得a2+c2+2ac=4b2=4a2-4c2,解得等式兩邊同除以a2得5e2+2e-3=0,【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎(chǔ)性質(zhì)求離心率離心率的公式：橢圓，;雙曲線(豎放)【變式演練】1.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為4,且焦距為10,則C的離心率為()【答案】C【分析】即可求解.【詳解】中F、F?分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是()【答案】D【分析】由已知結(jié)合橢圓定義，用a表示出IPF1和|PF?I,再借助焦點(diǎn)三角形建立不等關(guān)系求解即得.【詳解】l,c.【詳解】,或或【題型三】補(bǔ)連另一焦點(diǎn)利用定義【典例分析】N兩點(diǎn).其中M在第一象限.則橢圓C的離心率的取值范圍為【答案】D【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】橢圓和雙曲線，與一個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)，思維上優(yōu)先連接另一焦點(diǎn)，分析是否能借助定義解決?！咀兪窖菥殹咳魘,∠BAF?=0,當(dāng)時(shí)，C的離心率的最小值為()【答案】D得AA【答案】B【分析】:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F',由已知條件知四的值域得到的范圍，然后由求解.【答案】DFQ過F(-c,0),F'Q過F'(c,0),【題型四】余弦定理1:基礎(chǔ)型,【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】一般情況下，焦點(diǎn)三角形，可以構(gòu)造余弦定理?！咀兪窖菥殹縿tC的離心率為()A.√2B.√3C.√6【答案】B結(jié)合雙曲線的定義求IF?A|、IFA|,在△AFF?中應(yīng)用余弦定理，構(gòu)造齊次方程，求離心率即可.2.設(shè)點(diǎn)F,F?2分別為雙曲線C)的左右焦點(diǎn).點(diǎn)A,B分別在雙曲線C的,則雙曲線C的離心率為()EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),A)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(rz),F)?=AEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),B)AFEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(u),?)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uur),A)F?=AEQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(uu),F)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(r),?)+AF?EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up7(u),,)ur∴(m+2a)2+(6m-2a)2=25m2,整理得(m-a)(3m-2a)=0,,..的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,過F的直線1與雙曲線左心率為()A.√2B.√3C.2D.雙曲線的定義，求得M|M=4a,可得m,再由勾股定理可得a,c的關(guān)系，即可得到所求離心率.【題型五】余弦定理2:勾股定理用兩次【典例分析】如圖，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線E:右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長PO,PF分別交E于Q,R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR,且IQF|=2|FRI,則E的離心率為()【答案】B【分析】:令雙曲線E的左焦點(diǎn)為F',連線即得。PFQF',設(shè)|FR|=m,借助雙曲線定義及直角FPR用a表示出|PF],|PF'1,再借助Rt。F'PF即可得解.【詳解】:如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為F',連接PF',QF',RF',由對(duì)稱性可知，點(diǎn)O是線段PQ中點(diǎn)，則四邊形PFQF'是平行四邊形，而QF⊥FR,于是有設(shè)|FR|=m,則IPFl=FQ|=2m,IPF|=2m-2a,|RF'|=m+2a,|PR|=3m-2a,在Rt?F'PR中，(2m)2+(3m-2a)2=(m+2a)2,解得或m=0(舍去),所以雙曲線E的離心率為.故選：B【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】焦點(diǎn)三角形或者焦點(diǎn)弦，有垂直(或者在圓上)可以構(gòu)造勾股定理，特別是焦點(diǎn)弦，倆交點(diǎn)，可以構(gòu)造兩個(gè)勾股定理?！咀兪窖菥殹康淖笥医裹c(diǎn)分別為F,F?,過F的直線交雙曲線C【答案】A由PF2=PF;QF?→PF·(PF-QF)=0→PF?·PQ=0→PF⊥PQ,2.已知F是雙曲的左焦點(diǎn)，圓O:x2+y2=a2+b2與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若PF的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是()【答案】A【分析】:根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【詳解】:由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為F,因?yàn)閍2+b2=c2,且圓O:x2+y2=a2+b2,所以點(diǎn)P在以焦距為直徑的圓上，則∠FPF=90°,A.√2B.√3【典例分析】A.(1.√2)【答案】B:,在△FOA中，由余弦定理可知，即【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】【變式演練】則橢圓C的離心率為(B)c.o.,利用余弦定理，可得a=3k,在。NFF2中，利用余弦定理，即可求橢圓C整理得a=3k,,即4c2=18k2,即2c2=9k2=a2,2.已知梯形ABCD滿足AB//CD,∠BAD=45°,以A,D為焦點(diǎn)的雙曲線廠經(jīng)過B,C兩點(diǎn).若CD=7AB,則雙曲線I的離心率為()【答案】A【分析】先畫出大致圖象，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理求得a,c結(jié)論.之間的關(guān)系即可得到【詳解】:如圖：連接AC,BD,則BD-AB=AC-CD=2a,設(shè)雙曲線的焦距AD=2c,實(shí)軸長為2a,設(shè)AB=m,則CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7m,∠BAD=45°,∠ADC=135°,在△ABD中，由余弦定理及題設(shè)可得：(2a+m)2=m2+4c2-2√2mc,在△ACD中，由余弦定理及題設(shè)可得：(2a+7m)2=49m2+4c2+14√2me,離心率.【題型七】中點(diǎn)型【典例分析】【分析】:依據(jù)題給條件得到關(guān)于a,c的關(guān)系式，即可求得橢圓C的離心率.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】【變式演練】1.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的右焦點(diǎn)為F(c,0),直線x=c與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中M為線段曲線C的離心率為()A.B.√2C.√3【答案】A,,,支于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)M為線段BF的中點(diǎn)，且AF=AB.若(則雙曲線C的離心【答案】A【詳解】:點(diǎn)M為線段BF的中點(diǎn)，且AF=AB,則AM⊥BF,,BF|-|BF?|=2a,∴|AF|+|BF|-|AB|=4a,∴m=8a,∴|FB|=4a3.已知F,F2分別是橢圓C:)的左、右焦點(diǎn).若橢圓C上存在點(diǎn)P,使得線段PF的垂直平分線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F?,則橢圓C的離心率的取值范圍是()【題型八】多曲線交點(diǎn)1:和拋物線【答案】B,,【變式演練】【答案】DB線交于點(diǎn)D,記,則∠PF'F=α的離心率為(),,3.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若△FAB是正三角形，則橢圓的離心率為B【答案】C【典例分析】的一個(gè)交點(diǎn)為P,若直線PF與另一條漸近線平行，則C的離心率為()A.3B.2C.√3【答案】D【分析】:將一條漸近線方程與以實(shí)軸為直徑的圓方程聯(lián)立可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線C的離心率.【詳解】:不妨設(shè)P為第一象限的交點(diǎn).聯(lián)立方程組可得P的坐標(biāo)為【變式演練】直線1,1?交雙曲線E于A,B,C,D)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F,F3分別作四點(diǎn)，使得四邊形ABCD為平行四邊形，且以AD為,則雙曲線E的離心率為()o.【分析】:利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及2.已知雙曲b>0與圓x+y2=B在第二象限相交于點(diǎn)M,F,分別為A.√2直角三角形，故可求M點(diǎn)坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求得a與b關(guān)系，故而求,即b?即b?-a?=a2c2,即線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M,N,設(shè)四邊形FNFM的周長C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為()A.2+√2B.8+4√2C.2+2√2【答案】A整理可得：b2c2-a2b2=b2y2+a2y2整理可得：b2c2-a2b2=b2y2+a2y2,【典例分析】已知有相同焦點(diǎn)F、F2的橢圓線的離心率之積的范圍為()【答案】A【分析】由橢圓和雙曲線的方程有相同的焦點(diǎn)，得出a-1=m+1 , 【變式演練】則【答案】A圓和雙曲線的定義，不妨設(shè)P在第一象限，求出IPFI,IPF2l,(F,F?為焦點(diǎn)),在△PF;F?2中利用余弦定理，求出a,m,c關(guān)系，進(jìn)而得出橢左右焦點(diǎn)分別為F(-c,0),F?(c,O)c2=a2-b2=m2+n2不,,橢圓與雙曲線的離心率分別為e,e?,則象限的一個(gè)交點(diǎn)，且設(shè)e?,e?分別為橢圓雙曲線離心,為A.√2B.2√2C.3√2【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為a?半焦距為c,雙曲線的實(shí)半軸長為a?,半焦距為c,根據(jù)橢圓和公式可得最后利用柯西不等式即可得到.【詳解】:設(shè)橢圓的長半軸長為a,半焦距為c,雙曲線的實(shí)半軸長為a?,半焦距為c,【典例分析】【答案】A據(jù)此可得兩曲線漸近線斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率范圍.故該雙曲線離心率的取值范圍是(1,√2),故選：A【變式演練】F?作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,過點(diǎn)P作x軸的垂線A.2B.√2【答案】A離等于到AP的距離，列式可求離心率.,由即,化簡整理得e2-e-2=0,化簡整理得e2-e-2=0,(a>0,b>0)的在右焦點(diǎn)分別為F(a>0,b>0)的在右焦點(diǎn)分別為F、只、A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以FF?為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P、Q兩點(diǎn)，且線的離心率為()則該雙曲【答案】C,根據(jù)雙曲線定義，得到在△PF;F2,根據(jù)雙曲線定義，得到在△PF;F2,,,得出結(jié)果.不妨取點(diǎn)M在第二象限，因?yàn)橐設(shè)F不妨取點(diǎn)M在第二象限，所以MF;⊥OM,則kum·kow=-1,,;,,,所以雙曲線的離心率為【題型十二】雙曲線特性2:內(nèi)心【典例分析】點(diǎn)E在y軸上，且EA//x軸.若。BDE的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離,則C的離心率為().【答案】B平分線定理，得到a,b關(guān)系后即可求出離心率.EA⊥BD,所以。BDE的內(nèi)心G在線段EA上.因?yàn)镚到y(tǒng)軸的距離為【變式演練】1.設(shè)F,F2分別為雙曲)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x,a)為雙曲線上的△PFF2的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為()【分析】:先求出△PFF?的重心坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線定義及切線長定理求出△PFFZ的內(nèi)心所以重心坐標(biāo)為設(shè)△PF;F?的內(nèi)心為D,內(nèi)切圓與PF,PF2的切點(diǎn)分別為A,B,與x軸切點(diǎn)為C,則PA=PB,FA=FC,F?B=F?C,且點(diǎn)D與點(diǎn)C橫坐標(biāo)△PFF?的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，所以,解得：c=3b,即C2=9(c2-a2),2.已知雙曲(a,b>0)的左右焦點(diǎn)記為F,F?,直線1過F?且與該雙曲線的一的離心率為()o.【詳解】:令雙曲線的半焦距為c,則F(-c,O),F?(c,O),由對(duì)稱性不妨令與1平行,令△PFF?的內(nèi)切圓O'與△PFF2三邊相切的切點(diǎn)分別為A,B,C,令點(diǎn)A(x,O),如圖，,3.如圖，已知雙曲的左、右焦點(diǎn)分別為F,F2,過右焦點(diǎn)作平行于【答案】A【分析】:設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F(-c,O),F?(c,O),設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,,可得直線AF的方程為,聯(lián)立雙曲線的方程可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)IAFFm,IAF?=n,運(yùn)用三角形的等面積法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡變形可得關(guān)于a,c的方程，結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】:設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F(-c,O),F?(c,O),設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為可得直線AF?的方程為,與雙曲線在三角形AFF中由,(0為直線AF?的傾斜角),③③故已知雙曲線)的左，右焦點(diǎn)分別是F,F?,點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)H在直線x=a上，且滿足,λ∈R.若5HP+4HF;+3HF?=?,則雙曲線C的離心率為()A.3B.4C.5【分析】:根據(jù)條件可確定H在∠FPF?的角平分線上，且H是△PFF?的內(nèi)心，由向量關(guān)系由奔馳定理(已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有SAPBC·PA+SAPA.【變式演練】若△FPF?的內(nèi)切圓的半徑r滿足,在△FPF?中，利用余弦定理及面積公式可再由已知結(jié)合正弦定理得到關(guān)系式,結(jié)合b2=a2-c2,將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為a,c的關(guān)在△F;PF?中，利用橢圓定義知|,由余弦定理得又△FPF?的內(nèi)切圓的半徑為r,利用等面積法可知所以即又b2=a2-c2,整理得4ac=3a2-7c2兩邊同除以a2,則4e=3-7e2,解得或e=-1(舍去)A.A.,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為()若B(x,y?),A(x?,y?)有BF=a+exj,A.√2B.2√2,,因?yàn)镾?=2S,