2021-2022學(xué)年高二人教A版數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第三章3 .4 生活中的優(yōu)化問題舉例

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例

；'學(xué)

i習(xí)1.理解生活中的優(yōu)化問題.(數(shù)學(xué)抽象)

i目2.掌握用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法與步驟.(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)

'、、標(biāo)

快能力形成?合作探究《

類型一平面幾何中的最值問題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)

【典例】1.如圖所示，半徑為2的。M切直線AB于點O,射線OC

從OA出發(fā)繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)到OB,旋轉(zhuǎn)過程中，OC交。M于

P,記NPMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是如

圖中的()

選A.由所給的圖示可得，當(dāng)X<71時，弓形PnO的面積為S=f(x)=

S扇形PnO-SAMPO=2x-2sinx,其導(dǎo)數(shù)為f(x)=2-2cosx,由余弦函

數(shù)的性質(zhì)知，此值越來越大，即f(x)的圖象上升得越來越快，由此可

以排除B,C；再由所給圖示的對稱性知，弓形PnO的面積先是增加

得越來越快，然后是增加得越來越慢，直到增加率為0,由此可以排

除D.

2.如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD

的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底C,D的端點在圓周上，

則所裁剪出的等腰梯形面積最大值為.

連接OC,過C作CE±OB,垂足為E,如圖：

設(shè)OE=x,CE=y,貝!]X?+y?=4,

所以等腰梯形ABCD的面積S=；(2x+4)y=(x+2)y=(x+

2)^4-x2(x+2)3(2-x),0<x<2,

令h(x)=(x+2)3(2-x),0<x<2,

h〈x)=3(x+2/(2-x)-(x+2)3

=4(1-x)(x+2)2,xG(0,1),h\x)>0,h(x)單調(diào)遞增,xe(l,2)8(x)<0,

h(x)單調(diào)遞減，

所以x=1時，h(x)取得極大值，也是最大值，

h（X）max=Ml）=27,即S的最大值為3小.

答案：3小

3.如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，

一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌墻壁所用

的材料最省時，堆料場的長和寬分別為.

要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，設(shè)場地寬為X米，則

si?-si?SI?

長為丁米，因此新墻壁總長度L=2x+—（x>0），則U=2-qr,

XXX

令L'=0,得x=±16.

因為x>0,所以x=16.

當(dāng)x>16時,L>0,L遞增，

當(dāng)0<x<16時,LV0,L遞減,

所以當(dāng)X=16時，Lmin=64,此時堆料場的長為32米.

答案：32米，16米

【思路導(dǎo)引】建立函數(shù)模型，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值.

解題策略

1.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路

（優(yōu)化問題）建立數(shù)學(xué)模型.（用函數(shù)表中數(shù)學(xué)問題）

，加?解決數(shù)學(xué)模型

（優(yōu)化間嬴的答案）-----—~（用導(dǎo)數(shù)解】數(shù)學(xué)問題）

2.關(guān)于平面圖形中的最值問題

平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要

研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，

求極值，從而求最值.

?跟蹤訓(xùn)練》?

如圖是一塊地皮OAB，其中OA,AB是直線段，曲線段OB是拋物

線的一部分，且點0是該拋物線的頂點，OA所在的直線是該拋物線

的對稱軸.經(jīng)測量，OA=2km,AB=啦km,ZOAB=/現(xiàn)要從

這塊地皮中劃一個矩形CDEF來建造草坪其中點C在曲線段OB上,

點D,E在直線段OA上，點F在直線段AB上，設(shè)CD=akm,矩

形草坪CDEF的面積為f(a)km2.

⑴求f(a),并寫出定義域.

⑵當(dāng)a為多少時，矩形草坪CDEF的面積最大？

⑴以O(shè)為原點，OA邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系過點B作BG_LOA于點G在直角△ABG中AB=啦,ZOAB

=1，所以AG=BG=1,又因為OA=2,所以O(shè)G=1,則B(1,1),

設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,代入點B的坐標(biāo)，得p=；,

所以拋物線的方程為y2=x.因為CD=a,所以AE=EF=a，則DE

=2-a-a2,

所以f(a)=a(2-a-a2)=-a3-a2+2a,定義域為(0,1).

巾-1巾-]

(2)f(a)=-3a?-2a+2,令f(a)=0,彳導(dǎo)a=--.當(dāng)0<a<-~

時，網(wǎng)a)>0,f(a)在|o,與[|上單調(diào)遞增；

y[7-1(S-1\

當(dāng)七一<a<l時，f(a)<0,f(a)在1上單調(diào)遞減.所以

JI3J

市-1

當(dāng)a二七一時，f(a)取得極大值，也是最大值.類型二立體幾何

中的最值問題(數(shù)學(xué)運算、直觀想象)

【典例】如圖所示，正方形ABCD的邊長為2,切去陰影部分圍成一

個正四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時，該正四棱推外接球的表面積

為()

52K1697T3387r

A.o-B.-TTC-~25~口?

選D.由題意，正方形ABCD的邊長為2,可得對角線的一半為吸，

折成正四棱錐后，設(shè)正四棱錐邊長為a,高為h,可得：1?=2-ga,

（0<a（啦）.

正四棱錐體積V=|a2-h最大時，即V=；N2a4-包

令y=2a4-^/2a5,

Q

則y'=8a3-5啦a”，令y，=0,可得a=其歷,

即當(dāng)2=表時體積取得最大值；

所以h=邛.正四棱錐底面正方形外接圓r=|.

正四棱錐外接球的半徑R,可得當(dāng)-R12+82=R2,解得：R2=

169

250?

正四棱錐外接球的表面積S=47TR2=翟兀

JL4J

解題策略

關(guān)于立體幾何中的最值問題

⑴立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此

基礎(chǔ)上解決與實際問題相關(guān)的問題.

⑵解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已

知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行

拆分或組合，以便簡化求值過程.

＜＜跟蹤訓(xùn)練＞?

如圖所示的某種容器的體積為90兀cm3,它是由圓錐和圓柱兩部分組

合而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為rem.圓錐的高為％cm,母

線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2cm.已知圓柱底面造價為2a

元/cn?,圓柱側(cè)面造價為a元/cm?,圓錐側(cè)面造價為虛a元/cn?.

(1)將圓柱的高h(yuǎn)2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域.

⑵當(dāng)容器造價最低時圓柱的底面圓半徑r為多少？

(1)因為圓錐的母線與底面所成的角為45°,

所以hi=r,

圓錐的體積為Vi=|兀Fhira3,

2

圓柱的體積為V2=7rrh2.

因為V1+V2=90兀，

所以V2=7tr2h2=90K-nr3,

270-r390「

所以h2="^=7--

因為Vi=加＜90兀,所以r＜3？/10.

因此0<r<3洞.

所以112=患-1，定義域為"［0<!<3跖5}.

⑵圓錐的側(cè)］面積S1=口?也r=727tr2,

圓柱的側(cè)面積S2=2幾山2,底面積S3=7rr2.

容器總造價為y=/aSi+aS?+2as3=2口2a+2兀山2a+2m2a=2na(r2

+山2+於)=2兀42r2+1'(患-t二號里(於+藺.令f(r)=於+半，貝［J

54

f(r)=2r--p.

令F(r)=0,得r=3.

當(dāng)0<r<3時，f(r)<0,f(r)在(0,3)上為單調(diào)遞減的；當(dāng)3<r<3^10時,

f(r)>0,f(r)在(3,3洞)上為單調(diào)遞增的.因此，當(dāng)且僅當(dāng)r=3時,

f(r)有最小值，即y有最小值，為9071a元.

所以總造價最低時，圓柱的底面圓半徑為3cm.

類型三實際生活中的最值問題(數(shù)學(xué)建模)

角度1用料最省、費用最少問題

【典例】1.某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48n?,

高為

3m,如果箱底每平方米的造價為15元，箱壁每平方米的造價為12

元，則箱子的最低總造價為()

A.900元B.840元

C.818元D.816元

2.某公司租地建倉庫，每月土地占用費yi（萬元）與倉庫到車站的距

離成反比，而每月庫存貨物的運費y2（萬元）與到車站的距離成正比，

如果在距離車站10千米處建倉庫,yi和y2分別為2萬元和8萬元那

么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站千米處.

【思路導(dǎo)引】結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.

1.選D.設(shè)箱底一邊的長度為xm,箱子的總造價為/元，根據(jù)題意，

得

48J48）

/=15x-y+12x2l3x+~l

=240+72卜+引（x>0）,

I'=72（1-,令0解得x=^x=-4（舍去）,

當(dāng)0<x<4時,1'<0；當(dāng)x>4時">0.

故當(dāng)x=4時，/取得最小值為816.

.設(shè)倉庫與車站相距千米，依題意可設(shè)每月土地占用費

2xy.=7ZY,

每月庫存貨物的運費y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離，K,k2

是比例系數(shù)，

k1

于是由2=而得ki=20；

4

由8=10k2得k2二弓.

所以兩項費用之和為+竿（x>0）,

XJ

,204

y;-衣+5，

令y，=0,得*=5或*=-5（舍去）.

當(dāng)0<x<5時，y，<0；

當(dāng)x>5時,yz>0.

所以當(dāng)x=5時，y取得極小值，也是最小值.

所以當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時，兩項費用之和最小.

答案：5

變式探究

若本例1箱壁每平方米的造價為8元，則箱子的最低總造價為多

少？

設(shè)箱底一邊的長度為xm,箱子的總造價為/元，根據(jù)題意，得/=

_48。工48）

15x—+8x213x+小

=240+48卜+受），/，=48（1-引,

令/，=0解得x=4或x=-4（舍去），

當(dāng)o<x<4時,r<o；當(dāng)x>4時,r>o.

故當(dāng)x=4時，/取得最小值為624.

角度2利潤最大問題

【典例】樹人中學(xué)2019級高一年級一個學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會實踐

活動，決定對某商場銷售的商品A進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該

商品一個階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百

件)與銷售價格x(元/件)近似滿足關(guān)系式g(x)=a+2(x-5)2，其中

x-2

2<x<5,a為常數(shù).已知銷售價格為3元/件時，每日可售出該商品10

百件.

⑴求函數(shù)g(x)的解+析式.

⑵若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調(diào)研結(jié)果請你試確定該商品銷

售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤(單位：百元)最

大.

【思路導(dǎo)引】(1)由題意將(3,10)代入函數(shù)解+析式，建立方程，即可

求出g(x)的解+析式.

⑵商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量x銷售該商品

的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再

用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出

最大值對應(yīng)的x值.

(1)由題意，1°=t+2(3-5/，

解得a=2,

2

故g(x)=-+2(x-5)2(2<x<5).

x-2

⑵商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

y=h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)(2<x<5),y'=4(x-5)(x-2)

+2(x-5)2=6(x-3)(x-5).列表得x,y,y，的變化情況：

X(2,3)3(3,5)

-

y'+0

y單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

由表可得，x=3是函數(shù)h(x)在區(qū)間(2,5)內(nèi)的極大值點，也是最大值

點.

解題策略

解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題

⑴列函數(shù)解+析式時，注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定

義域.

⑵一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)在給定區(qū)

間內(nèi)只有一個極值點，則根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最小值

即可，不必再與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較.

題組訓(xùn)練

1.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量

是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是f(x)

11

-

3+a2+-

8X6X2X(x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單

位：萬元，a是常數(shù))，若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤

最大，每年需種植蓮藕()

A.6萬斤B.8萬斤C.3萬斤D.5萬斤

選A.由題意，設(shè)銷售的利潤為g(x),

/曰/、1,9111

得g(x)=-g+ax2+2x-1-2x,

1Q

即g(x)=-§x3+j^ax2-1,

95

當(dāng)x=2時，g(2)=-1+aa-1=2,解得a=2,

19

故g(x)=-gx3+gx2-1,

39

則gr(x)=-gx2+^x

3

=-gx-(x-6),

可得函數(shù)g(x)在(0,6)上單調(diào)遞增，在(6,8)上單調(diào)遞減，所以x=6

時，利潤最大.

2.做一個圓柱形鍋爐，容積為V,兩個底面的材料每單位面積的價

格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價格為b元，當(dāng)造價最低時，鍋

爐的底面直徑與高的比為()

22

人aabb

A.rB.~rC.-D.一

bbaa

選A.設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為

,h.jrd2,Tid2,,Jr,,,

k=［，由V=丁h=丁-kd=akd3,

4V3Mvk2

可得d=AK，h=kd=\hr

設(shè)造價為y,則y=2冗｛雪2

-a+7rdh-b

jra3/16V23/16V2,

?k*+兀b"

一2'7l2兀2

5

16V22'

則V=詈?'k*+nb-

九2

i-1a

；k3,令y，=0,解得k=1,可得此時y取得最小值.故當(dāng)造價最

低時鍋爐的高與底面直徑的比為￡.

3.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻

需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米

厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單

、k

位萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系C(x)=(0<x<10),

3x+5

若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費

用G(x)與20年的能源消耗費用之和.

⑴求k的值及f(x)的表達(dá)式.

⑵隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.

k

⑴由題設(shè)知膈熱層厚度為xcm每年能源消耗費用為C(x)=。=

3x+5

40

再由C(0)=8,得k=40,因止匕C(x)=-------.

3x+5

而建造費用為Ci(x)=6x,

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)=20C(x)

40800

+Ci(x)=20x-------+6x=-------+6x(0<x<10).

3x+53x+5

2400

令改)=0,即

_25

解得x=5或x=-y(舍去).

當(dāng)0<x<5時,f(x)<0,

當(dāng)5<x<10時,f(x)>0,

故x=5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)=6X5+黑=70.

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達(dá)到最小值為70萬元.

饞學(xué)情診斷?課堂測評《

1.將邊長為1m的正三角形紙片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩

(梯形的周長>____________

塊，其中一塊是梯形，記y=田也的石m，則y的取小值為()

梯形的面積

16^332^/310必C196s

A.3a-3c-9u-15

選B.如圖：設(shè)^ADE的邊長為x,

則梯形周長為：3-x,△ADE的面積為:乎xz,

梯形面積為：田(1-x2),

貝

-

4

v3

當(dāng)xe

xe

當(dāng)

/D

h2

4r--

時

.m-X317

ymV3

1--9

60-x

2.一個箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)=x2-

2

(0<x<60),則當(dāng)箱子的容積最大時，x的值為()

A.30B.40C.50D.60

13