2022年陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（二）（二模）（附答案詳解）

2022年陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（二）（二

模）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)集合4={x|(x-3)(%+2)<0},B={0,1,2,3,4},則4nB=()

A.{1,2}B.[1,2,3)C.{0,123}D.[0,1,2)

2.復(fù)數(shù)z=缶，則⑶=()

A.1B.2c-D.V2

3.已知命題p：VxG(O1+oo),ex>x+1,則”為（）

A.VxG(0,+8),<x+1B.Vx0(0,4-oo),ex<x+l

C.3x6(0,+8),<%4-1D.3%g(0,+8),eX>X+1

(y+2>0

4.若x,y滿足約束條件-y+1N0,貝收=%-2y的最小值為（）

lx<1

A.-3B.1C.5D.-5

5.已知sin(x—》=學(xué)則sin%+sin(x-今=()

A.1B.-1CTD.V3

3

6.將長為7cm的木棍隨機(jī)分成兩段，則兩段長都不小于2cm的概率為()

A.；B.|C.gD.1

7777

7.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+3)=/(x),貝廳(2022)=()

A.2019B.3C.-3D.0

8.在正方體力BCD-&B1GD1，E,F分別為BiQ與GDi的中點(diǎn)，則異面直線為D與EF

所成角的大小為（）

A.IB.C.

643

9.已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+<p）G4>0,3>0,|伊|<$的

部分圖像如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)y=/（x）在［一（0］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線x=一整對稱

C.函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(一弓,0)對稱

D.該圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=2s出(2x+今

10.已知Fi、尸2分別是橢圓盤+總=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且

PF1LPF2,若|PF1|=g|PF2|，則橢圓的離心率為()

A.V6-V3B.V2-1C.V3-1口.漁2

2

11.若%>0,、>0且％+丫=2,則下列結(jié)論中正確的是()

A./+y2的最小值是1B.xy的最大值是:

C.彳+^的最小值是4立D.々+后的最大值是2

y

10%-m,x<-

2i(e是自然對數(shù)的底數(shù))在定義域R上有三個(gè)

xex—2mx+m,x>

(2

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(e,+8)B.(e,5]C.(e,5)D.[e,5]

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知△ABC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若B=24a=1,b=痘,

則c=.

14.已知平面向量五=(2,-3),|石|=JIU，\a-b\=3>則五)=.

15.設(shè)雙曲線C；J-5=l(b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4，/，左、右焦點(diǎn)分別為丹、

F2,以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以&&為直徑的圓與直線

PR相切，則AFiPB的面積為.

16.2022年北京冬奧會某項(xiàng)小組賽中將4,B,C,。四個(gè)隊(duì)分在一組進(jìn)行比賽，甲、乙、

丙、丁四人對四個(gè)隊(duì)的第一名至第四名進(jìn)行預(yù)測，分別是甲：。以8；乙：CBAD；

丙：CBDA；T：B4CC.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，甲和乙預(yù)測對了兩個(gè)隊(duì)的排名，丙和丁

只預(yù)測對了一個(gè)隊(duì)排名，則最后的排名是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知函數(shù)〃n)=2n-l(nGN*),數(shù)列｛%｝滿足bn=2^(neN*),數(shù)列｛a"為等差

數(shù)列，滿足％=瓦，a3=b2—2.

(1)求數(shù)列｛斯｝、｛為｝的通項(xiàng)公式；

第2頁，共18頁

(2)求數(shù)列｛斯+%｝的前n項(xiàng)和土.

18.某地區(qū)2015年至2021年居民家庭人均存款y(單位：萬元)數(shù)據(jù)如表:

年份2015201620172018201920202021

年份代

1234567

號t

人均存

2.93.33.64.44.85.25.9

款y

變量t,y具有線性相關(guān)關(guān)系.現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得其回歸直線方

程分別為：甲y=0.5t—2.3；乙y=—0.5t+2.3；丙y=0.5t+2.3,其中有且僅有

一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差大于0.1,則稱該數(shù)據(jù)為

“不可靠數(shù)據(jù)"，若誤差為0,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“完美數(shù)據(jù)”，這兩者之外的其

余數(shù)據(jù)均稱為“可靠數(shù)據(jù)”.現(xiàn)剔除不可靠數(shù)據(jù)，從剩余數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求

“可靠數(shù)據(jù)”與“完美數(shù)據(jù)”各有一個(gè)的概率.

19.如圖所示，四棱錐P-4BCO中，P4_L菱形4BCD所

在的平面，/-ABC=60°,點(diǎn)E、F分別是BC、PD的

中占

(1)求證：平面AEF_L平面PAD；

(2)當(dāng)4B=2AP=2時(shí)，求多面體P4BEF的體積.

20.已知拋物線C：y2=2px(p>0),過焦點(diǎn)尸作x軸的垂線與拋物線C相交于M、N兩

點(diǎn)，S&財(cái)ON=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若4、B兩點(diǎn)在拋物線C上，且|4尸|+\BF\=10,求證：直線4B的垂直平分線，恒

過定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/(x)=Inx—kx+1.

(1)若/\x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)證明：(1+§(1+專)(1+.…(1+或)<」(nGN*).

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22.已知曲線G的參數(shù)方程為卜=/1cos?(e為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為

(y=V2sm0

(%=3

\2后(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐

卜=企+爭

標(biāo)系.

(I)求曲線G與曲線。2公共點(diǎn)的極坐標(biāo)；

(口)若點(diǎn)4的極坐標(biāo)為(2,兀)，設(shè)曲線與y軸相交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在曲線G上，滿足PA1

PB,求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

23.已知關(guān)于x的不等式-1|-|x+2|>|m+2|有解.

(1)求實(shí)數(shù)zn的取值范圍；

(2)設(shè)M是m的最大值，若a>l,b>1,c>l,且(a-l)(b-l)(c-l)=M,求

證：abc>8.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={%|(x-3)(%+2)<0}=[x|-2<x<3},

B={0,123,4},

則AnB={0,1,2},

故選：D.

化簡集合4根據(jù)交集的定義寫出ACB,即可求得答案.

本題主要考查了交集的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及幾何意義，即可得出.

【解答】

|z|=1.

故選:A.

3.【答案】C

【解析】解：命題是全稱命題，則否定是：

3xG(0,+oo),ex<x+1,

故選：C.

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的判斷，利用全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

第6頁，共18頁

4.【答案】A

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

■y-1

二y+l=O,解得%1，2），

由z=x—2y,得y=；—|，由圖可知，當(dāng)直線y=；一|過4時(shí),

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-3.

故選：A.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閟bix+sin(x--)=sinx4--sinx——cosx

v3722

3.V3777.TT、

=-sinx——cosx=V3sin(zx—

又因?yàn)閟in(x—2)=?，

所以bsin(%--)=V3x—=1，

63

故選：A.

利用正弦的兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：將長為7cm的木棍隨機(jī)分成兩段，設(shè)第一段的長度為x(cni),則第二段的

長度為7-x(cm),

又兩段長都不小于2cm,則解得2WXW5,

由幾何概型中的線段型，可得兩段長都不小于2cm的概率為?=

77

故選：B.

先設(shè)第一段的長度為x(cm),再解出x的范圍，然后結(jié)合幾何概型中的線段型求解即可.

本題考查了幾何概型，重點(diǎn)考查了幾何概型中的線段型，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：函數(shù)/'(X)為定義在R上的奇函數(shù)，且/'(x+3)=/(x),

可得/(0)=0,且/(x)的最小正周期為3,

則/(2022)=/(674x3)=/(0)=0.

故選：D.

由奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義可得所求值.

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的定義和運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：連接當(dāng)。1、BD、AXB,

易知E/7/BiDJ/BD,N&DB即為異面直線4D與EF所成角或其補(bǔ)角，

易知4%B。等邊三角形，故角為宗

故選：C.

連接當(dāng)久、BD、&B,則EF〃B】Di〃BD,NaDB即為異面直線4D與EF所成角或其補(bǔ)

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角，根據(jù)44BD是等邊三角形即可求解.

本題考查了異面直線及其所成角，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：由題意得，4=2,7=7-77=^

43124

所以7=冗,3=2,/(%)=2sin(2x4-tp),

又/(勺=2sin/+*)=2,|*|<]

所以，0=或/(x)=2sin(2x+^),。正確，

令可得一A錯(cuò)誤；

434J./IN

由于/(一患)=2sin(-今=-2符合正弦函數(shù)對稱軸取得最值，8正確；

由于/(—)=2sin(0)=0,C正確.

故選：A.

由最值求出A,由周期可求3,由五點(diǎn)作圖可求仍進(jìn)而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦

函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了由y=Asin(<ox+9)的部分圖象求解函數(shù)解析式，還考查了正弦函數(shù)性

質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：設(shè)|PF2l=m，所以|Pa|因?yàn)镮PF1I+|PBI=2a,

所以(1+V3)m=2a，

2

因?yàn)镻&1PF2,所以|Pa|2+\PF2\=嗎?2產(chǎn)，

SP3m2+m2=4c2,可得m=c,

所以由(1+g)m=2a,可得(1+V5)c=2a,

所以e=/=I^=8_L

故選：C.

運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查勾股定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】D

【解析】解：因?yàn)椋?gt;0，丫>0且》+丫=2,

由(等產(chǎn)<手得/+y2>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號，4錯(cuò)誤；

由基本不等式可得孫〈(等產(chǎn)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號，B錯(cuò)誤；

馬+工=〃普+也三亞+工三吟=山,當(dāng)且僅當(dāng)空=工且

JJ

xy2vxy2vxy2vyjxy72xy

x+y=2,即、=2夜—2,x=4—2或時(shí)取等號，C錯(cuò)誤；

(Vx+秒￥=x+y+2y[xy=2+2y[xy<2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號，

所以石+J7W2,。正確.

故選：D.

由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活

應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】B

10%—m,x<!

【解析】解：函數(shù)/(%)=

xex—2mx+m,x>

當(dāng)時(shí)，由10%-血=0,解得％=溫,

當(dāng)時(shí)，由xe*—2m%+m=0,解得m=

令3)=有

則九'(X)=3；容)

(NX

當(dāng)：<%V1時(shí)，"(%)<0,則h(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)％>1時(shí)，//(%)>0,則九(嗎單調(diào)遞增,

又/i⑴=e,

所以當(dāng)m>e時(shí)，/(%)在區(qū)間(3+8)上有兩個(gè)零點(diǎn),

由于/(%)在R上有三個(gè)零點(diǎn),

第10頁，共18頁

所以：解得加＜5,

綜上所述，m的取值范圍為(e,5].

故選：B.

利用分段函數(shù)的解析式，當(dāng)xW：時(shí)，x當(dāng)時(shí)，令八(乃=表(久＞]，由導(dǎo)

數(shù)研究h(x)的性質(zhì)，得到當(dāng)m＞e時(shí),/(x)在區(qū)間6,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合題意可知，

求解即可得到m的取值范圍.

本題考查了分段函數(shù)的理解與應(yīng)用，函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對分段函數(shù)分類

討論，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：,??△4BC中，B=2A,a=1,b=曲,

二由正弦定理二得：」-=近=———，

smAsinBsinAsin2A2sinAcosA

整理得：cosA=—,

2

由余弦定理a?=b2+c2—2bccosA,得1=3+c2—3c,

解得：c-1或c=2,

當(dāng)c=1時(shí)，a=c=1,b=V5,此時(shí)4=C=30°,B=120°,不滿足B=2A,舍去；

當(dāng)c=2時(shí)，a=l,b=遮，此時(shí)4=30。，B=60°,C=90。，滿足題意，

則c=2.

故答案為：2

由B=24得至UsinB=sin24利用正弦定理求出cos4的值，再利用余弦定理即可求出

c的值.

此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)

鍵.

14.【答案】7

【解析】解：平面向量日=(2,-3),|砧=V￥T5=g，

\b\=V10-\a-b\=3，

可得五2-2ab+b2=9，

即13+10-2方1=9，

解得弓-b=7-

故答案為：7.

利用向量的模的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化求解向量的數(shù)量積即可.

本題考查向量的數(shù)量積的求法，向量的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】20

【解析】解：設(shè)以為①為直徑的圓與直線PF2相切于點(diǎn)M，

由雙曲線方程知：

\OAT\=\OA2\=\f5,

■：PFi1PF2,OM1PF2,

???OM//PFlt

又。為F1F2中點(diǎn)，［PF/=2\OM\=2>/5.

由雙曲線定義知：IP&I—北川=2遍,

A

\PF2\=4/5，

???SAF'PFZ=IIPF1I-IPF2I=：X2西X4西=20.

故答案為：20.

由雙曲線方程知=\OA2\=V5,由垂直關(guān)系可知?！睘?&PF2的中位線，從而得

到|PFi|=2z，利用雙曲線定義可求得|PBI，由S4F1PF2=：|PFil?仍尸2|可求得結(jié)果.

本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】DBAC

第12頁，共18頁

【解析】解：預(yù)測情況如下表:

甲乙丙T

第一名DCCB

第二名CBBA

第三名AADD

第四名BDAC

因?yàn)榧缀鸵翌A(yù)測對了兩個(gè)隊(duì)的排名，所以第三名是4,

若第一名是。，則由甲預(yù)測對了兩個(gè)隊(duì)的排名，得到最后的排名為：DBAC,

此時(shí)乙對B,A兩隊(duì)預(yù)測正確，而丙和丁只預(yù)測對了一個(gè)隊(duì)排名，

???丙對B隊(duì)預(yù)測正確，丁對C隊(duì)預(yù)測正確，滿足條件；

若第二名是C,則由甲預(yù)測對了兩個(gè)隊(duì)的排名，得到最后的排名為BCAD,

此時(shí)乙對40兩隊(duì)預(yù)測正確，丙一個(gè)隊(duì)都沒有預(yù)測正確，不滿足條件；

若第四名是D,則由甲預(yù)測對了兩個(gè)隊(duì)的排名，得到最后的排名為C/MB,

此時(shí)乙對C,A兩隊(duì)預(yù)測正確，丙對C隊(duì)預(yù)測正確，丁一個(gè)隊(duì)都沒有預(yù)測正確.

綜上最后的排名為：0B4C.

故答案為：DBAC.

通過列表法進(jìn)行推理能求出最后的排名.

本題考查最后排名的確定，考查簡單的合情推理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是基

礎(chǔ)題.

n

17.【答案】解：(1)由題知，/(n)=2n-l,bn=2^\neN^.

從而勾=22九t.

則的=2,%=6,

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則2d=4,

???d=2,an=2+2(n—1)=2n,nE/V*.

2n1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2-,nEN*.

n(2+2n).2(4n-l)2x4n-2,,

???Se=--------4--------=----------1-n+n2z.

n24-13

n

【解析】(1)由題知，/(n)=2n—1,=2")(?iEN*).可得bn.可得臼=2,a3=6,

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an.

2n_1

(2)由(1)知，an+bn=2n+2,n￡N*,利用求和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由題意知：［=4,y=4,3,將(4,4.3)分別代入甲、乙、丙方程得：

丙的計(jì)算結(jié)果正確；

(2)由回歸方程估計(jì)得到的數(shù)據(jù)分別為：(1,2.8),(2,3.3),(3,3.8),(4,4.3),(5,4.8),(6,5.3),

(7,5.8),則(3,3.8)為1個(gè)不可靠數(shù)據(jù)，(2,3.3),(5,4.8)為完美數(shù)據(jù)，其余為可靠數(shù)據(jù).設(shè)

2個(gè)完美數(shù)據(jù)為&和公，4個(gè)可靠數(shù)據(jù)為當(dāng)、為、B3,B4,則從其中隨機(jī)抽取2個(gè)，結(jié)果

分別有：

(A1M2)，(4ill),(AlfF2)>(4I，%),(4,84)，("2,81)，(醺%)，(4,/)，(①,4),

(當(dāng),%),(%晶),

(九%),(%/),(%,%),(%%),共15個(gè)結(jié)果,且每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都是等可能的.

其中“可靠數(shù)據(jù)”與“完美數(shù)據(jù)”各有1個(gè)的數(shù)據(jù)有(4,&),(4,巳)，(4,/)，(4,&),

(“2,81),(A2,B2)9(42,83)，

(42,%),共有8個(gè)，

則“可靠數(shù)據(jù)”與“完美數(shù)據(jù)”各有1個(gè)的概率為p=/.

【解析】(1)計(jì)算Z，歹值，分別代入甲、乙、丙方程計(jì)算可得答案；

(2)首先列出由回歸方程估計(jì)得到的數(shù)據(jù)，再列出“可靠數(shù)據(jù)”與“完美數(shù)據(jù)”的情況,

根據(jù)古典概型可解決此題.

本題考查回歸方程計(jì)算及古典概型應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：連接4C,因?yàn)榈?/p>

面4BCD為菱形，AABC=60。，

所以△ABC是正三角形，

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以4ELBC,

又AD"BC,所以AE14D,

因?yàn)镻AJ■平面ABC。，4Eu平面4BCO,

所以P414E,

又PAn力。=4所以ZEJ■平面PAD,

乂AEu平面AEF,所以平面力EF1平面PAD；

(2)解：因?yàn)閂f>4B￡F="P-4BE+4-P4F，

第14頁，共18頁

^P-ABE=.SAABE-PA=~^VE^pAp=-S^PAF-AE=—>

所以%4BEF=^P-ABE+^E-PAF=孚

【解析】(1)連接AC,可得△ABC是正三角形，從而可得4ELBC,根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)可得P41AE,最后根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；

(2)根據(jù)44BEF=Vp-ABE+唳-P”，然后利用三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查了面面垂直的判定定理，以及多面體的體積，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算

求解的能力，屬于中檔題.

20.【答案】⑴解:由題知，SA0MN=|\MN\?\OF\=1-2p-|p=2,

解得：p=2,從而拋物線C的方程為y2=4x.

(2)證明:設(shè)線段4B中點(diǎn)為D(xo，yo),A(x1.yi),B(x2,y2),

由題知，直線4B的垂直平分線斜率存在，設(shè)為k,則：\AF\+\BF\=xx+x2+2=10,

?,?%]+%2=8,***XQ=4.

若直線4B不與x軸垂直，由一，得仇+y2)(yi-y2)=4(X1-x2).

\yi=4X2一—?

即a=紇邕=q=;=2,

Xi-X2yi+y22yoy0

則直線，斜率為k=一梟

從而直線，的方程為y-y0=-7(^-4),

整理得：y=-葭0-6)恒過點(diǎn)(6,0).

若直線48與刀軸垂直，貝〃為直線久=0,顯然也滿足恒過點(diǎn)(6,0).

綜上所述，直線]恒過點(diǎn)(6,0).

【解析】(1)利用三角形的面積求解p,得到拋物線方程.

(2)設(shè)線段4B中點(diǎn)為。(右,尢)，401，%)，8(X2,丫2)，說明直線4B的垂直平分線斜率存

在，設(shè)為k,利用拋物線的性質(zhì)推出X。=4.求解4B的斜率，得到AB的直線系方程，說

明直線，恒過點(diǎn)(6,0).

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)/(久)=Inx-kx+1的定義域?yàn)?0,+8),1(%)=：—1=5產(chǎn)，

①當(dāng)kS0時(shí)，f'(x)>0恒成立，則函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

/(I)=1-k>0,???/(x)<。不恒成立；

②當(dāng)k>。時(shí)，令/''(%)=0,解得x=p

若xe(0,》，/'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

若xe(p+oo),f(x)<o,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

則/'COmax=/(》=-Ink,

若/'(x)<0恒成立，則只需f(X)max=f(}=-Ink<0即可，

化簡可得，kNl,?,/的取值范圍是口,+8).

(2)證明：由(1)知，k=l時(shí),有不等式InxW%-1對任意％W(0,+8)恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取“=”號.???xG(1,+8)時(shí)，仇》<x—1恒成立，

令/(n)=1+表(nW),代入上面不等式可以得到：ln(l+專)<1+奈一l=表(ne

N*),二ln(l+》+ln(l+*)+ln(l+專)+?■?+ln(l+*)<：+京+或+…+京

即呵(1+1)(1+款1+分-(1+款<=*1一表)<”(1+》(1+款1+

3

舁…(1+表)<夜5€叱).

【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，①當(dāng)kWO時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，說明結(jié)果；

②當(dāng)化>0時(shí)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，列出不等式fCOmax=心=

—Ink<0,求解即可.

(2)證明xe(1,+8)時(shí)，加<萬一1恒成立，構(gòu)造函數(shù)/(n)=l+*(neN*),利用放

縮法，結(jié)合數(shù)列求和，轉(zhuǎn)化求解證明即可.

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求