數(shù)學(xué)必修一第二章小結(jié)

第二章初等函數(shù)小結(jié)指數(shù)函數(shù)1、指數(shù)（1）n次方根的定義若xn=a，則稱x為a的n次方根，“”是方根的記號.（2）方根的性質(zhì)（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義2、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)（＞0且≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)對數(shù)函數(shù)對數(shù)（1）對數(shù)的概念（2）指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.（3）對數(shù)運(yùn)算性質(zhì):①loga（MN）=logaM+logaN.②loga=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④對數(shù)換底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.（4）兩類對數(shù)對數(shù)函數(shù)的概念對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的圖像3、冪函數(shù)的性質(zhì)例一(1)16的平方根為________，－27的5次方根為________．(2)已知x7＝6，則x＝________.(3)若eq\r(4,x－2)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為eq\r(5,－27).(2)∵x7＝6，∴x＝eq\r(7,6).(3)要使eq\r(4,x－2)有意義，則需x－2≥0，即x≥2.因此實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2，＋∞)．[答案](1)±4eq\r(5,－27)(2)eq\r(7,6)(3)[2，＋∞)變式訓(xùn)練一、(1)若81的平方根為a，－8的立方根為b，則a＋b＝________.(2)用根式表示下列各式中的x：①已知x6＝2015，則x＝________.②已知x5＝－2015，則x＝________.[答案](1)－11或7(2)①±eq\r(6,2015)②－eq\r(5,2015)例二1、計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(3,－43)；(2)eq\r(6,3－π6)；(3)eq\r(8,x－28)； (4)eq\r(4,－92)；(5)eq\r(3－2\r(2))＋eq\r(3,1－\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4).[解析](1)eq\r(3,－43)＝eq\r(3,－64)，因?yàn)?－4)3＝－64，所以eq\r(3,－64)＝－4，即eq\r(3,－43)＝－4.(2)eq\r(6,3－π6)＝|3－π|＝π－3.(3)eq\r(8,x－28)＝|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x≥2,2－xx<2)).(4)eq\r(4,－92)＝eq\r(4,81)＝eq\r(4,34)＝3.(5)因?yàn)?－2eq\r(2)＝(eq\r(2))2－2eq\r(2)＋1＝(1－eq\r(2))2，所以原式＝eq\r(1－\r(2)2)＋eq\r(3,1－\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝|1－eq\r(2)|＋(1－eq\r(2))＋|1－eq\r(2)|＝eq\r(2)－1＋1－eq\r(2)＋eq\r(2)－1＝eq\r(2)－1.2、化簡(1)eq\r(8,b8)＋eq\r(6,a＋b6)＋eq\r(7,a－b7)(a＜0，b＜0)；(2)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)(－3＜x＜3)．[解析](1)原式＝|b|＋|a＋b|＋a－b＝－b－a－b＋a－b＝－3b.(2)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.∵－3<x<3，∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.當(dāng)－4<x－1<0，即－3<x<1時，|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；當(dāng)0≤x－1<2，即1≤x<3時，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.∴eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2－3<x<1,－41≤x<3))變式訓(xùn)練二1、計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(5,－25)；(2)eq\r(6,π－46)；(3)eq\r(4,x＋24)；(4)eq\r(7,x－77).[解析](1)eq\r(5,－25)＝－2.(2)eq\r(6,π－46)＝eq\r(6,4－π6)＝4－π.(3)eq\r(4,x＋24)＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≥－2,－x－2x<－2)).(4)eq\r(7,x－77)＝x－7.2、若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，化簡eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).(2)由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))即eq\f(1,2)≤x≤2.故eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24)＝eq\r(2x－12)＋2eq\r(4,x－24)＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.3、計(jì)算eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(5＋2\r(6)).[解析]解法一：原式＝eq\r(\r(2)－\r(3)2)＋eq\r(\r(2)＋\r(3)2)＝eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(3)＋eq\r(2)＝2eq\r(3).解法二：設(shè)x＝eq\r(5－2\r(6))＋eq\r(5＋2\r(6))，則x>0.平方得x2＝(5－2eq\r(6))＋(5＋2eq\r(6))＋2eq\r(5＋2\r(6)5－2\r(6))即x2＝12，∵x>0，∴x＝2eq\r(3).∴原式＝2eq\r(3).4、化簡eq\r(4－2\r(3))－eq\r(4＋2\r(3))＝()A．2eq\r(3)B．2C．－2eq\r(3) D．－2[解析]eq\r(4－2\r(3))＝eq\r(3－2\r(3)＋1)＝eq\r(\r(3)－12)＝eq\r(3)－1，同理eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1，∴eq\r(4－2\r(3))－eq\r(4＋2\r(3))＝－2，故選D.例三、1、用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式(a＞0，b＞0)：(1)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(2)eq\r(a\r(a\r(a)))；(3)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3)；(4)eq\f(1,\r(4,a3＋b32)).[解析](1)原式＝aeq\s\up10(\f(2,3))·aeq\s\up10(\f(3,2))＝aeq\s\up10(\f(2,3))＋eq\s\up10(\f(3,2))＝aeq\s\up10(\f(13,6))；(2)原式＝[a·(a·aeq\s\up10(\f(1,2)))eq\s\up10(\f(1,2))]eq\s\up10(\f(1,2))＝aeq\s\up10(\f(1,2))·aeq\s\up10(\f(1,4))·aeq\s\up10(\f(1,8))＝aeq\s\up10(\f(1,2))＋eq\s\up10(\f(1,4))＋eq\s\up10(\f(1,8))＝aeq\s\up10(\f(7,8))；(3)原式＝(aeq\s\up10(\f(1,3)))2·(ab3)eq\s\up10(\f(1,2))＝aeq\s\up10(\f(2,3))·aeq\s\up10(\f(1,2))·beq\s\up10(\f(3,2))＝aeq\s\up10(\f(2,3))＋eq\s\up10(\f(1,2))·beq\s\up10(\f(3,2))＝aeq\s\up10(\f(7,6))beq\s\up10(\f(3,2))；(4)原式＝[(a3＋b3)2]－eq\s\up10(\f(1,4))＝(a3＋b3)2×(－eq\s\up10(\f(1,4)))＝(a3＋b3)－eq\s\up10(\f(1,2)).2、計(jì)算：(2eq\s\up10(\f(3,5)))0＋2－2·(2eq\s\up10(\f(1,4)))－eq\s\up10(\f(1,2))－－(0.01)0.5＝________.3、化簡：eq\r(3,a\f(7,2)\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)\r(a－1)).[解析](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×(eq\f(4,9))eq\s\up10(\f(1,2))－(eq\f(1,100))eq\s\up10(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝eq\r(3,a\f(7,2)a－\f(3,2))÷eq\r(a－\f(8,3)a\f(15,3))÷eq\r(3,a－\f(3,2)a－\f(1,2))＝eq\r(3,a2)÷eq\r(a\f(7,3))÷eq\r(3,a－2)＝aeq\s\up10(\f(2,3))÷(aeq\s\up10(\f(7,3)))eq\s\up10(\f(1,2))÷(a－2)eq\s\up10(\f(1,3))＝aeq\s\up10(\f(2,3))÷aeq\s\up10(\f(7,6))÷a－eq\s\up10(\f(2,3))＝aeq\s\up10(\f(2,3))－eq\s\up10(\f(7,6))÷a－eq\s\up10(\f(2,3))＝a－eq\s\up10(\f(1,2))＋eq\s\up10(\f(2,3))＝aeq\s\up10(\f(1,6)).變式訓(xùn)練三1、將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化．(1)aeq\s\up10(\f(2,3))；(2)a－eq\s\up10(\f(3,4))；(3)eq\r(3,a\r(a))(a＞0)；(4)x3·eq\r(3,x2)(x＞0)．[解析](1)aeq\s\up10(\f(2,3))＝eq\r(3,a2).(2)a－eq\s\up10(\f(3,4))＝eq\f(1,\r(4,a3)).(3)eq\r(3,a\r(a))＝aeq\s\up10(\f(1,3))·aeq\s\up10(\f(1,6))＝aeq\s\up10(\f(1,2)).(4)x3·eq\r(3,x2)＝x3·xeq\s\up10(\f(2,3))＝xeq\s\up10(\f(11,3))2、化簡下列各式：(1)2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)；(2)eq\f(a\f(4,3)－8a\f(1,3)b,4b\f(2,3)＋2\r(3,ab)＋a\f(2,3))÷(1－2eq\r(3,\f(b,a)))×eq\r(3,a).[解析](1)2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)＝2×3eq\s\up10(\f(1,2))×(eq\f(3,2))eq\s\up10(\f(1,3))×(3×22)eq\s\up10(\f(1,6))＝21－eq\s\up10(\f(1,3))＋eq\s\up10(\f(1,3))×3eq\s\up10(\f(1,2))＋eq\s\up10(\f(1,3))＋eq\s\up10(\f(1,6))＝2×3＝6.(2)原式＝eq\f(a\f(1,3)a－8b,4b\f(2,3)＋2a\f(1,3)b\f(1,3)＋a\f(2,3))÷eq\f(a\f(1,3)－2·b\f(1,3),a\f(1,3))·aeq\s\up10(\f(1,3))＝eq\f(a\f(1,3)a\f(1,3)－2b\f(1,3)a\f(2,3)＋2a\f(1,3)b\f(1,3)＋4b\f(2,3),4b\f(2,3)＋2a\f(1,3)b\f(1,3)＋a\f(2,3))·eq\f(a\f(1,3),a\f(1,3)－2b\f(1,3))·aeq\s\up10(\f(1,3))＝aeq\s\up10(\f(1,3))·aeq\s\up10(\f(1,3))·aeq\s\up10(\f(1,3))＝a.例四1、函數(shù)y＝(2a2－3a＋2)·ax是指數(shù)函數(shù)，則2、指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(－3，eq\f(1,8))，則f(2)＝______[答案](1)eq\f(1,2)(2)4[解析](1)y＝(2a2－3a＋2)·ax是指數(shù)函數(shù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2－3a＋2＝1，,a>0且a≠1，))∴a＝eq\f(1,2).(2)設(shè)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．∵f(x)的圖象過點(diǎn)(－3，eq\f(1,8))，∴a－3＝eq\f(1,8)，a3＝8，故a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(2)＝22＝4.3、當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝ax和y＝(a－1)x2的圖象只可能是()4、圖中的曲線是指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象，已知a的值取eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)四個值，則相應(yīng)的曲線C1，C2，C3，C4的a的值依次是()A.eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，eq\r(3)，eq\f(4,3)C.eq\f(1,10)，eq\f(3,5)，eq\f(4,3)，eq\r(3)D.eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)5、(2015·雙鴨山高一檢測)當(dāng)a＞0且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax－2－3必過定點(diǎn)________．[解析]3、由a＞1知函數(shù)y＝ax的圖象過點(diǎn)(0,1)，分布在第一和第二象限，且從左到右是上升的．由a＞1知函數(shù)y＝(a－1)x2的圖象開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，綜合分析可知選項(xiàng)A正確．4、因?yàn)橹本€x＝1與函數(shù)y＝ax的圖象相交于點(diǎn)(1，a)．又因?yàn)?＜eq\f(1,10)＜eq\f(3,5)＜1＜eq\f(4,3)＜eq\r(3)，所以曲線C1，C2，C3，C4的a的值依次為eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5).5、當(dāng)a＞0且a≠1時，總有a0＝1，所以當(dāng)x＝2時，y＝－2，過點(diǎn)(2，－2)．6、函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值與最小值的差為eq\f(1,2)，則a＝________.[正解](1)當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)＝ax在[0,1]上是增函數(shù)．所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)取最大值；當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取最小值．由題意得f(1)－f(0)＝eq\f(1,2)，即a－a0＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(3,2).(2)當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f(x)＝ax在[0,1]上是減函數(shù)．所以當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)取最小值；當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取最大值．由題意得f(0)－f(1)＝eq\f(1,2)，即a0－a＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).綜上知a＝eq\f(3,2)或eq\f(1,2).7、比較下列每組中兩個數(shù)的大小：(1)1.72.5,1.73； (2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)(eq\f(2,3))－0.5，(eq\f(3,4))－0.5； (4)1.70.3,0.93.1.[解析](1)考察指數(shù)函數(shù)y＝1.7x，由于底數(shù)1.7>1，∴指數(shù)函數(shù)y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考察函數(shù)y＝0.8x，由于0<0.8<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝0.8x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(2,3))x與y＝(eq\f(3,4))x的圖象，如答圖所示，當(dāng)x＝－0.5時，觀察圖象可得(eq\f(2,3))－0.5＞(eq\f(3,4))－0.5.(4)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.8、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝2|x|；(2)f(x)＝3x－3－x；(3)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).[解析](1)f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，∴f(x)＝2|x|是偶函數(shù)．(2)f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，∴f(x)＝3x－3－x是奇函數(shù)．(3)f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(\f(1,2x)－1,2\f(1,x)＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)是奇函數(shù)．9、討論函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,3))x2－2x的單調(diào)性，并求其值域．∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，令u＝x2－2x，則g(u)＝(eq\f(1,3))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是減函數(shù)，g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)．又g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)．∴函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．2）∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0<eq\f(1,3)<1，∴0<(eq\f(1,3))x2－2x≤(eq\f(1,3))－1＝3.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,3]．變式訓(xùn)練四1、若函數(shù)y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的圖象不經(jīng)過第二象限，則有()A．a(chǎn)＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1C．0＜a＜1且b＞0 D．a(chǎn)＞1且b≤02、函數(shù)y＝a2x－1＋1(a＞0，a≠1)的圖象必過定點(diǎn)________．[解析](1)由于圖象不過第二象限知a＞1，且x＝0時，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故選D.(2)∵a0＝1，∴2x－1＝0時a2x－1＝1，此時x＝eq\f(1,2)，因此圖象過定點(diǎn)(eq\f(1,2)，2)．3、已知a＞0，且a≠1，若函數(shù)f(x)＝2ax－4在區(qū)間[－1,2]上的最大值為10，則a＝________.[解析](1)若a＞1，則函數(shù)y＝ax在區(qū)間[－1,2]上是遞增的，當(dāng)x＝2時f(x)取得最大值f(2)＝2a2即a2＝7，又a＞1，∴a＝eq\r(7).(2)若0＜a＜1，則函數(shù)y＝ax在區(qū)間[－1,2]上是遞減的，當(dāng)x＝－1時，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，∴a＝eq\f(1,7).綜上所述，a的值為eq\r(7)或eq\f(1,7).4、比較下列各組數(shù)的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)7－0.6和8－0.6；(4)1.50.3和0.81.2.[解析](1)∵函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)∵函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)依據(jù)指數(shù)函數(shù)中底數(shù)a對函數(shù)圖象的影響，畫出函數(shù)y＝7x與y＝8x的圖象，得7－0.6＞8－0.6.(4)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.5、f(x)＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x)是偶函數(shù)，則a＝()A．1B．－1C．±1 D．2[解析]依題意，對一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，即eq\f(1,a·2x)＋a·2x＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x).∴(a－eq\f(1,a))(2x－eq\f(1,2x))＝0對一切x∈R成立，則a－eq\f(1,a)＝0，∴a＝±1.6、求函數(shù)f(x)＝2x2－6x＋17的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．[解析]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.令t＝x2－6x＋17，則f(t)＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是減函數(shù)，而f(t)＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(－∞，3)上為減函數(shù)．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上為增函數(shù)，而f(t)＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在[3，＋∞)為增函數(shù)．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而f(t)＝2t在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇256，＋∞)．7、求函數(shù)y＝9x＋2·3x－2的值域．[解析]設(shè)3x＝t，則y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.∵上式中當(dāng)t＝0時y＝－2，又∵t＝3x＞0，∴y＝9x＋2·3x－2的值域?yàn)?－2，＋∞)．例五、1、計(jì)算：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg0.36＋2lg2)；(3)lg25＋lg2·lg50.[解析](1)方法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.方法二：原式＝lg14－lg(eq\f(7,3))2＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\f(7,3)2×18)＝lg1＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝12、計(jì)算log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m[解析](1)原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2·lg3·lg5)＝－12.(2)由題意，得eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)gm＝eq\f(1,2)lg3，即lgm＝lg3eq\f(1,2)，∴m＝eq\r(3).變式訓(xùn)練五、1、求下列各式的值：(1)log318－log36；(2)logeq\f(1,12)3＋2logeq\f(1,12)2；(3)lg2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；(4)eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2).[解析](1)原式＝log3eq\f(18,6)＝log33＝1.(2)原式＝logeq\f(1,12)3＋logeq\f(1,12)4＝logeq\f(1,12)12＝－1.(3)原式＝log2[eq\r(8＋4\r(3))eq\r(8－4\r(3))]＝log2eq\r(82－4\r(3)2)＝log2eq\r(64－48))＝log24＝2.(4)原式＝eq\f(lg3＋lg4－1,lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.2設(shè)3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；.2、[解析](1)由已知分別求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由換底公式得：x＝eq\f(log3636,log363)＝eq\f(1,log363)，y＝eq\f(log3636,log364)＝eq\f(1,log364)，∴eq\f(1,x)＝log363，eq\f(1,y)＝log364，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.3已知log23＝a,3b＝7，求log1256解法一：因?yàn)閘og23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，從而56＝(2a＋2)eq\f(3＋ab,a＋2)＝log1256＝eq\f(3＋ab,a＋2).解法二：因?yàn)閘og23＝a，所以log32＝eq\f(1,a).又3b＝7，所以log37＝b.從而log1256＝eq\f(log356,log312)＝eq\f(log37＋log38,log33＋log34)＝eq\f(log37＋3log32,1＋2log32)＝eq\f(b＋3·\f(1,a),1＋2·\f(1,a))＝eq\f(ab＋3,a＋2).例六1、求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝log5(1－x)； (2)y＝log(1－x)5；(3)y＝eq\f(ln4－x,x－3)； (4)y＝eq\r(log0.54x－3).[解析](1)要使函數(shù)式有意義，需1－x＞0，解得x＜1，所以函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域是{x|x＜1}．(2)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＞0,1－x≠1))，解得x＜1，且x≠0，所以函數(shù)y＝log(1－x)5的定義域是{x|x＜1，且x≠0}．(3)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＞0,x－3≠0))，解得x＜4，且x≠3，所以函數(shù)y＝eq\f(ln4－x,x－3)的定義域是{x|x＜4，且x≠3}．(4)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3＞0,log0.54x－3≥0))，解得eq\f(3,4)＜x≤1，所以函數(shù)y＝eq\r(log0.54x－3)的定義域是{x|eq\f(3,4)＜x≤1}．2、函數(shù)y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)________．[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，則令x＋1＝1得x＝0，此時y＝loga(x＋1)－2＝－2.所以函數(shù)y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0，－2)．3、比較下列各組中兩個值的大?。孩賚n0.3，ln2；②loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；③log30.2，log40.2；④log3π，logπ3.4、若logaeq\f(2,5)＜1，則a的取值范圍為________．[解析](1)①因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.②當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.③因?yàn)?＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.④因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x是增函數(shù)，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.5、求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(3＋2x－x2)．[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定義域?yàn)镽.∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域?yàn)閧y|y≥2}．6、設(shè)f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)為奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)對定義域內(nèi)的任一x值均成立．∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，∵f(x)<0，∴l(xiāng)geq\f(1＋x,1－x)<0，∴0<eq\f(1＋x,1－x)<1，7、已知冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象與x，y軸都無公共點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，求m的值，并畫出它的圖象．[解析]由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.又因?yàn)閙∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.當(dāng)m＝0或m＝2時，y＝x－3為奇函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對稱，不合題意；當(dāng)m＝－1或m＝3時，y＝x0，不合題意；當(dāng)m＝1時，y＝x－4，其圖象如答圖所示．變式訓(xùn)練六1、(2014·全國高考山東卷)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域?yàn)?)A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2、函數(shù)y＝f(x)的這義域?yàn)?－1,1)，則函數(shù)y＝f(lgx)的定義域?yàn)開_______．[解析](1)使函數(shù)有意義應(yīng)滿足log2x－1>0即log2x>1，∴x>2，故選C.(2)由y＝f(x)定義域?yàn)?－1,1)知－1＜lgx＜1解得eq\f(1,10)＜x＜1，故y＝f(lgx)定義域?yàn)?eq\f(1,10)，10)．3、函數(shù)f(x)＝4＋loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的圖象過一個定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是________．[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(x－1)的圖象過定點(diǎn)(2,0)，所以f(x)＝4＋loga(x－1)的圖象過定點(diǎn)(2,4)．4、(2015·大慶高一檢測)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則()A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a5、)若loga(2a－1)＞1(a＞0，且a≠1)．則a的范圍是________．[解析]4、因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.5)loga(2a－1)＞1即log