新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題8-1 立體幾何中外接球內(nèi)切球問題（含解析）

專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題目錄TOC\o"1-1"\h\u專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題 1 1題型一：外接球公式法 1題型二：外接球補(bǔ)型法 4題型三：外接球單面定球心法 10題型四：外接球雙面定球心法 18題型五：內(nèi)切球問題 25 34一、單選題 34二、多選題 41三、填空題 45題型一：外接球公式法【典例分析】例題1．（2023·陜西西安·高三期末（理））長方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是8，8，16，則該長方體外接球的體積為（

）A．24π B．32π C．36π D．48π【答案】C【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以長方體外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以外接球的體積為SKIPIF1<0.故選：C.例題2．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┮粋€(gè)棱長為2的正方體，其外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：因?yàn)檎襟w的棱長為SKIPIF1<0，所以其體對角線為SKIPIF1<0，所以外接球的直徑即為SKIPIF1<0，即外接球的半徑SKIPIF1<0，所以外接球的體積SKIPIF1<0；故選：D例題3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））若體積為12的長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，且此長方體的高為2，則球SKIPIF1<0的表面積的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)長方體長和寬分別為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以表面積SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號成立.即球SKIPIF1<0的表面積的最小值為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【提分秘籍】①長方體外接球：在長方體SKIPIF1<0中，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則長方體外接球半徑SKIPIF1<0②正方體外接球：在正方體SKIPIF1<0中，設(shè)邊長為SKIPIF1<0，則正方體外接球半徑SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別是2，4，4，則該長方體外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】長方體外接球直徑SKIPIF1<0，所以該長方體外接球的表面積SKIPIF1<0故選：C.2．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（文））已知長方體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為__________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】設(shè)長方體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角，由勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，因此，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知長方體的三條棱長分別為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該長方體外接球的表面積為___．（結(jié)果用含SKIPIF1<0的式子表示）【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意得，長方體的體對角線即為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型二：外接球補(bǔ)型法【典例分析】例題1．（2022·廣東·佛山一中高三階段練習(xí)）在四面體SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四面體外接球半徑為__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：根據(jù)長方體的面對角線特點(diǎn)，由對棱SKIPIF1<0，且對棱中點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可構(gòu)造長方體使得四面體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)與長方體的頂點(diǎn)重合，由長方體的外接球即為四面體的外接球如下圖所示：設(shè)長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以外接球的半徑SKIPIF1<0，即四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，SKIPIF1<0，則長方體的對角線長等于三棱錐SKIPIF1<0外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此三棱錐SKIPIF1<0外接球的直徑為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0．故選：A例題3．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐的外接球的半徑為___________；若SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段SKIPIF1<0的長度的最大值為___________.【答案】

3

SKIPIF1<0【詳解】由已知可證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直且長度均為SKIPIF1<0，所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)三棱錐外接球球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球與平面SKIPIF1<0的切點(diǎn)為SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)均在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，由等體積法：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將幾何體沿截面SKIPIF1<0切開，得到如下截面圖：兩圓分別為外接球與內(nèi)切球的大圓，注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)間距離的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：3；SKIPIF1<0【提分秘籍】①墻角型：由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可補(bǔ)形為長方體或正方體，再利用公式法求解外接球問題；②對棱相等型：如果一個(gè)多面體的對棱都相等，可以補(bǔ)形為長方體，或正方體，再利用公式法求解外接球問題；【變式演練】1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0三點(diǎn)重合于點(diǎn)SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：由題意知：三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長方體SKIPIF1<0的外接球，如圖所示：又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以長方體的體對角線長為SKIPIF1<0，所以外接球的半徑為：SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由于三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故將該三棱錐置于一個(gè)長方體中，如下圖所示：則體對角線SKIPIF1<0即為外接球的直徑，所以SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0．故選：D3．（2022·四川省樂山沫若中學(xué)高二期中（理））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題可知,該三棱錐在長方體中，且三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)為長方體的四個(gè)頂點(diǎn)，所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，由圖可知長方體的長寬高分別為SKIPIF1<0，所以體對角線長SKIPIF1<0，所以外接球的體積等于SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.4．（2022·湖北·高二期中）四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為_____．【答案】50π【詳解】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體A﹣BCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以SKIPIF1<0為三邊的三角形作為底面，且分別以a，b，c為長、側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為a，b，c的長方體，并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，設(shè)球半徑為R，則有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，∴4R2＝50，∴球的表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．題型三：外接球單面定球心法【典例分析】例題1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）在正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中心，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該正三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)側(cè)棱長為x，且易知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)球心為M，則MP=MA=R，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以表面積SKIPIF1<0，故選：A.例題2．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的體積為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0．【詳解】解：如圖所示，設(shè)底面SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.由正弦定理得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0因?yàn)锳C⊥平面PAB，SKIPIF1<0平面PAB，所以SKIPIF1<0,所以四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0.所以球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0.所以外接球O的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則該幾何體的外接球的體積為_________【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖,該四面體的外接球的球心O必經(jīng)過△ABC外接圓的圓心SKIPIF1<0且垂直于平面ABC的直線上,且到A,P的距離相等.在△ABC中,由余弦定理得：SKIPIF1<0.由正弦定理得：SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即該幾何體的外接球的半徑SKIPIF1<0.所以外接球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【提分秘籍】①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0如圖：若SKIPIF1<0為直角三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在斜邊的中點(diǎn)上；若SKIPIF1<0為正三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0為普通三角形，則利用正弦定理SKIPIF1<0,確定出SKIPIF1<0的位置②第二步：過點(diǎn)SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂線，如圖為SKIPIF1<0，則球心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上；③計(jì)算：在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求出外接球半徑SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)三棱錐SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為弦，所對圓周角為SKIPIF1<0的圓上的一段優(yōu)弧上，如圖，易知當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0為等邊三角形時(shí)，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0不變時(shí)，假設(shè)SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，當(dāng)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離最大為SKIPIF1<0，也即三棱錐SKIPIF1<0的高最大，從而體積最大，此時(shí)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外心，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心在此垂線上，設(shè)SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，設(shè)外接球半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0和直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，球表面積為SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·貴州·貴陽六中一模（理））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則它的外接球的表面積為______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】解：三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，由球的性質(zhì)可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)椋赟KIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知空間四邊形SKIPIF1<0的各邊長及對角線SKIPIF1<0的長度均為6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半徑為______；過點(diǎn)M作四邊形SKIPIF1<0外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】空1：由題意知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等邊三角形，取SKIPIF1<0中點(diǎn)E，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0外接球的球心為O，半徑為R，分別取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平行四邊形，由題意可得：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，空2：連SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則H，O，M三點(diǎn)共線，∴SKIPIF1<0，設(shè)過M作四邊形SKIPIF1<0外接球的截面圓的半徑為r，O到該截面的距離為d，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則有：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)截面過球心，SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0，截面的面積最大為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0，截面的面積最小為SKIPIF1<0；故截面面積最大值和最小值之比為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.4．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面是邊長為2的正方形，其內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的高為___________，外接球的表面積為___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【詳解】已知正四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，設(shè)球體的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)正四面體的高為SKIPIF1<0，如圖所示，因?yàn)榍騍KIPIF1<0與四棱錐相內(nèi)切，所以由等體積法得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為SKIPIF1<0，外接球的球心為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正四棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0題型四：外接球雙面定球心法【典例分析】例題1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0．如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡所在平面為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，由題可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解RtSKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，∴截面圓的周長為SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的周長為SKIPIF1<0．故選：C例題2．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是邊長為6的正三角形，則該三棱錐的外接球的體積為________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0分別是正三角形SKIPIF1<0和正三角形SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0是該三棱錐外接球的球心，連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為正方形，∴SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，球半徑SKIPIF1<0∴外接球體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【提分秘籍】①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0如圖：若SKIPIF1<0為直角三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在斜邊的中點(diǎn)上；若SKIPIF1<0為正三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0為普通三角形，則利用正弦定理SKIPIF1<0,確定出SKIPIF1<0的位置②第二步：過點(diǎn)SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂線；③第三步：重復(fù)上述兩步，再做一條垂線；④第四步：兩條垂線的交點(diǎn)為球心SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0.如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0；作SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡所在平面為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，由題可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解RtSKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，∴截面圓的周長為SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的周長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四邊形SKIPIF1<0是邊長為3的菱形且一個(gè)內(nèi)角為SKIPIF1<0，把等邊SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，其外接球半徑為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，取SKIPIF1<0中點(diǎn)G，連接SKIPIF1<0當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．又四邊形SKIPIF1<0是邊長為3且一個(gè)內(nèi)角為SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0為等邊三角形所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是邊長為3等邊三角形，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外接圓圓心，圓的半徑為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O就是三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，且此時(shí)SKIPIF1<0分別為等邊SKIPIF1<0與等邊SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0由此得到四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以外接球半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，其外接球半徑SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·福建·高二期中）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0，如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則三棱錐SKIPIF1<0的體積為___________，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為___________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0；作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡所在平面為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，由題可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截外接球所得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，∴截面圓的周長為SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的周長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.題型五：內(nèi)切球問題【典例分析】例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面與底面所成角的正切值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)槿忮FSKIPIF1<0為正三棱錐，底面邊長為6，且側(cè)面與底面所成角的正切值為SKIPIF1<0，所以可得正三棱錐的高SKIPIF1<0，側(cè)面的高SKIPIF1<0；設(shè)正三棱錐底面中心為SKIPIF1<0，其外接球的半徑為SKIPIF1<0，內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，正三棱錐的體積SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.例題2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為SKIPIF1<0，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，底面圓周上一點(diǎn)為SKIPIF1<0，底面圓心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球切母線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，底面半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故該圓錐的表面積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號.故選：A.例題3．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為12，球SKIPIF1<0內(nèi)切于正四面體SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上關(guān)于球心SKIPIF1<0對稱的兩個(gè)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，如圖1.因?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0的棱長為12，所以SKIPIF1<0.設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號成立.過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，如圖2.圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0是關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對稱的兩個(gè)點(diǎn)，且SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切時(shí)，等號成立.SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號成立.因?yàn)橐陨先〉葪l件可以同時(shí)成立，所以SKIPIF1<0.【提分秘籍】①等體積法：將空間幾何體拆分為以內(nèi)切球球心SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的多個(gè)幾何體，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑SKIPIF1<0，主要用于多面體內(nèi)切球問題；例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球?yàn)榍騍KIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.②獨(dú)立截面法：主要用于旋轉(zhuǎn)體中，通過獨(dú)立截面（過球心的截面），在截面中求出內(nèi)切球的半徑.【變式演練】1．（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測）在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為1的等邊三角形，底面SKIPIF1<0為矩形.若四棱錐SKIPIF1<0存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為1的等邊三角形，底面SKIPIF1<0為矩形，所以四棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球在等邊三角形SKIPIF1<0的“正投影”是等邊三角形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓，設(shè)等邊三角形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，其表面積為SKIPIF1<0.故選：D2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，其軸截面SKIPIF1<0是邊長為6的