2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上、寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={-2,—1,0,1,2},5=］乂0?無＜1},則()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)锳={—2,—1,0,1,2},8=卜|04》＜|},所以ADB={0,l,2}.

故選：A.

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓

他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

95%....................................?..............徐

90%....?..............?..............■*................

裕85%..............................?........*....?....

180%...............?...............................*-....*講座前

田75%..............................-*.....................?講座后

70%...............*.....................................

65%....*....................*..........................

;.........*........水................................

II]11II111.

12345678910

居民編號(hào)

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為70%,所以A錯(cuò)；

2

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是8()%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確

率的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題正確率的極差為95%—60%=35%>20%,所以D錯(cuò).

故選:B

3.若z=l+i.則|iz+35|=()

A.46B.4^C.275D.20

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共胡復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出.

【詳解】因?yàn)閦=l+i，所以i2+3N=i（l+i）+3（l-i）=2-2i,所以但+3可="14=2血.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

2+4

則該直四棱柱的體積V=——x2x2=12.

2

故選：B.

5.將函數(shù)/（%）=sin（①九+］）①>0）的圖像向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱,

則0的最小值是（）

【答案】C

【解析】

m7F7TTT

【分析】先由平移求出曲線。的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得"+々=生+%肛keZ,即可求出。的最小

232

值.

(兀'\加..amn.

【詳解】由題意知:曲線。為y=sina>\x+—+——Sin(69Xd———F—),又。關(guān)于軸對(duì)稱，則

I2j3y

（0717171,,c

------1---=----Fkl,女GZ,

232

解得6y=1+2AMeZ,又0>0,故當(dāng)我=（）時(shí)，。的最小值為

33

故選：C.

6.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4

的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.—B.—C.-D.—

5353

【答案】C

【解析】

【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.

【詳解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15種情

況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6種情況，故概率為假=|.

故選：C.

7.函數(shù)y=（3*—3T）COSX在區(qū)間一］，1的圖象大致為（）

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解］令/(x)=(33-*)cos尤,xe

則f(-x)=(3-'-3”)cos(-x)=-(3*-3T)cosx=-/(x),

所以為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)卜寸，3r-3-x>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C

故選：A.

h

8.當(dāng)尤=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+一取得最大值一2,則/(2)=()

x

A.—1B.C.!D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(I)=-2,/'⑴=0即可解得再根據(jù)/'(x)即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X)定義域?yàn)?0,+/)，所以依題可知，/(I)=-2,/(1)=0,而

10G

——7>所以人=一2,。一人=0,即。=一2,/?=-2,所以/(%)=--+—,因此函數(shù)/(x)在

XX入X

（0,1）上遞增，在（1,+8）上遞減，x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有了'（2）=-1+；=—

故選：B.

9.在長(zhǎng)方體ABCQ-ABCQ中，已知耳。與平面AB8和平面所成的角均為30。，則（）

A.AB=2ADB.4B與平面ABC。所成的角為30°

。與平面所成的角為

C.AC=CB.D.4BBCC45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)A6=a,AO="AA=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，耳。與平面ABC。所成角為

cb

NBQB,與平面A&gB所成角為NOgA,所以sin30'=彳｝=｝右，即匕=。，

D^UD^D

B、D=2c=-Ja2+b2+c2>解得a=\f2c-

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=gAD，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過B作8EJ.A用于￡,易知6E_L平面ABg。，所以AB與平面所成角為Nfi4￡，

因?yàn)閠an/BAE=￡=《2，所以NB4EK3（T，B錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于22f22錯(cuò)誤；

C，AC=y/a+b=43cCB[=yjb4-c=?c，ACw04，C

對(duì)于D,5。與平面8月。。所成角為/。用。，sin/D4C=需=/="，而

0</。用。<90,所以/。4。=45°.D正確.

故選：D.

10.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為

丫甲和力.若薩=2,則廣=()

3乙V乙

A.75B.20C.V10D.

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為彳，乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

4=2弓，再結(jié)合圓心角之和可將4,與分別用/表示,-再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的

體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為彳，乙圓錐底面圓半徑為2,

嬲學(xué)=9五=2,

S乙兀rjr2

所以q=2弓，

又一L+—2=2冗，

11

則寧=1,

21

所以

所以甲圓錐的高九=J?！?/2=2^[,

乙圓錐的高e=j/2一1/2=手/,

小芻

所以%/=?——之一好;師

乙飛*壇）x也I

93

故選：C.

22

X=1（。>8>0）的離心率為3，4,人分別為c的左、右頂點(diǎn)，8為c的上頂

11.已知橢圓C：—+匕

/b1

點(diǎn).若網(wǎng)?%=一1,則C的方程為（)

AY+J’-122

BC.工+匕=1D.^+/=1

1816*322-

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)離心率及甌?兩=-1,解得關(guān)于/12的等量關(guān)系式,即可得解.

8

【詳解】解：因?yàn)殡x心率e=￡=Jl—4=工，解得與=9,2=2

9-

?V?239

A，A2分別為C左右頂點(diǎn)，則A（-a，0）,4（。,0），

8為上頂點(diǎn)，所以3（0,。）.

所以M=（一區(qū)一圾與a=（a,T?）,因?yàn)?/p>

Q

所以—/+〃=_1，將〃=—/代入，解得/=9,6=8,

9

22

故橢圓的方程為三+二=1.

98

故選：B.

12.已知9'"=10,a=l（T—11,。=8'"—9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，〃=lOg910>l，再利用基本不等式，換底公式可得

^>lgll,log89>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】由9"'=10可得加=1。8910=">1，而

1g9

lg91gli<「思9+】義0=(思里］<l=(lgl0)2.所以^即〃z〉lgU，所以

22}')1g91g10

a=10m-ll>10'8"-ll=0.

Xlg81gl0<flg8+lgl0"|=(幽］<(lg9)2,所以黑〉獸，即1叫9>加，

(2)［2Jv71g81g9

所以力=8"'—9<8詠*9—9=().綜上，a>0>b.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量1=(祖,3),5=(1,m+1).若則m=.

3

【答案】一一##-0.75

4

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

_3

【詳解】由題意知：a-b=m+3(m+1)=Q,解得加=一一.

4

故答案為：-］3.

4

14.設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在0M上，則QM的方程為

［答案］(I)?+(y+l)2=5

【解析】

【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用(3,0)和(0,1)均在0"上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.

【詳解】解：???點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，

設(shè)點(diǎn)M為(a,\-2a),又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在QM上，

點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R,

???J(a-3)2+(l—2a)2=y/a2+(-2a)2=R，

〃一6。+9+4〃-4。+1=5〃，解得。=1,

AR=5

OM的方程為(x-1)?+(y+1尸=5.

故答案為:（x-l）2+（y+l）2=5

22

15.記雙曲線C:，一與=1（。>0力>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一

ab~

個(gè)值______________.

【答案】2（滿足l<eV有皆可）

【解析】

bb

【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線）=±±X中0<上42即可求得滿足要求的e值.

aa

22h

【詳解】解：C:。r-與v=1（。>0力>0）,所以C的漸近線方程為y=±-x,

ab-a

bh1

結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需0<一<2,即\<4,

aa

可滿足條件“直線y=2x與c無公共點(diǎn)”

所以e<Vi+4=V5?

又因?yàn)閑>l,所以1<三有,

故答案為：2（滿足l<e?石皆可）

Ar

16.己知AABC中，點(diǎn)。在邊8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)主取得最小值時(shí),

AB

BD=.

【答案】石-1##一1+6

【解析】

AC2

【分析】設(shè)CD=25￡>=2m>0,利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】設(shè)CD=25￡>=2/n>0,

則在△ABZ)中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=/w2+4+2m-

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=W+4-4m-

AC2_4m2+4-4加_4(川+4+2加)—12(1+加)

=4______

所以^7―加2+4+2及23

JTI+4+2m(m+l)+

/n+l

>4——I2=4—2.

2」(m+l).3

V7m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)m+1=一—即m=6-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+l

AQ

所以當(dāng)，一取最小值時(shí)，〃?=6-1-

故答案為：V3-1.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)

調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-be)2

附：K2

(〃+b)(c+d)(〃+c地+d)

P(K?.")0.1000.050o.oio

k2.7063.8416.635

I?7

【答案】（1）48兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為一，-

138

（2）有

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算長(zhǎng)2,再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，4共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，

設(shè)4家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,

240_12

則P(M)

260-13

8共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

2107

則P(N)

240-8

A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為一；

13

7

B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為一.

8

【小問2詳解】

列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

n(ad-bc'y

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

500x(240x30-21Ox20)2

?3.205>2.706,

260x240x450x50

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

18.記Sn為數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和.已知一+〃=24+1.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)列；

(2)若%，％，4成等比數(shù)列，求S“的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)-78.

【解析】

【分析】⑴依題意可得25.+〃2=2〃牝+〃，根據(jù)%=｛二c，作差即可得到

區(qū)-5“_],〃22

=1>從而得證;

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出％,即可得到｛4｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)

算可得.

【小問1詳解】

2S

解：因?yàn)椤?n=2<Z;I+1,即2s“+〃-=+〃①，

n

當(dāng)〃22時(shí)，2S“_]+(n-l)-=2(”一1)。"_]+(〃-1)②，

2

①一②得，2S?+n-2S?_]—=2na“+n-2(n-l)a?_1-(n-1),

即2an+2n-1-2nan-2(H+1,

即所以”22且〃eN*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由(1)可得4=4+3,%=4+6，a9=4+8，

又4，%，旬成等比數(shù)列，所以

即(4+6)2=(《+3>(4+8),解得q=-12,

rrr,_〔arcil.o…〃(〃T)12251(25?625

所以/=〃一]3,所以S“=_]2〃H-------------—n~----n--\n-------------，

"2222(2J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)（S,）min=—78.

19.小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面A8CD是邊長(zhǎng)為8

（單位：cm）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面

AB8垂直.

（1）證明：防//平面438；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【答案】（1）證明見解析；

⑵%后

3

【解析】

【分析】（1）分別取的中點(diǎn)M,N,連接MN,由平面知識(shí)可知EM，,

EM=FN,依題從而可證EM，平面ABC。，平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知

EM//FN,即可知四邊形￡MN尸為平行四邊形，于是EF//MN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可

證出；

（2）再分別取中點(diǎn)K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體M3億一瓦G”的體積加上

四棱錐8—MVFE體積的4倍，即可解出.

【小問1詳解】

如圖所示:

分別取的中點(diǎn)M,N,連接MN,因?yàn)椤鱁AB.AFBC為全等的正三角形，所以

EM±AB,FNA.BC,EM=FN,又平面E4B_L平面A3CD,平面￡43c平面ABCD=AB，

￡Mu平面￡45,所以四，平面ABC。，同理可得FN,平面ABC。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可

知EMI/FN,而EM=FN,所以四邊形EMNF為平行四邊形，所以EF//MN,又所仁平面

ABCD,肱Vu平面ABCO,所以防//平面A8CO.

【小問2詳解】

如圖所示:

分別取中點(diǎn)K,L,由（1）知，EF//MNR.EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知識(shí)可知，BD±MN,MNLMK,

KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐

3-MVFE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4近，EM=8sin60°=46，點(diǎn)B到平面MNFE的距離即為點(diǎn)8到直線

MN的距離d,4=2虛，所以該幾何體的體積

V=[拒『x4石+4xgx4拒x46x2夜=1286+苦萬=一萬.

20.已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(耳,/(占))處的切線也是曲線y=g(x)的切

線.

(1)若X]=-1,求a；

(2)求a的取值范圍.

【答案】(1)3(2)[-1,-HDO)

【解析】

【分析】(1)先由/(X)上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)

值求出。即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出。，構(gòu)造函

數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

由題意知，/(-D=-l-(-l)=0,f'(x)=3x2-\,,f(-l)=3-l=2,則y=/(x)在點(diǎn)(一1,0)處的切線

方程為y=2(x+l),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(w,gCxj)),g'(x)=2x,則g'?)=2%=2,解得々=1,則

g⑴=1+。=2+2,解得a=3；

【小問2詳解】

/'(x)=3/—1,則y=/(x)在點(diǎn)(//(&))處的切線方程為y-(片-^)=(3A^2-l)(x-x,),整理得

y=(3不2-ljx-2%)3,

設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(9,g(w))，g'(x)=2x,則ga)=2x2,則切線方程為

y—(x；+a)=,整理得y=2xx-x\+a,

2X2(X-X2)2

2

-1=2x殂」、-2%；=-2x：一■|x；+：，

則《[32，整理得Q=X：-2X：=

一2苦二-x,+ci

o31

令/i(x)=-d—2d——產(chǎn)+_,則/(%)=9%3-6/一3%=3%(3%+1)*一1),令/(幻＞0,解得

424

」<x<0或尤>1,

3

令/(x)<0,解得x<-g或0<x<l,則x變化時(shí)，"(x)M(x)的變化情況如下表:

[7

X(0,1)1(1,+00)

~3(4-°)0

%(X)—0+0—0+

52_

h(x)7-1/

274

則h(x)的值域?yàn)椋垡?,”)，故”的取值范圍為［-1,+功.

21.設(shè)拋物線C:/=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為凡點(diǎn),過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線

垂直于x軸時(shí)，|用目=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A8的傾斜角分別為a,尸.當(dāng)a-。

取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【答案】⑴y1=4x；

(2)AB:x=y/2y+4.

【解析】

【分析】(1)由拋物線的定義可得|MF|=p+g,即可得解；

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線MN:x=my+l,由韋達(dá)定理及斜率公式可得右加=2心6,再由差角的正切公

式及基本不等式可得心8=也，設(shè)直線46：》=忘/+〃，結(jié)合韋達(dá)定理可解.

【小問1詳解】

拋物線的準(zhǔn)線為工=-5，當(dāng)用3與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

此時(shí)|Mb|=p+^=3,所以p=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x；

【小問2詳解】

<2、/2\(2

設(shè)"半y,N號(hào),為網(wǎng)去為I號(hào),”直線MN:x^my+l,

x=my+1

由〈,可得y2_4'町>-4=0,A>0,^y=-4,

y-=4x2

k―一一%一4二%一4

由斜率公式可得一甚_超_X+%,AB_2L_A-/+%，

4444

A/C%—24（x—2）

直線MO:龍=」——y+2,代入拋物線方程可得9—一上!_L?y-8=0,

yiy

△>0,乂%=-8,所以%=2%，同理可得％=2*，

44_4“v

所以“A8

%+”2（乂+為）2

又因?yàn)橹本€MMA8的傾斜角分別為a,尸，

”,…八^MNtana

所以原B=tan/?=-^=-^-

若要使。一尸最大，則0,(

/0、tana-tan/3k1

2&>0,則taMa——）=]+tanatanZ?=T^F=I7^

設(shè)“MN=2%

十乙K

k

當(dāng)且僅當(dāng)」=2Z即后=也時(shí)，等號(hào)成立,

k2

所以當(dāng)二一/最大時(shí)，原B=￥，設(shè)直線AB:x=&y+“,

代入拋物線方程可得j2-46y-4〃=0,

△>0,%%=-4〃=4乂%=-16,所以〃=4,

所以直線AB:x=J1y+4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)

系.

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

'2+t

X=-----

22.在直角坐標(biāo)系X。），中，曲線C1的參數(shù)方程為J6C為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程為

2+s

x=-------

<6（S為參數(shù)）.

y=-4s

（1）寫出G的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C,的極坐標(biāo)方程為2cose-sin8=0,

求g與C1交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C?交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】（1）/=6x-2（y>0）；

（2）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（；/），（1,2），G，02的交點(diǎn)坐標(biāo)為鳥一］,（-1,-2）.

【解析】

【分析】（1）消去，，即可得到C1的普通方程；

（2）將曲線。2，。3的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出.

【小問1詳解】

因?yàn)閤=H,y=J7,所以x=2上匚，即G普通方程為y2=6x-2（yN0）.

6'6

【小問2詳解】

因?yàn)閤=---,y=-4s,所以6x=-2-丁，即g的普通方程為y2=fx-2（y<0）,

6

由2cose-sine=O=>20cose-x7sine=O,即G的普通方程為2x-y=0.

聯(lián)立卜=6%-2（），叫解得：或1=：,即交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）；

2x-y=0_］［y=212J、/

y2=-6x-2（y<0）x=——fx=-l（1八

聯(lián)立4l）,解得：\2或<十叩交點(diǎn)坐標(biāo)-不T，（zTP.x

2x-y=0?y=-2I2Jv7

【，［y=-li

［選修4?5：不等式選講］

23.已知a,b,c均為正數(shù)，且片+〃+4/=3,證明：

（1）a+Z?+2c<3；

（2）若b=2c,則工+123.

ac

【答案】（【）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）Mt/2+b2+4c2=a2+b2+（2c）2,利用柯西不等式即可得證；

（2）由（1）結(jié)合已知可得0<a+4c<3,即可得到二一2，,再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.

a+4c3

【小問1詳解】

證明：由柯西不等式有［。一+匕-+（2c）+r+r）n（a+人+2。）,

所以a+b+2c、W3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=h=2c=l時(shí)，取等號(hào)，

所以a+匕+2cW3；

【小問2詳解】

證明：因?yàn)?=2c,a>0,b>0,c>0,由（1）得a+8+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以——

。+4。3

由權(quán)方和不等式知人+■!=￡+21J1+2）-=9?3,

aca4ca+4ca+4c

當(dāng)且僅當(dāng)工=——，即a=l,c=L時(shí)取等號(hào)，

a4c2

所以）

ac

高中的學(xué)習(xí)方法總結(jié)

關(guān)于高一

一、高一關(guān)鍵詞難

從初中到高中是個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，高中整體呈現(xiàn)知識(shí)量增大理論性增

強(qiáng)、系統(tǒng)性增強(qiáng)、綜合性增強(qiáng)、能力要求增加的6增趨勢(shì)，而蓋伊又是數(shù)學(xué)、物

理、化學(xué)學(xué)科難點(diǎn)最集中的年級(jí)，所以對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，初三到高一不是個(gè)坡

兒，而是個(gè)坎兒，必須要跳才能完成這個(gè)質(zhì)變的過程

二、高一最重要的事情

1、重視高一成就高考-一高一是整個(gè)高中階段的開始，抓住高一讓自己一開

始就能夠占據(jù)領(lǐng)先位置，對(duì)學(xué)生高中階段的發(fā)展至關(guān)重要，多年的高考經(jīng)驗(yàn)顯示,

對(duì)高一的重視程度和3年后的高考成績(jī)成正比關(guān)系，想要在高考中取得好成績(jī),

一定要從高一抓起！

2、提前動(dòng)手，從容應(yīng)對(duì)--剛剛經(jīng)歷了中考，很多學(xué)生沉浸在緊張后的放松

里，但是學(xué)習(xí)如逆水行舟，不進(jìn)則退，稍一放松，可能就會(huì)給自己的高一學(xué)習(xí)制

造麻煩，抓住高一開始，讓自幾的高中學(xué)習(xí)一帆風(fēng)順！

3、發(fā)現(xiàn)漏洞及時(shí)彌補(bǔ)一高中學(xué)習(xí)比較緊張，發(fā)現(xiàn)漏洞千萬不要以太忙太累

為由任其存在和發(fā)展，因?yàn)橹R(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的，漏洞不補(bǔ)，會(huì)影響其他知

識(shí)的學(xué)習(xí)和綜合應(yīng)用，并且積累得太多，會(huì)覺得無從下手，只好放棄，給高考造

成很大損失！

4、成績(jī)波動(dòng)正確看待-一高一學(xué)習(xí)成績(jī)波動(dòng)是非常正常的事情，一般來說，

只要適應(yīng)了高中老師的講課方式、掌握了高中知識(shí)的學(xué)習(xí)方法，成績(jī)都會(huì)逐步上

升并且趨于穩(wěn)定的。因?yàn)槌煽?jī)的暫時(shí)下降而失去信心或?qū)δ硞€(gè)學(xué)科失去興趣是得

不嘗失的。

關(guān)于高二

一、高二關(guān)鍵詞一分化

高二是一個(gè)比較特殊的年級(jí)，一方面已經(jīng)適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)生活，另一方面緊

張的高三還沒有來臨，所以心理上比較輕松；同時(shí)，高二還要面對(duì)多個(gè)科目的會(huì)

考，會(huì)分三高考科目的注意力；另外，很多家長(zhǎng)理解上有誤區(qū)；高二先放松一下，

要不在高三就沒有放松的時(shí)候了。

這種想法非常錯(cuò)誤，結(jié)果就是高二是輕松了，到高三也緊張不起來。以上各

種因素綜合起來，造成了嚴(yán)重的分化，一些學(xué)生到高三再想努力的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)已

為時(shí)太晚！

二、高二最重要的事情

1、均衡發(fā)展--高考錄取依據(jù)是總成績(jī)，只要沒有嚴(yán)重的偏科，即便是各科

都成績(jī)平平，在高考中也能取得一個(gè)不錯(cuò)的成績(jī)。如果在高三沖刺中還能夠部分

學(xué)科有所突破，就會(huì)考得非常理想，所以均衡發(fā)展是取得高考好成績(jī)的基礎(chǔ)。

2、提前備考-一高考考得是整個(gè)高中三年的知識(shí)，而不只是高三的知識(shí)。不

要認(rèn)為高考就是高三的事情，其實(shí)每個(gè)階段都是在備考，都是在為高考打基礎(chǔ)，

高二尤其如此。

3、強(qiáng)化基礎(chǔ)--高一的很多知識(shí)是在以后的學(xué)習(xí)中必須要用到的基礎(chǔ)知識(shí)，

所以如果發(fā)現(xiàn)高一的部分知識(shí)沒有完全掌握，千萬不能等到高三復(fù)習(xí)的時(shí)候再去

解決，要盡快補(bǔ)上，使自己高二高三的學(xué)習(xí)更加順暢。

關(guān)于高三

一、高三關(guān)鍵詞--一沖刺

步入高三，就像戰(zhàn)場(chǎng)上吹響了沖鋒號(hào)，從這一刻起，需要全力沖刺--心無

旁鷲、全力以赴、堅(jiān)持不懈、決不放棄！不管自己的水平如何，不論自己的能力

怎樣最關(guān)鍵的是你沖刺了沒有？（可以掛座右銘或激勵(lì)性的話語警醒自己）

二、高三最重要的事情

1、明確目標(biāo)一明確高考目標(biāo)，同時(shí)分析自己的程度，明確差距。對(duì)目標(biāo)學(xué)

校的情況初步了解（對(duì)比歷年招生情況，有無加分限制）。如果沒有合理定位自

己，是無法完成科學(xué)規(guī)劃的

2、恰當(dāng)選擇一-對(duì)于高三學(xué)生來說，選擇課外輔導(dǎo)是必不可少的，老師的引

領(lǐng)和點(diǎn)撥可以讓你進(jìn)步的更快，但是課外輔導(dǎo)的形式很多，如：在線課程、班級(jí)

輔導(dǎo)、串講課堂、一對(duì)一輔導(dǎo)、請(qǐng)家教、或是最近流行的隨叫隨到的某品牌家教

機(jī)等，根據(jù)自身情況選擇合適的學(xué)習(xí)模式，才能用時(shí)最短、效果最好。

3、重視第一輪復(fù)習(xí)---第一輪復(fù)習(xí)是最全面、最系統(tǒng)的，也是大多數(shù)學(xué)生

最認(rèn)真最有成效的。在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，不投機(jī)、不偏頗、不耍小聰明，才能收獲

最大。

4、調(diào)整心態(tài)——高三沒完沒了的做題、沒完沒了的考試，還有家長(zhǎng)和老師

沒完沒了的嘮叨，加上自己給自己的壓力，很容易有急躁、郁悶、迷茫、懈怠等

情緒。這個(gè)時(shí)候如果能夠及時(shí)調(diào)整，讓心態(tài)回歸到正確的軌道上，就是往高考成

功道路上前進(jìn)了巨大的一步。但若這種心態(tài)蔓延，就會(huì)成為你高考成功路上難以

逾越的障礙

在學(xué)習(xí)方面他們應(yīng)該這樣做：

1

處理好知識(shí)與能力的關(guān)系

學(xué)生在校學(xué)習(xí)中，一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)?；A(chǔ)是什么？就是課本上的

那些知識(shí)，就是平常我們做的最多的作業(yè)題型?；A(chǔ)知識(shí)學(xué)好了，學(xué)習(xí)能力自然

就提高了。學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，掌握知識(shí)的速度就快。

2

處理好看書與做題的關(guān)系

學(xué)生一定要保證看書的時(shí)間。比如英語，對(duì)一些常見的詞匯、知識(shí)點(diǎn)、語法

等一定要多看，多看才能記熟，才能順利做題。不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，但也要做一定

量題。做臨考前的復(fù)習(xí)題要有代表性、典型性。

3

處理好學(xué)習(xí)與休息的關(guān)系

要保持一個(gè)良好的心態(tài)，不要打疲勞戰(zhàn)，尤其是到考試時(shí)，不要過度緊張,

要適當(dāng)休息，勞逸結(jié)合。學(xué)習(xí)時(shí)要有一定的收獲，不做無用功。要注意學(xué)習(xí)做題

的效率和效果。

4

學(xué)會(huì)做和自己水平相當(dāng)?shù)念}。

無論是中考或是高考。臨考前一段時(shí)間，應(yīng)結(jié)合自己的實(shí)際水平進(jìn)行復(fù)習(xí)，

做與自己水平相當(dāng)模擬題。首先要保證基礎(chǔ)題要做對(duì)，基礎(chǔ)題沒做對(duì)，難題更沒

有希望了。越接近考試，越要適當(dāng)降低練習(xí)的難度，不做那些偏題和怪題，這有

利于增強(qiáng)自信心。

5

平時(shí)做題要講究質(zhì)量不要追求數(shù)量

對(duì)于大量的典型例題，要透徹的做到底、做明白。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，盲目的做

大量的題目是不會(huì)有太多效果的。比如你英語閱讀能力很一般，一口氣看幾十篇

閱讀理解文章，做了好幾十道選擇題，可惜一篇都沒看懂或是半懂不懂，選擇答

案時(shí)也是連蒙帶猜。這樣還不如用同樣的時(shí)間作一篇或幾道題，徹底把它讀懂弄

透，不認(rèn)識(shí)的單詞就去查字典，把整篇文章結(jié)構(gòu)，每個(gè)句子的意思都搞清楚，每

個(gè)答案都弄明白，這樣日積月累下來進(jìn)步肯定非常驚人。做什么數(shù)學(xué)題、化學(xué)題

或生物題等也是一樣的。做一道題就把他的解題思路、涉及的知識(shí)點(diǎn)都弄清楚明

白，能夠舉一反三，下次在碰到類似的題目就不怕了。這樣哪怕是用平時(shí)做十道

題的時(shí)間來做一道題，學(xué)習(xí)效率也會(huì)大大的提高。

怎樣學(xué)好語文

1

勤記憶

這里的記憶并不同于英語的語法的死記硬背，而是指理解地記。例如：當(dāng)新

學(xué)一個(gè)生字麗的時(shí)候，你只要理解這個(gè)字的含義是好看、漂亮的意思，就能舉一

反三地理解出秀麗壯麗、美麗等一大串和麗有關(guān)的詞語。長(zhǎng)期如此，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自

己已經(jīng)懂得了許多字、詞。

2

深感悟

有的同學(xué)最怕考試中出現(xiàn)那些寫出文章中心思想的題目，其實(shí)過這一關(guān)很容

易，你只要用心去讀，用心去感受就會(huì)自然而生。比如：我們讀朱自清的《背影》

就要全身心地投入進(jìn)去，就像自己的父親關(guān)愛自己一樣去感悟，你就產(chǎn)生一種感

激之情，輕松寫出作者的寫作目的和文章的中心思想。

3

善聯(lián)想

在學(xué)習(xí)古詩文時(shí)，可以閉上雙眼，仿佛自己回到了詩人所描繪的情境中，你

就會(huì)不知不覺的記住和理解其意思。

4

多練筆

作文。一個(gè)讓許多同學(xué)頭痛的難題。其實(shí)也簡(jiǎn)單，只要你記住六個(gè)字“閱讀、

積累、練筆”。從多閱讀課外書積累出更多的名言警句，最后動(dòng)筆寫出來或者多

寫日記等，到了關(guān)鍵時(shí)候，自然而然就下筆如有神了。

5

培養(yǎng)語文自學(xué)能力

語文是一門最易自學(xué)成才的課程，古今中外不少大作家都是自學(xué)成才的。作

文寫的好，工具書不可少，養(yǎng)成一個(gè)勤查字典、詞典的好習(xí)慣。語文是一門語言

學(xué)科，字、詞典是無聲的老師，字音、字義及相應(yīng)用法在字典里都說的很清楚。

因此，備齊工具書是學(xué)習(xí)好語文的一個(gè)首要條件。

6

要把學(xué)習(xí)語文當(dāng)成一件快樂的事情

它的讀音、解詞造句、詩歌、散文、小說、戲劇等都是非常有趣的。尤其是

當(dāng)我們?cè)谧鐾陻?shù)理化作業(yè)后，看看語文方面的東西，簡(jiǎn)直是一種享受。相