第06講 拓展三：直線與拋物線的位置關(guān)系（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期重點題型方法與技巧（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第第頁第06講拓展三：直線與拋物線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查判斷直線與拋物線的位置關(guān)系 1題型二：重點考查求拋物線中的切線方程 4題型三：重點考查根據(jù)根與系數(shù)求參數(shù) 6題型四：重點考查拋物線中弦長問題 9題型五：重點考查拋物線中焦點弦問題 14題型六：重點考查拋物線中點弦問題 18題型七：重點考查拋物線中范圍及最值 22題型八：重點考查拋物線中的定點問題 27題型九：重點考查拋物線中的定值問題 30題型十：重點考查拋物線定直線問題 35題型十一：重點考查拋物線中向量問題 39題型一：重點考查判斷直線與拋物線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）已知直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【答案】D【詳解】直線與拋物線的對稱軸平行或與拋物線相切時有一個公共點，所以D選項正確.故選：D例題2．（多選）（2023秋·高二課時練習）已知直線l過定點，則與拋物線有且只有一個公共點的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】（1）當過點的直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時直線與拋物線只有一個交點，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個交點，直線l的方程為，即，B正確.（2）當過點的直線l的斜率不存在時，方程為，與拋物線相切，只有一個交點，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

例題3．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線，直線過定點.討論直線與拋物線的公共點的情況.【答案】答案見解析【詳解】

若直線斜率不存在，此時為軸，與拋物線有且僅有一個交點；若直線的斜率存在，記為，則可設(shè)直線的方程為：，由得：；①當時，，解得：，此時，直線與拋物線有且僅有一個公共點②當時，方程的判別式；若，即，方程無實根，則直線與拋物線無交點；若，即，方程有兩個相等實根，則直線與拋物線相切，有且僅有一個公共點；若，即且時，方程有兩個不等實根，則直線與拋物線有兩個不同交點；綜上所述：當直線斜率不存在或直線斜率或時，直線與拋物線有且僅有一個公共點；當直線斜率時，直線與拋物線無公共點；當直線斜率且時，直線與拋物線有兩個公共點.精練核心考點1．（2023秋·高二課時練習）直線與拋物線的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】B【詳解】因為直線與拋物線的對稱軸平行，故直線與拋物線只有一個公共點．故選：B.2．（2023秋·高二課時練習）已知直線與拋物線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的值．【答案】或0【詳解】由，整理得，當時，，解得，當時，直線為軸，與拋物線只有一個交點，滿足題意，綜上，實數(shù)的值為或0.3．（2023秋·高二課時練習）當k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點？僅有一個公共點？無公共點？【答案】答案見解析【詳解】由，得.當時，方程化為一次方程，該方程只有一解，原方程組只有一組解，∴直線與拋物線只有一個公共點；當時，二次方程的判別式，當時，得，，∴當或時，直線與拋物線有兩個公共點；由得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點；由得或，此時直線與拋物線無公共點．綜上，當或時，直線與拋物線僅有一個公共點；當或時，直線與拋物線有兩個公共點；當或時，直線與拋物線無公共點．題型二：重點考查求拋物線中的切線方程典型例題例題1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎c在直線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)與平行，且與相切，則與的距離即為的最小值，聯(lián)立與得，由，解得，故的最小值為.

故選：D例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知點和拋物線，求過點A且與拋物線C相切的直線l的方程．【答案】或【詳解】當直線l的斜率不存在時，由直線l過點可知，直線l就是y軸，其方程為．由消去未知數(shù)x得．這是一個一元二次方程且只有唯一的實數(shù)解，所以直線與拋物線C相切．如果直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由方程組消去x，整理得．為了使得這個方程是一元二次方程且只有一個實數(shù)解，必須有且，因此可解得．此時直線l的方程為，即．綜上可知，直線l的方程為或．精練核心考點1．（2023秋·全國·高二隨堂練習）拋物線上一點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直線與相切，聯(lián)立與得：，由，得：，則直線為，故與之間的距離即為上一點到直線距離的最小值，由兩平行線間距離公式得：.故選：A2．（多選）（2023秋·高二課時練習）已知直線l過定點，則與拋物線有且只有一個公共點的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】（1）當過點的直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時直線與拋物線只有一個交點，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個交點，直線l的方程為，即，B正確.（2）當過點的直線l的斜率不存在時，方程為，與拋物線相切，只有一個交點，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

題型三：重點考查根據(jù)根與系數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過定點，且與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，滿足，則p＝（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立，消去x，得，則，．∵，∴，∴．故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點，，交于點，點的坐標為，則的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【詳解】∵，，∴，，∴∴直線AB的方程為：，即：，設(shè)，，，，，∴，又∵，∴，∴，∴.故選：B.例題3．（2023秋·高二課時練習）已知直線被曲線截得的弦長為，求實數(shù)的值．【答案】【詳解】解：聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與曲線的交點為，可得，解得，且，由弦長公式，可得因為直線與曲線截得的弦長為，可得，解得，所以實數(shù)的值為.精練核心考點1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學校考開學考試）直線上兩點到直線的距離分別等于它們到的距離，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，到直線距離和到點的距離相等的點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，拋物線方程為，所以點是直線與拋物線的兩個交點，聯(lián)立方程，得，，而.故選：C2．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的兩個不同的點、的橫坐標恰好是方程的根，則直線的方程為.【答案】【詳解】由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因為點，的橫坐標恰好是方程的根，所以，，聯(lián)立，消得，則，，所以，，所以，，經(jīng)檢驗，符合題意，所以直線的方程為，即.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）寫出以及韋達式子：．【答案】見解析【詳解】聯(lián)立，整理為，，，.題型四：重點考查拋物線中弦長問題典型例題例題1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學?？计谥校┻^拋物線的焦點作直線，交于、兩點，若線段中點的縱坐標為2，則．【答案】8【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點坐標為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，，，，則，，，，則．故答案為：8．

例題2．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數(shù)k的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，

設(shè)，.將代入，消去整理得.當時，，.，化簡得：，解得，經(jīng)檢驗，此時，故.例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與交于兩點，與軸交點為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，，可得，設(shè),，,，，，因為，所以，可得，可得，所以直線的方程為：．即．（2）直線的方程設(shè)為，

令，可得，所以，所以,，,，因為，所以：,,，所以，，，，，化簡可得，，，可得，，，．精練核心考點1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學校考期末）已知拋物線的焦點為，若直線與交于，兩點，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】令，則，故，所以，所以，故準線為，則.故選：B2．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的焦點到準線的距離為4，過其焦點作傾斜角為的直線交拋物線于點，求的長．【答案】或.【詳解】不妨設(shè)拋物線方程為，焦點到準線的距離為，則，拋物線為：，焦點，準線方程為，直線的方程為，由消去整理得，即，解得，，則，，所以直線與拋物線的交點為和，所以或.

3．（2023秋·高二課時練習）已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求該拋物線的方程.【答案】或【詳解】設(shè)拋物線方程為，直線與拋物線交于，

由得：，則，解得：或，，，，解得：或，滿足，拋物線的方程為：或.4．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知拋物線E：的焦點為F，拋物線E上一點H的縱坐標為5，O為坐標原點，．(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當AB的中點到拋物線的準線距離最短時，求弦AB所在直線方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）∵H縱坐標為5，不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，∴，過H做軸于M，∵，∴，∴，解得．∴所以拋物線E的方程為．

（2）根據(jù)題意直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，AB中點，由，，，，，∴，則∴，∵AB的中點到準線的距離等于，∴當最小時，AB的中點到準線的距離最短．∵，當且僅當時，解得，則．所以直線AB的方程為或.題型五：重點考查拋物線中焦點弦問題典型例題例題1．（2023春·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【詳解】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設(shè)，則.因為，所以，所以，所以，即.所以，拋物線為，焦點為，準線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯(lián)立方程得，解得，所以，，所以，故選：B例題2．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學?？计谥校佄锞€有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點.反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.一束光線由點出發(fā)沿x軸反方向射向拋物線上一點P，反射光線所在直線與拋物線交于另一點Q，則弦的長為.【答案】【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，即，由拋物線的性質(zhì)：當光線平行拋物線的對稱軸時，經(jīng)拋物線反射后，光線過焦點.可得反射光線經(jīng)過拋物線的焦點，故直線的斜率，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，所以.故答案為：.例題3．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，以為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點，若，則線段的長為．【答案】/4.5【詳解】過點分別作準線的垂線，垂足分別為，過點作的垂線，垂足為，由題意可知，所以，設(shè)，所以，且，因此，故，所以，即，因此直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，即，設(shè)，則，因此，故答案為：.精練核心考點1．（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學校考期中）已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點，軸被以為直徑的圓所截得的弦長為6，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的焦點，易知當斜率不存在時不成立，故設(shè)直線為，設(shè)，.則，即，故，故中點的橫坐標為，.故，解得，故.故選：.2．（2023·全國·高三專題練習）一束光線由點出發(fā)沿x軸反方向射向拋物線上一點P，反射光線所在直線與拋物線交于另一點Q，則弦|PQ|的長為.【答案】【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，即，由拋物線的性質(zhì)：當光線平行拋物線的對稱軸時，經(jīng)拋物線反射后，光線過焦點.可得反射光線經(jīng)過拋物線的焦點，故直線的斜率，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，所以.故答案為：.題型六：重點考查拋物線中點弦問題典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的頂點為坐標原點，準線為，直線與拋物線交于兩點，若線段的中點為，則直線的方程為．【答案】【詳解】因為拋物線的頂點為坐標原點，準線為，所以易得拋物線的方程為，設(shè)，因為線段的中點為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.

例題2．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學校校聯(lián)考期末）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為.【答案】【詳解】因為在拋物線內(nèi)部，又，所以是的中點.設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：

例題3．（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即精練核心考點1．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因為線段的中點坐標為，所以，則，故直線的斜率為2.

2．（2023秋·陜西商洛·高二?？计谀┲本€：與拋物線：交于，兩點，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點，且弦的中點的縱坐標為，求的斜率．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為M的焦點為，且直線l：經(jīng)過點，所以經(jīng)過的焦點．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，則，解得．所以M的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減，得．因為，所以l＇的斜率為.

3．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即題型七：重點考查拋物線中范圍及最值典型例題例題1．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，若拋物線的準線與圓相切于點，直線與拋物線切于點，點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】拋物線的準線方程為，

圓的圓心為，半徑為，直線與圓相切，則，因為，解得，所以，拋物線的方程為，故拋物線的準線與圓相切于點，若直線與軸重合，則直線與拋物線不相切，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，不妨設(shè)點在第一象限，則，則有，解得，此時，即點，所以，，因為點在圓上，設(shè)點，則，所以，.故選：C.例題2．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）拋物線的光學性質(zhì)是：從拋物線焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線對稱軸平行，已知、分別為拋物線的焦點和內(nèi)側(cè)一點，拋物線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由拋物線方程知：，準線；過作，垂足為，由拋物線定義知：，，則當三點共線時，取得最小值，即圖中的，，，解得：；又在拋物線內(nèi)側(cè)，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.例題3．（2023秋·高二課時練習）已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，求的最小值.【答案】16【詳解】由題意知拋物線的焦點為，焦準距，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則，的斜率都存在且不為0，故設(shè)，則直線，設(shè)，聯(lián)立，則，，則，同理，故，同理可得,故，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為16.精練核心考點1．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線上三點A，B，C，且當點B移動時，點C的橫坐標的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可設(shè)：，因為，因為，則，且，則，可得，整理得，令，則，當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；當時，，當且僅當，即時，等號成立，則；綜上所述：點C的橫坐標m的取值范圍是.故選：A.2．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線：，直線：，：，M為C上的動點，則點M到與的距離之和的最小值為.【答案】3【詳解】由題，拋物線焦點為，準線為，過M點作，準線垂線，垂足分別為B，C.過M點作垂線，垂足為A.則M到與的距離之和為.由拋物線定義知，又，則.當且僅當三點共線時，最短，為.故答案為：3

3．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？计谥校┮阎cP在拋物線上，P到的距離是，P到的距離是，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，因為，所以，，，，對稱軸為，所以當時，取得最小值.故答案為：.題型八：重點考查拋物線中的定點問題典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，點在上，．(1)求；(2)過點作直線，與交于，兩點，關(guān)于軸的對稱點為．判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理出．【答案】(1)(2)過定點【詳解】（1）因為點在上，所以①，因為，所以由焦半徑公式得②，由①②解得（負值舍去），所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，由消去得，，則，所以，，所以，則直線的方程為，即，即，即，令，可得，所以直線恒過定點.

例題2．（2023秋·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程，并說明E為何種曲線；(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過定點．【答案】(1)E的方程為，曲線E是拋物線.(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因為圓心為C的動圓過點，所以，因為圓心為C的動圓在軸上截得的弦長為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)，，則，，因為，，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過定點.

精練核心考點1．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線，直線l交該拋物線于M，N兩點（直線l不過原點），若，則直線l經(jīng)過定點．【答案】【詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，，因為，所以，即，即，所以，所以，又，所以，所以直線的方程為，所以直線l經(jīng)過定點.故答案為：.

2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過點．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）坐標代入拋物線方程得，解得，∴拋物線方程為．（2）證明：顯然直線斜率不為0，故可設(shè)：，將的方程與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以，，同理：，由題意：，∴，∴，即，代入直線得，故直線恒過定點．

題型九：重點考查拋物線中的定值問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，(1)求的值.(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，3【詳解】（1）如圖所示，過點作，垂足為交軸于點，由題得，所以，因為，所以△是等邊三角形，因為是的中點，所以，故，所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知拋物線的方程是，設(shè)直線的方程為，，因為，所以，即，即.又，所以，故.聯(lián)立，消去，得，其中，則，所以，所以.設(shè)點到直線和直線的距離分別為，則由得，所以點到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.例題2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)拋物線的焦點為，準線與軸交于點，到的距離為，過的直線與拋物線依次交于兩點（點在兩點之間），則；設(shè)交軸于點，交準線于點，則.【答案】/【詳解】

到準線的距離為，，拋物線為，準線，，，由題意可設(shè)直線，，由得：，，解得：或，，，；設(shè)，則，直線，直線，，，.故答案為：；.精練核心考點1．（2023春·江西贛州·高二?？茧A段練習）已知點O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，點F到直線的距離為．(1)求C的標準方程；(2)若直線與C交于與點O不重合的A，B兩點，且直線OA，OB的斜率之積為，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，點F到直線的距離，所以，C的標準方程為．（2）設(shè)，，則，，所以直線OA，OB的斜率之積為，所以，由題意知，由得，

代入得，所以，．此時，所以．2．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考階段練習）已知圓：與軸相交于，兩點（點在軸的上方），過點作圓的切線，是平面內(nèi)一動點，過點作的垂線，垂足為，且，記點的運動軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設(shè)，由題可得，，，，，，，因為，所以有，，，，即，，，即，所以．（2）設(shè)直線的斜率為，線段的中點為，因為直線過點，所以，設(shè)，，，，聯(lián)立，恒成立，，，，因為的中點為，所以橫坐標為，又因為點在直線上，所以，設(shè)的垂直平分線為，則斜率為，，即，則，，所以，為定值．

題型十：重點考查拋物線定直線問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓同時相切.（1）求和的值；（2）若點的坐標為，過點且斜率為的直線與拋物線分別相交于、兩點（點在點的右邊），過點的直線與拋物線分別相交于、兩點，直線與不重合，直線與直線相交于點，求證：點在定直線上.【答案】（1），；（2）證明見解析.【詳解】（1）圓的標準方程為，可知圓的圓心為，半徑為，由直線與圓相切，可得，解得或（舍去），聯(lián)立方程，消去后整理為，因為直線與拋物線相切，所以，得，故，.（2）證明：直線的方程為，聯(lián)立方程，解得或，則點的坐標為，點的坐標為，設(shè)直線的方程為，點的坐標為，點的坐標為聯(lián)立方程，消去整理為，有，，，由得或，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，化為，直線的方程為，化為，聯(lián)立直線、的方程消去后得，得，因為直線與不重合，所以，所以，故點在定直線上.例題2．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）當過點的動直線與拋物線相交于不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.【答案】（1）（2）總在定直線上.【詳解】（1）過三點的圓的圓心為,則圓心在的中垂線上，則，又點到拋物線的準線的距離為所以，則所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，記.則，，聯(lián)立可得，又，代入得，所以總在定直線上.精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為.F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點M，N作拋物線C的切線，，是，的交點，求證：點P在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）點A的橫坐標為，所以點A的坐標為，代入解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線，則，設(shè),，所以切線PM的方程為，即,同理切線PN的方程為，聯(lián)立解得點，設(shè)直線MN的方程為，代入，得，所以，所以點P在上，結(jié)論得證.2．（2023·全