外接球問題典型例題

在三棱柱中，,，此三棱柱各個頂點都在一個球面上，那么球的體積為〔〕A． B． C． D．【知識點】線面垂直的性質(zhì);球內(nèi)接多面體;球體積的公式.【答案解析】A解析：解：直三棱的各頂點都在同一球面上，〔如圖〕，∵中，，∴下底面的外心為的中點，同理，可得上底面的外心為的中點，連接，那么與側(cè)棱平行，所以⊥平面再取中點，可得：點到的距離相等，∴點是三棱柱外接球的球心∵中，，，∴，即外接球半徑，因此，三棱柱外接球的球的體積為：．應(yīng)選：A．【思路點撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱外接球的球心是上下底面斜邊中點的連線段的中點．在直角中，利用勾股定理算出的長，即得外接球半徑的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積．四面體ABCD中，AB=CD=EQ\r(,29)，AC=BD=EQ\r(,34)，AD=BC=EQ\r(,37)，那么四面體ABCD的外接球的外表積〔〕A．25 B．45C．50 D．100【知識點】幾何體的外接球的外表積的求法;割補法的應(yīng)用.【答案解析】C解析：解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以EQ\r(,29),EQ\r(,34),EQ\r(,37)為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，那么有〔2R〕2=x2+y2+z2=50〔R為球的半徑〕，得R2=，所以球的外表積為S=4πR2=50π．應(yīng)選：C．【思路點撥】將四面體補成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的外表積．正四面體的棱長為，那么它的外接球的外表積的值為．【知識點】球內(nèi)接多面體．【答案解析】解析：解：正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直徑，正方體的棱長為：1；對角線長為：，∴棱長為的正四面體的外接球半徑為．所以外接球的外表積為，故答案為.【思路點撥】正四面體擴展為正方體，它們的外接球是同一個球，正方體的對角線長就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑,可求外接球的外表積．正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，假設(shè)PA，PB，PC兩兩互相垂直，那么球心到截面ABC的距離為________?！敬鸢浮俊军c評】此題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題假設(shè)直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱平面四邊形中，,,,將其沿對角線折成四面體,使平面平面，假設(shè)四面體的頂點在同一個球面上，那么該球的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1.A根據(jù)題意，如圖，可知中，，在中，,又因為平面平面，所以球心就是的中點，半徑為，所以球的體積為：．正四棱錐的頂點都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4，底面邊長為2，那么該球的外表積為〔〕 A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R，那么∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴R2=〔4﹣R〕2+〔〕2，∴R=，∴球的外表積為4π?〔〕2=．應(yīng)選：A一個幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是一個等腰直角三角形，那么該幾何體的外接球的外表積為【知識點】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的外表積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，那么，得x=，∴外接球的半徑R=，∴幾何體的外接球的外表積S=4π×=.【思路點撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準確的判斷出原幾何體的根本形狀特征；再求幾何體的外接球的外表積與體積時，能直接確定圓心位置的可通過圓心位置求球的半徑，假設(shè)圓心位置難以確定可考慮用補形法轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球問題.如圖，三棱錐中，，它的三視圖如下，求該棱錐的正視圖俯視圖側(cè)視圖〔Ⅰ〕全面積；〔Ⅱ〕內(nèi)切球體積；〔Ⅲ正視圖俯視圖側(cè)視圖【知識點】根據(jù)三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，幾何體內(nèi)切球半徑、外切球半徑的求法.【答案解析】(1)；(2)；(3)．解析：解：〔1〕由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長為6的等腰直角三角形ABC，頂點P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點E，且高為4的三棱錐。側(cè)面PAB、PAC的高都是5，底面斜邊長，所以全面積為：：〔2〕設(shè)內(nèi)切球球心O,半徑r，那么由得，解得r=,所以內(nèi)切球體積為〔3〕設(shè)外接球球心M，半徑R,M在高PE所在直線上，因為4<,所以,解得R=，所以外接球外表積為?！舅悸伏c撥】〔1〕三視圖的定義正確讀取三棱錐中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐的全面積.〔2〕內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點連線，把原三棱錐分割成四個小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑?！?〕分析外切球球心位置，利用的數(shù)量，求外切圓半徑。三棱錐的外接球為球，球的直徑是，且都是邊長為的等邊三角形，那么三棱錐的體積是〔〕ABCD【知識點】棱錐的體積【答案解析】A解析：因為截面BOC與直徑AD垂直，而BO=CO=，所以三角形BOC為等腰直角三角形，其面積為，而AD=，所以三棱錐的體積為，選A【思路點撥】求棱錐的體積假設(shè)直接利用所給的底面求體積不方便時，可通過換底面法或補形法或分割法求體積，此題采取分割法求體積即把一個棱錐分割成兩個棱錐的體積的和.一個幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是一個等腰直角三角形，那么該幾何體的外接球的外表積為【知識點】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的外表積【答案解析】解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，那么，得x=，∴外接球的半徑R=，∴幾何體的外接球的外表積S=4π×=.【思路點撥】由三視圖解決幾何問題，關(guān)鍵是準確的判斷出原幾何體的根本形狀特征；再求幾何體的外接球的外表積與體積時，能直接確定圓心位置的可通過圓心位置求球的半徑，假設(shè)圓心位置難以確定可考慮用補形法轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球問題.A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如下圖，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，那么球的外表積為，應(yīng)選C．三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三