第二章控制工程基礎(chǔ)方案

第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型§2-1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型§2-2微分方程§2-3傳遞函數(shù)§2-4典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)§2-5系統(tǒng)方框圖§2-1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類(lèi)型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過(guò)物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來(lái)描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克?；舴蚨傻榷际怯脕?lái)描述系統(tǒng)模型的基本定律。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱(chēng)其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型可以是標(biāo)量方程和向量的狀態(tài)方程。本章主要討論的是線性定常系統(tǒng)。我們可以對(duì)描述的線性定常微分方程進(jìn)行積分變換，得出傳遞函數(shù)，方框圖，信號(hào)流圖，頻率特性等數(shù)學(xué)描述。線性系統(tǒng)實(shí)際上是忽略了系統(tǒng)中某些次要因素，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行近似而得到的。以后各章所討論的系統(tǒng)，均指線性化的系統(tǒng)。一、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式；可有多種形式。在經(jīng)典理論中，常用的數(shù)學(xué)模型是微（差）分方程，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖等；在現(xiàn)代控制理論中，采用的是狀態(tài)空間表達(dá)式。結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，狀態(tài)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形表達(dá)形式。二、建模方法建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系統(tǒng)的分析研究是十分重要的。合理包括兩條：（1）反映元件及系統(tǒng)的特性要正確；（2）寫(xiě)出的數(shù)學(xué)表達(dá)式要簡(jiǎn)明；控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的要求可采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。解析法是根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的。用解析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)其內(nèi)部所體現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和科學(xué)規(guī)律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的數(shù)學(xué)模型要合理。實(shí)驗(yàn)法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的，即人為地在系統(tǒng)上加上某種測(cè)試信號(hào)，用實(shí)驗(yàn)所得的輸入和輸出數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，階次和參數(shù)，這種方法也成為系統(tǒng)辨識(shí)。線性系統(tǒng)最重要的特性是可用疊加原理。對(duì)非線性系統(tǒng)當(dāng)非線性不嚴(yán)重或變量變化范圍不大時(shí)，可利用小偏差線性化的方法使數(shù)學(xué)模型線性化?！?-2微分方程微分方程是描述控制系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)態(tài)特性的最基本模型，微分方程又稱(chēng)之為控制系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程。一、列寫(xiě)微分方程的步驟確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量根據(jù)系統(tǒng)所遵循的基本定律，依次列寫(xiě)出各元件的運(yùn)動(dòng)方程消中間變量，得到只含輸入、輸出量的標(biāo)準(zhǔn)形式二、微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；將方程的系數(shù)通過(guò)元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。LiU2U1RCU2U1RLCimm0三、非線性微分方程的線性化將非線性微分方程在一定的條件下轉(zhuǎn)化為線性微分方程的方法，稱(chēng)非線性微分方程的線性化。小偏差線性化：非線性微分方程能進(jìn)行線性化的一個(gè)基本假設(shè)上是變量偏離其預(yù)期工作點(diǎn)的偏差甚小，這種線性化通常稱(chēng)為小偏差線性化?！?-3傳遞函數(shù)

一、定義初始條件為零時(shí)，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換的比，稱(chēng)為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)線性定常系統(tǒng)或元件的運(yùn)動(dòng)方程與傳遞函數(shù)一一對(duì)應(yīng)，它們是在不同域?qū)ν幌到y(tǒng)或元件的描述。傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，它與其輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)，但和輸入信號(hào)的作用位置及輸出信號(hào)的取出位置有關(guān)。傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理分式，且分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，分母多項(xiàng)式的次數(shù)N大于等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)M，。傳遞函數(shù)寫(xiě)成

的形式，則和為G(S)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。不同物理結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。三、傳遞函數(shù)的求法工程上，通常采用拉普拉斯變換來(lái)求解傳遞函數(shù)。四、拉普拉斯變換定義幾種常見(jiàn)函數(shù)的拉氏變換

單位階躍：指數(shù)函數(shù)：正弦函數(shù)：定理線性性質(zhì)：微分定理：

零初始條件下有：

積分定理：（證略）零初始條件下有：位移定理實(shí)位移定理：虛位移定理：

終值定理（極限確實(shí)存在時(shí)）拉氏反變換§2-4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)一、比例環(huán)節(jié)微分方程

Xo=kXik—環(huán)節(jié)放大系數(shù)傳遞函數(shù)兩邊取拉氏變換，得環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。

G(s)=

=k變化曲線方框圖XiXoXiXot0KXi(s)Xo(s)二、慣性環(huán)節(jié)微分方程

傳遞函數(shù)變化曲線方框圖0tx0Xi(s)Xo(s)三、微分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)變化曲線方框圖TsXi(s)Xo(s)Xo(理想)XiXotXi(s)Xo(s)四、積分環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)變化曲線方框圖Xi(s)Xo(s)tXi(t)Xo(t)T五、振蕩環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)變化曲線方框圖tξ=0.2ξ=0.5ξ=101Xi(s)Xo(s)六、延時(shí)環(huán)節(jié)微分方程傳遞函數(shù)變化曲線方框圖KXi(s)Xo(s)§2-5系統(tǒng)方框圖

一、概念控制系統(tǒng)都是由一些元部件組成的，根據(jù)不同的功能，可將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)（也叫做子系統(tǒng)），每個(gè)環(huán)節(jié)的性能可以用一個(gè)單向相的函數(shù)方框來(lái)表示，方框中的內(nèi)容為這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)中信息的傳遞方向，將各個(gè)環(huán)節(jié)的函數(shù)方框圖用信號(hào)線依次連接起來(lái)，就構(gòu)成了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖實(shí)際上是每個(gè)元件的功能和信號(hào)流向的圖解表示。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖又稱(chēng)之系統(tǒng)的方框圖。二、組成信號(hào)線:帶箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞方向。綜合點(diǎn):對(duì)兩個(gè)以上信號(hào)加減運(yùn)算。方框:方框圖內(nèi)輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。引出點(diǎn):表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。三、繪制步驟寫(xiě)出組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫(huà)出個(gè)體方框圖

從相加點(diǎn)入手，按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖，既系統(tǒng)方框圖繪制方框圖的步驟式有由(1)(4)

)(CS1(S)IR

c1

(3)

I(S)R(S)U

(2)

(S)U(S)RI(S)U

(1)

(S)I(S)II(S)

2111122020011i0112121SIiRdtiiRuuRiuiiii====+=+=+=+=òCii1i2R1R2UiU0I2(S)I1(S)I(S)++R1CSI1(S)I2(S)R2I(S)U0(S)U0(S)UI(S)I1(S)1/R+-Ui(S)U0(S)I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)1/RR2CSR1+四、等效變換通過(guò)變換相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點(diǎn)：①前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；②回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；通過(guò)等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結(jié)構(gòu)圖。方框圖的運(yùn)算法則根據(jù)下表所列運(yùn)算法則，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G1G2G1G2GHG1G2GGGGG1/GGG1/GGGGG1G2G3G4G5G7G6---BAG1G2G3G4G4G5G7G6---小結(jié)介紹了微分方程、傳遞函數(shù)、系統(tǒng)方框圖三種數(shù)學(xué)模型理解典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型