套卷四川省達(dá)州市大竹縣文星2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文)試題_第1頁(yè)
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四川省達(dá)州市大竹縣文星2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文)試題考試時(shí)間:120分鐘;滿分150分第I卷(選擇題)一、選擇題:共12題每題5分共60分1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},則集合A∪B=A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}2.函數(shù)y=sin(eq\f(π,2)x+θ)·cos(eq\f(π,2)x+θ)在x=2時(shí)取最大值,則θ的一個(gè)值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(3π,4)3.已知z是純虛數(shù),eq\f(z+2,1-i)是實(shí)數(shù),那么z等于()A.2i B.iC.-i D.-2i4.k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面,則k+1棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k+1)為()A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1C.f(k)+k D.f(k)+k-25.已知a>0,b>0,a、b的等差中項(xiàng)為eq\f(1,2),且α=a+eq\f(1,a),β=b+eq\f(1,b),則α+β的最小值為()A.3 B.4C.5 D.66.若m,n是正整數(shù),則m+n>mn成立的充要條件是()A.m,n都等于1 B.m,n都不等于2C.m,n都大于1 D.m,n至少有一個(gè)等于17.函數(shù)f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是()A.eq\f(1,2) B.-1C.0 D.18.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為A.π B.π C.4π D.16π9.閱讀下面的程序框圖,輸出的結(jié)果是A.9 B.10 C.11 D.1210.已知雙曲線的漸近線方程為,則以它的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓的離心率等于A.1 B. C. D.11.如果實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)z=kx+y的最大值為12,最小值為3,那么實(shí)數(shù)k的值為A.2 B.-2 C.1 D.-112.已知函數(shù)f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

第II卷(非選擇題)二、填空題:共4題每題5分共20分13.隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,若P(ξ=0)=eq\f(1,5),E(ξ)=1,則D(ξ)=________.14.觀察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.15.下圖展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集的映射過程:區(qū)間中的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)上的點(diǎn),如圖1;將線段圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)恰好重合,如圖2;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖3.圖3中直線與軸交于點(diǎn),則的象就是,記作.下列說(shuō)法中正確命題的序號(hào)是.(填出所有正確命題的序號(hào))①方程的解是;②;③是奇函數(shù);④在定義域上單調(diào)遞增;⑤的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.16.對(duì)于定義域在R上的函數(shù)f(x),若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)=x0,則稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=x2+ax+1沒有不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.三、解答題:(共6題,共72分)17.(本題10分已知向量m=(sinx,1),n=(eq\r(3)Acosx,eq\f(A,2)cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)=m·n的最大值為6.(1)求A;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原的eq\f(1,2)倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在[0,eq\f(5π,24)]上的值域.18.(本題12分)為向國(guó)際化大都市目標(biāo)邁進(jìn),沈陽(yáng)市今年新建三大類重點(diǎn)工程,它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程.現(xiàn)有沈的3名工人相互獨(dú)立地從60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).(1)求這3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率;(2)將此3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(本小題滿分12分)在四棱錐中,,,點(diǎn)是線段上的一點(diǎn),且,.(1)證明:面面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(本題12分)已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,且,,成等比數(shù)列。(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令=求數(shù)列的前項(xiàng)和。21.(本題13分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,g(x)=(6+a)·2x-1.(1)若f(1)=f(3),求實(shí)數(shù)a的值;(2)在(1)的條件下,判斷函數(shù)F(x)=eq\f(2,1+gx)的單調(diào)性,并給出證明;(3)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)≥a(a?(-4,4))恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.22.(本題13分)橢圓CQUOTE=1(>>0)的離心率,+=3.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點(diǎn),P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2m-k為定值.參考答案【解析】由已知得a+b=1,∴α+β=a+eq\f(1,a)+b+eq\f(1,b)=1+eq\f(a+b,a)+eq\f(a+b,b)=3+eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥3+2=5.故選C.6.答案D【解析】∵m+n>mn,∴(m-1)(n-1)<1.∵m,n∈N*,∴(m-1)(n-1)∈Z,∴(m-1)(n-1)=0.∴m=1或n=1,故選D.7.答案D【解析】由f′(x)=3-12x2=0得,x=±eq\f(1,2),∵x∈[0,1],∴x=eq\f(1,2),∵當(dāng)x∈[0,eq\f(1,2)],f′(x)>0,當(dāng)x∈[eq\f(1,2),1]時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在[0,eq\f(1,2)]上單調(diào)遞增,在[eq\f(1,2),1]上單調(diào)遞減,故x=eq\f(1,2)時(shí),f(x)取到極大值也是最大值,f(eq\f(1,2))=3×eq\f(1,2)-4×(eq\f(1,2))3=1,故選D.8.D【解析】本題主要考查三視圖、空間幾何體的結(jié)構(gòu)和球的表面積公式,意在考查考生的空間想象能力.如圖所示,由三視圖可知該幾何體為圓錐AO,AD為該圓錐外接球的直徑,則AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半徑為(AO+OD)=2,表面積為4π×22=16π.9.B【解析】本題主要考查算法與程序框圖的相關(guān)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.a=95→y=ax是減函數(shù),否→a=×(95-1)=47→y=ax是減函數(shù),否→a=×(47-1)=23→y=ax是減函數(shù),否→a=×(23-1)=11→y=ax是減函數(shù),否→a=×(11-1)=5→y=ax是減函數(shù),否→a=×(5-1)=2→y=ax是減函數(shù),否→a=×(2-1)=→y=ax是減函數(shù),是→x=1→ax=()1>10-3,是→x=1+1=2→ax=()2>10-3,是→x=2+1=3→ax=()3>10-3,是→…→x=8+1=9→ax=()9>10-3,是→x=9+1=10→ax=()10>10-3,否→輸出x為10.10.D11.A12.B13.eq\f(2,5)【解析】本題考查期望,方差的求法.設(shè)ξ=1概率為P.則E(ξ)=0×eq\f(1,5)+1×P+2(1-P-eq\f(1,5))=1,∴P=eq\f(3,5).故D(ξ)=(0-1)2×eq\f(1,5)+(1-1)×eq\f(3,5)+(2-1)2×eq\f(1,5)=eq\f(2,5).14.(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)【解析】本題主要考查歸納推理,考查考生的觀察、歸納、猜測(cè)能力.觀察規(guī)律可知,左邊為n項(xiàng)的積,最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n+1),(n+n),右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n,則第n個(gè)等式為(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).15.①④eq\o\ac(○,5)解析:①則,正確;②當(dāng)時(shí),∠ACM=,此時(shí)故,不對(duì);③的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,是非奇非偶函數(shù);④顯然隨著的增大,也增大;所以在定義域上單調(diào)遞增,正確;又整個(gè)過程是對(duì)稱的,所以正確。16.(-1,3)【解析】由題意,得方程x2+ax+1=x,即x2+(a-1)x+1=0無(wú)實(shí)根,∴Δ=(a-1)2-4=a2-2a∴-1<a<3.17.解:(1)f(x)=m·n=eq\r(3)Asinxcosx+eq\f(A,2)cos2x=eq\f(\r(3),2)Asin2x+eq\f(A,2)cos2x=Asin(2x+eq\f(π,6)).則A=6.(2)函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位得到函數(shù)y=6sin[2(x+eq\f(π,12))+eq\f(π,6)]的圖象,再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原的eq\f(1,2)倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)=6sin(4x+eq\f(π,3)).當(dāng)x∈[0,eq\f(5π,24)]時(shí),4x+eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3),eq\f(7π,6)],sin(4x+eq\f(π,3))∈[-eq\f(1,2),1],g(x)∈[-3,6].故函數(shù)g(x)在[0,eq\f(5π,24)]上的值域?yàn)閇-3,6].18.解:記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件Ai、Bi、Ci.由題意知,P(Ai)=eq\f(30,60)=eq\f(1,2),P(Bi)=eq\f(20,60)=eq\f(1,3),P(Ci)=eq\f(10,60)=eq\f(1,6)(i=1,2,3).(1)3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率P=Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)=6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)=eq\f(1,6).(2)任一名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的概率P=eq\f(30+10,60)=eq\f(2,3).由X~B(3,eq\f(2,3)),∴P(X=k)=Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1-eq\f(2,3))3-k(k=0,1,2,3),∴X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×eq\f(2,3)=2.19.解(1)由,得,又因?yàn)椋遥悦?,且面.所以,面面。?)過點(diǎn)作,連結(jié),因?yàn)?,且,所以平面,又由平面,所以平面平面,平面平面,過點(diǎn)作,即有平面,所以為直線與平面所成角.在四棱錐中,設(shè),則,,,∴,,從而,即直線與平面所成角的正弦值為.20.解:(Ⅰ)解得(Ⅱ)21.解:(1)∵f(1)=f(3),∴函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=2,即-eq\f(a,2)=2,故a=-4.(2)由(1)知,g(x)=(6-4)·2x-1=2x,F(xiàn)(x)=eq\f(2,1+2x)(x∈R)函數(shù)F(x)在R上是減函數(shù)設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2.∴Δx=x2-x1>0,Δy=F(x2)-F(x1)=eq\f(2,1+2x2)-eq\f(2,1+2x1)=eq\f(22x1+1-2x2-1,1+2x11+2x2)=eq\f(22x1-2x2,1+2x11+2x2).根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及x1<x2,得2x1-2x2<0,由上式得Δy<0,所以F(x)在R上是減函數(shù).(3)f(x)=x2+ax+3=(x+eq\f(a,2))2+3-eq\f(a2,4),x∈[-2,2],又a?(-4,4),故-eq\f(a,2)?(-2,2).①當(dāng)-eq\f(a,2)≥2,即a≤-4時(shí),f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(2)=7+2a,故7+2a≥a,即a所以-7≤a≤-4.②當(dāng)-eq\f(a,2)≤-2,即a

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