名師指導數一高數學習計劃

高等數學

第一章函數與極限(7天)

微積分中研究的對象是函數。函數概念的實質是變量之間確定的對應關系。極限是微積分的理論基礎，研究函數實質上是研究各種類型極限。無窮小就是極限為零的變量，極限方法的重要部分是無窮小分析，或說無窮小階的估計與分析。我們研究的對象是連續(xù)函數或除若干點外是連續(xù)的函數。日期學習時間復習知識點與對應習題大綱要求第一周2.5－3.5小時函數的概念，常見的函數（有界函數、奇函數與偶函數、單調函數、周期函數）、復合函數、反函數、初等函數具體概念和形式.習題1－1：4，5，7，8，9，13，15，181．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題中函數關系.

2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．

3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．

4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系．

6．掌握極限的性質及四則運算法則.

7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．

8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．

9．理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型．

10．了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．2.5－3.5小時數列定義，數列極限的性質(唯一性、有界性、保號性)P26(例1,例2)P27(例3)習題1－2：1，3，4，5，62.5－3.5小時函數極限的基本性質（不等式性質、極限的保號性、極限的唯一性、函數極限的函數局部有界性,函數極限與數列極限的關系等）P33(例4,例5)P35(例7)習題1－3：1，2，4，6，7，82.5－3.5小時無窮小與無窮大的定義，它們之間的關系，以及與極限的關系習題1－4：1，2，4，5，6，72.5－3.5小時極限的運算法則(6個定理以及一些推論)P46(例3,例4),P47(例6),習題1－5：1，2，32.5－3.5小時兩個重要極限（要牢記在心，要注意極限成立的條件，不要混淆，應熟悉等價表達式）,函數極限的存在問題（夾逼定理、單調有界數列必有極限），利用函數極限求數列極限，利用夾逼法則求極限，求遞歸數列的極限

P51(例1)習題1－6：1，2，42.5－3.5小時無窮小階的概念（同階無窮小、等價無窮小、高階無窮小、k階無窮?。?，重要的等價無窮?。ㄓ绕渲匾?，一定要爛熟于心）以及它們的重要性質和確定方法P57(例1)P58(例5)習題1－7：1，2，3，42.5－3.5小時函數的連續(xù)性，間斷點的定義與分類（第一類間斷點與第二類間斷點），判斷函數的連續(xù)性（連續(xù)性的四則運算法則，復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性）和間斷點的類型。例1－例5習題1－8：2，3，4，52.5－3.5小時連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性(包括和,差,積,商的連續(xù)性,反函數與復合函數的連續(xù)性,初等函數的連續(xù)性)例4－例8習題1－9：1，2，3，4，52.5－3小時理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質:有界性與最大值最小值定理,零點定理與介值定理(零點定理對于證明根的存在是非常重要的一種方法).

例1－例2，習題1－10：1，2，3，4，53.5小時總復習題一：1，2，8，9，10，11，122小時本章測試題－檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第二章：導數與微分(6天)

一元函數的導數是一類特殊的函數極限，在幾何上函數的導數即曲線的切線的斜率，在力學上路程函數的導數就是速度，導數有鮮明的力學意義和幾何意義以及物理意義。函數的可微性是函數增量和自變量增量之間關系的另一種表達形式。函數微分是函數增量的線性主要部分。日期學習時間復習知識點與對應習題大綱要求日期學習時間復習知識點與對應習題大綱要求第五周2.5－3.5小時定積分的概念與性質(可積存在定理)(定積分的7個性質)

習題5－1：2，3，5，6，7，81．理解原函數概念，理解定積分的概念．

2．掌握定積分的基本公式，掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．

3．會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分．

4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓－萊布尼茨公式．

5．了解廣義反常積分的概念，會計算廣義反常積分．2.5－3.5小時微積分的基本公式積分上限函數及其導數牛頓－萊布尼茲公式例1－例8習題5－2：1－52.5－3.5小時習題5－2：6－122.5－3.5小時定積分的換元法與分布積分法例1－例10習題5－3：12.5－3.5小時習題5－3：2－112.5－3.5小時反常積分無界函數反常積分與無窮限反常積分例1－例5習題：5－4：1－32.5－3.5小時反常積分的審斂法例1－例8習題5－5：1－32.5－3.5小時總復習題五：1－1112，132小時總結本章，做第五章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。第六章：定積分的應用(4天)日期學習時間復習知識點與對應習題大綱要求第六周2.5－3.5小時定積分元素法一元函數積分學的幾何應用（求平面曲線的弧長與曲率，求平面圖形的面積，求旋轉體的體積，求平行截面為已知的立體體積，求旋轉面的面積）例1－例141.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心等）及函數的平均值等．2.5－3.5小時定積分應用的一些計算習題6－2：1－152.5－3.5小時定積分的幾何應用相關計算習題6－2：16－302.5－3.5小時定積分的物理應用（用定積分求引力，用定積分求液體靜壓力，用定積分求功）。綜合題目的求解。

例1－例5習題6－3：1－52.5－3.5小時定積分的物理應用定積分綜合題目求解習題6－3：6－122.5－3.5小時總復習題六：1－92小時總結本章，做第六章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第七章:向量代數和空間解析幾何(4天)

向量的各種運算及與偏導數幾何應用的結合;平面、直線方程的建立及位置關系,曲面、曲線方程在多元函數微積分中的應用。日期學習時間復習知識點與對應習題大綱要求第六周—

第七周2.5－3.5小時向量及其線性運算(向量概念,向量的線性運算,空間直角坐標系,利用坐標作向量的線性運算,向量的模、方向、投影)

例1－例8習題7－1：91.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件.

3.理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.

4.掌握平面方程和直線方程及其求法.

5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題.

6．會求點到直線以及點到平面的距離.

7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.

8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程.

9.了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程.2.5－3.5小時數量積,向量積,混合積(向量的數量積,向量的向量積)

例1－例7習題7－2:3,4,6,9,102.5－3.5小時曲面方程旋轉曲面、柱面、二次曲面。旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程,常用的二次曲面方程及其圖形,空間曲線的參數方程和一般方程,空間曲線在坐標面上的投影曲線方程)例1－例5習題7－3：2.5.6，8，9，102.5－3.5小時空間直線及其方程(空間直線的對稱式方程與參數方程,兩直線的夾角,直線與平面的夾角)例1－例4習題7－4：2，3，5，62.5－3.5小時平面,,平面方程，兩平面之間的夾角例1－例5習題7－5：1，2，3，5，6，92.5－3.5小時直線與直線的夾角以及平行,垂直的條件,點到平面和點到直線的距離,球面,母線平行于坐標軸的柱面例1－例7習題7－6：1－9，11，122.5－3.5小時總復習題七：1，9－212小時總結本章，做第七章單元測試題檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點，還要針對性對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

注意:本計劃對應習題涵蓋在以下教材中:

《高等數學》第五版同濟大學應用數學系主編高等教育出版社

復習計劃使用說明：

(1)學習計劃里有學習時間，章節(jié)后面標注的天數是本章知識內容的限定時間，學習時間是針對復習知識點在大綱中的要求而建議應該使用的復習時間，同學們在學習的時候一定要兩者同時兼顧，平時如果學習時間不夠，可利用周末的時間做調整。

(2)計劃里明確了每章該看的知識點、該做的習題，后面?zhèn)溆写缶V要求，學員要根據大綱要求合理學習知識點。

(3)每章復習結束后都必須做單元測試題，單元測試題是準確把握學員是否按照大綱要求掌握了本章內容。學員在做復習完每章內容后，跟主管咨詢師要本章測試題。測試題做完后一定要把成績反饋給你的主管咨詢師，以便主管咨詢師和教研組老師根據你的復習情況及時調整你的學習方法與內容。

(4)同學們在復習的時候一定要和你周圍的同學、老師多交流學習心得。只有你總結出來的方法才是最適合你的方法。

(5)同學們在復習的過程中肯定要遇到一些疑難問題、做錯的題目，一定要在第一時間把他整理到你的筆記本里，方便的時候可以答疑。

高等數學

第八章：多元函數微分法及其應用(10天)

在一元函數微分學的基礎上，討論多元函數的微分法及其應用，主要是二元函數的偏導數、全微分等概念，計算它們的各種方法及其應用。學習時間復習知識點與對應習題大綱要求2.5－3.5小時多元函數的基本概念（二元函數的極限、連續(xù)性、有界性與最大值最小值定理、介值定理），例1—8，習題8—1：2，3，4，5，6，81．理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2．了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質．

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性．

4．理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法.

5．掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法．

6．會用隱函數的求導法則.

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程．

8．了解二元函數的二階泰勒公式．

9．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題．2.5－3.5小時偏導數(偏導數的概念，二階偏導數的求解)，例1—8，習題8—2：1，2，3，4，6，92.5－3.5小時全微分（全微分的定義，可微分的必要條件和充分條件），例1，2，3，習題8—3：1，2，3，42.5－3.5小時多元復合函數的求導法則（多元復合函數求導，全微分形式的不變性），例1—6，習題8—4：1—122.5－3.5小時隱函數的求導公式（隱函數存在的3個定理），例1—4，習題8—5：1—92.5－3.5小時多元函數微分學的幾何應用（了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程），

例2—7，習題8—6：1—92.5－3.5小時方向導數與梯度（方向導數與梯度的概念與計算），例1—5，習題8—7：1—8，102.5－3.5小時多元函數的極值及其求法（多元函數極值與最值的概念，二元函數極值存在的必要條件和充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值），例1－9，習題8—8：1—102.5－3.5小時二元函數的泰勒公式(n階泰勒公式，拉格朗日型余項)，例1，習題8—9：1，2，33.5小時總復習題八：1—3，5，6，8，11—192小時本章測試題——檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。第九章：重積分(7天)

在一元函數積分學中，定積分是某種確定形式的和的極限，這種和的極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線及曲面上多元函數的情形，便得到重積分、曲線積分及曲面積分的概念，本章主要介紹重積分（包括二重積分和三重積分）的概念、計算方法以及它們的一些應用。學習時間復習知識點與對應習題大綱要求2.5－3.5小時二重積分的概念與性質（二重積分的定義及6個性質），習題9—1：1，4，51.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理．

2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）．

3．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（曲面面積、質量、質心、形心、轉動慣量、引力）．2.5－3.5小時二重積分的計算法（會利用直角坐標、極坐標計算二重積分），例1－6，習題9—2：1，2，4，6，7，8，12，14，15，16)2.5－3.5小時三重積分（三重積分的概念，利用直角坐標、柱面坐標、球面坐標計算三重積分的計算），例1－4，習題9—3：1，2，4—102.5－3.5小時重積分的應用（曲面的面積、質心、轉動慣量、引力），例1—7，習題9—4：2，5，6，8，10，11，142.5－3.5小時總復習題九：1，2，3，6，7，8，9，102小時本章測試題——檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。第十章：曲線積分與曲面積分（8天）

多元函數積分學中三個基本公式是：格林公式、高斯公式及斯托克斯公式，它們分別建立了曲線積分與二重積分、曲面積分與三重積分、曲線積分與曲面積分等的聯系。它們有很強的物理意義即建立了向量的散度與通量、旋度與環(huán)量之間的關系，它們有許多重要的應用，主要是：簡化某些多元函數積分的計算，用格林公式討論平面曲線積分與路徑無關的問題，掌握有關的判斷方法和求全微分的原函數的方法等。學習時間復習知識點與對應習題大綱要求2.5－3.5小時對弧長的曲線積分（弧長的曲線積分的定義，性質及計算），例1、2，習題10—1：1，3，4，51．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系．

2．掌握計算兩類曲線積分的方法.

3．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數．

4．了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用高斯公式，斯托克斯公式計算曲面、曲線積分.

5．了解散度與旋度的概念，并會計算．

6．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、功及流量等）．2.5－3.5小時對坐標的曲線積分（對坐標的曲線積分概念、性質及計算），兩類曲線積分的聯系，例1－5，習題10—2：3—82.5－3.5小時格林公式及其應用（掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數），例1－7，習題10—3：1－62.5－3.5小時對面積的曲面積分（對面積的曲面積分的概念、性質與計算），例1、2，習題10—4：1，4，5，6，7，82.5－3.5小時對坐標的曲面積分（對坐標的曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分之間的聯系），例1－3，習題10—5：3，42.5－3.5小時高斯公式、通量與散度（會用高斯公式計算曲面、曲線積分，散度的概念及計算），例1－5，習題10—6：1，32.5－3.5小時斯托克斯公式、換流量與旋度（會用斯托克斯公式計算曲面、曲線積分，旋度的概念及計算），例1－4，習題10—7：1，22.5－3.5小時總結本章知識點，總復習題十：1－4，6，72小時本章測試題——檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。第十一章：無窮級數（6天）

積分學是微積分的主要部分之一。函數積分學包括不定積分和定積分兩部分。在積分的計算中，分項積分法，分段積分法，換元積分法和分部積分法是最基本的方法。學習時間復習知識點與對應習題大綱要求2.5－3.5小時常數項級數的概念和性質（級數收斂、發(fā)散的定義，收斂級數的基本性質），例1－3，習題11—1：1—41．理解常數項級數收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件．

2．掌握幾何級數與p級數的收斂與發(fā)散的條件．

3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法．

4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法．

5．了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系．

6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念．

7．理解冪級數收斂半徑的概念，掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法．

8．了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和．

9．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件．

10．掌握及的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數．

11．了解傅里葉級數的概念和狄里克雷收斂定理，會將定義在上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和的表達式．2.5－3.5小時常數項級數的審斂法（掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法，掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系），例1－10，習題11—2：1—52.5－3.5小時冪級數（了解函數項級數的收斂域及和函數的概念，理解冪級數收斂半徑的概念，掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和），例1—6，習題11—3：1，22.5－3.5小時函數展開成冪級數（了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件，掌握

及

的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數）例1—6，習題11—4：1—62.5－3.5小時傅里葉級數（了解傅里葉級數的概念和狄里克雷收斂定理，會將定義在

上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在

上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和的表達式），例1－6，習題11—7：1，2，4，5，6，72.5－3.5小時總結本章知識點，總復習題十一：1—122小時本章測試題——檢驗自己是否對本章的復習合格(合格成績?yōu)?0分以上)，如果合格繼續(xù)向前復習，如果不合格總結自己的薄弱點還要針對性的對本章的內容進行復習或者到總部答疑。

第十二章常微分方程(9天)

常微分方程的研究對象就是常微分方程解的性質與求法，本章主要有兩個問題，一是根據實際問題和所給條件建立含有自變量、未知函數及未知函數的導數的方程及相應的初始條件；二是求解方程，包括方程的通解和滿足初始條件的特解。學習時間復習知識點與對應習題大綱要求2.5－3.5小時微分方程的基本概念（微分方程及其階、解、通