新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題1　第1講　函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含解析）

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考情分析1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查函數(shù)的定義域、分段

函數(shù)、函數(shù)圖象的識(shí)別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)

稱性)的綜合應(yīng)用，難度屬于中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)在壓軸題的位置，多與導(dǎo)

數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問(wèn)題相結(jié)合命題.考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示考點(diǎn)二函數(shù)的圖象考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引函數(shù)的概念與表示考點(diǎn)一1.復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.核心提煉√例1即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1).(－2，－1)∪(0，＋∞)由題意知a≠0，①當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化簡(jiǎn)得a2＋3a＋2<0，解得－2<a<－1，又a<0，∴a∈(－2，－1)；②當(dāng)a>0時(shí)，1－a<1,1＋a>1，∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，化簡(jiǎn)得a2＋a＋2>0，解得a∈R，又a>0，∴a∈(0，＋∞)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，－1)∪(0，＋∞).(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.(2)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問(wèn)題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.規(guī)律方法(1)(2022·濰坊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則f(8)等于A.10 B.9 C.7 D.6跟蹤演練1√則f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.下列為“M函數(shù)”的是A.y＝sinxcos

x

B.y＝ln

x＋exC.y＝2x

D.y＝x2－2x√√由題意，得“M函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.B中，函數(shù)y＝ln

x＋ex的值域?yàn)镽，故B是“M函數(shù)”；C中，因?yàn)閥＝2x>0，故C不是“M函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不是“M函數(shù)”.函數(shù)的圖象考點(diǎn)二1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫(huà)出圖象的特點(diǎn).核心提煉(1)(2022·全國(guó)甲卷)函數(shù)y＝(3x－3－x)·cos

x在區(qū)間

上的圖象大致為√例2考向1函數(shù)圖象的識(shí)別方法一

(特值法)方法二

令y＝f(x)，則f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos

x＝－f(x)，所以函數(shù)y＝(3x－3－x)cos

x是奇函數(shù)，排除B，D；(2)(2022·全國(guó)乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－3,3]的大致圖象，則該函數(shù)是√對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，與圖象不符，故排除B；(1)已知函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是√例3考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用方法一

作函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得到函數(shù)f(－x)的圖象，再把函數(shù)f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即得到函數(shù)f(1－x)的圖象，如圖.故選D.方法二

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝所以函數(shù)f(1－x)＝當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)，排除A；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－2，－1)，排除B；當(dāng)x<0時(shí)，1－x>1，f(1－x)＝

<0，排除C.(2)已知函數(shù)f(x)＝

若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則f(x1＋x2＋x3)的取值范圍是A.(0,1] B.[0,1]C.(－∞，1] D.(－∞，1)√作出f(x)的大致圖象如圖，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，自左向右依次排列，由圖可知，x1，x2關(guān)于直線x＝－1軸對(duì)稱，即x1＋x2＝－2，又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2.由圖象知，當(dāng)x>－2時(shí)，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1].(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特殊點(diǎn)排除不符合要求的圖象.(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題.規(guī)律方法

(1)已知圖①中的圖象是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是A.y＝f(|x|)

B.y＝|f(x)|C.y＝f(－|x|)

D.y＝－f(－|x|)跟蹤演練2√圖②中的圖象是在圖①的基礎(chǔ)上，去掉函數(shù)y＝f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分，然后將y軸左側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸右側(cè)，y軸左側(cè)圖象不變得來(lái)的，所以圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是y＝f(－|x|).(2)函數(shù)f(x)＝

的圖象如圖所示，則A.a>0，b＝0，c<0B.a>0，b＝0，c>0C.a<0，b<0，c＝0D.a<0，b＝0，c<0√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)為偶函數(shù)，解得b＝0，由圖象可得分母ax2＋c＝0有解，函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)三1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.核心提煉3.函數(shù)的周期性若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的周期為2|a|.4.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線√例4考向1單調(diào)性與奇偶性∵f(x)＝e|x|－cos

x，∴f(－x)＝e|－x|－cos(－x)＝e|x|－cos

x＝f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ex－cos

x，則f′(x)＝ex＋sinx，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＝ex＋sinx>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，(多選)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x).若

，g(2＋x)均為偶函數(shù)，則A.f(0)＝0 B.C.f(－1)＝f(4)

D.g(－1)＝g(2)√例5√考向2奇偶性、周期性與對(duì)稱性g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，則f(－1)＝f(4)，故C正確；所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f(x)＋C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定f(0)的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.取符合題意的一個(gè)函數(shù)f(x)＝1(x∈R)，則f(0)＝1，排除A；取符合題意的一個(gè)函數(shù)f(x)＝sinπx，則f′(x)＝πcosπx，即g(x)＝πcosπx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故選BC.二級(jí)結(jié)論(2)若f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和x＝b對(duì)稱，則f(x)的周期為2|a－b|.(3)若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x＝b對(duì)稱，則f(x)的周期為4|a－b|.

(1)若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a∈R)為奇函數(shù)，則不等式f(ln

x)<f(|ln

x|)的解集為_(kāi)_____.跟蹤演練3易知f(x)定義域?yàn)镽，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，得a＝－1，∴f(x)＝ex－e－x.∴f(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，又f(ln

x)<f(|ln

x|)，∴l(xiāng)n

x<|ln

x|，∴l(xiāng)n

x<0，∴0<x<1.(0,1)(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則A.－3 B.－2 C.0 D.1√因?yàn)閒(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，

①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故選A.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·哈爾濱檢測(cè))下列既是奇函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是A.y＝sinx

B.y＝ln

x

C.y＝tanx

D.y＝√12345678910111213141516對(duì)于A，y＝sinx是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上有增有減，故不滿足；對(duì)于B，y＝ln

x的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是非奇非偶函數(shù)，故不滿足；對(duì)于C，y＝tanx是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上只有單調(diào)遞增區(qū)間，但不是一直單調(diào)遞增，故不滿足；對(duì)于D，y＝

是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故滿足.2.(2022·西安模擬)設(shè)f(x)＝

若f(x)＝3，則x的值為A.3 B.1

C.－3 D.1或3√當(dāng)x≤3時(shí)，令2x＋1－1＝3，解得x＝1，當(dāng)x>3時(shí)，令log2(x2－1)＝3，解得x＝±3，這與x>3矛盾，∴x＝1.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516即f(x)是奇函數(shù)，A，B不滿足；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，即0<πx<π，則sin(πx)>0，而ex＋e－x>0，因此f(x)>0，D不滿足，C滿足.4.(2022·張家口檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝

，則A.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減C.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)非奇非偶，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增√1234567891011121314151612345678910111213141516由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在R上單調(diào)遞增.5.(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.f(x－1)－1

B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1

D.f(x＋1)＋1√1234567891011121314151612345678910111213141516為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.123456789101112131415166.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則f(99)等于√所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，又由方程f(x)＝1的解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可知，當(dāng)x>0時(shí)，結(jié)合圖象，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，12345678910111213141516又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象也有5個(gè)交點(diǎn)，綜上可得，函數(shù)y＝f(x)與y＝1的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝1的解的個(gè)數(shù)為10.8.(2022·河北聯(lián)考)若函數(shù)f(2x＋1)(x∈R)是周期為2的奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是A.函數(shù)f(x)的周期為4

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱C.f(2021)＝0

D.f(2022)＝012345678910111213141516√12345678910111213141516∵函數(shù)f(2x＋1)(x∈R)是奇函數(shù)，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)?f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故B正確；∵函數(shù)f(2x＋1)(x∈R)的周期為2，∴f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋5)＝f(2x＋1)，∴f(x)的周期為4，故A正確；f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正確；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，無(wú)法判斷f(2)的值，故D錯(cuò)誤.二、多項(xiàng)選擇題9.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是12345678910111213141516√√對(duì)于A，定義域、值域都為(－∞，0)∪(0，＋∞)，滿足題意；對(duì)于B，定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽，不滿足題意；對(duì)于C，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，故3x－1>－1，且3x－1≠0，故y<－1或y>0，故值域?yàn)?－∞，－1)∪(0，＋∞)，不滿足題意；12345678910111213141516定義域、值域都為(－∞，1)∪(1，＋∞)，滿足題意.12345678910111213141516√√12345678910111213141516選項(xiàng)A，函數(shù)D(x)的值域?yàn)閧0,1}，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若D(x0)＝1，則x0∈Q，x0＋1∈Q，則D(x0＋1)＝1，B正確；選項(xiàng)C，D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π?Q，C錯(cuò)誤；12345678910111213141516√√√12345678910111213141516A選項(xiàng)中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B選項(xiàng)中的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)選項(xiàng)均可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，可得c＝0，又函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只能由ax＋b產(chǎn)生，所以函數(shù)f(x)可能沒(méi)有零點(diǎn)，也可能零點(diǎn)是x＝－1,0,1，所以A，B選項(xiàng)可能符合條件；12345678910111213141516而由D選項(xiàng)中的圖象知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(0,1)上，但此種情況不可能存在，所以D選項(xiàng)不符合條件；觀察C選項(xiàng)中的圖象，由定義域猜想c＝1，由圖象過(guò)原點(diǎn)得b＝0，猜想a＝1，可能符合條件.12.已知函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，且對(duì)?x∈R，有f(x)＋f(－x)＝4.當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝x＋2，則下列說(shuō)法正確的是A.8是f(x)的周期

B.f(x)的最大值為5C.f(2023)＝1

D.f(x＋2)為偶函數(shù)√12345678910111213141516√√因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，因?yàn)閷?duì)?x∈R有f(x)＋f(－x)＝4，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)成中心對(duì)稱，所以f(－2＋x＋2)＝f(－2－(x＋2))，即f(x)＝f(－4－x)＝4－f(－x)，又f(－4－x)＋f(x＋4)＝4，即f(－4－x)＝4－f(x＋4)，所以f(x＋4)＝f(－x)，12345678910111213141516所以f((x＋4)＋4)＝f(－(x＋4))＝f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以8是f(x)的周期，故A正確；又f(x＋2)＝f(－x＋2)，故函數(shù)