中考綜合復(fù)習(xí)專題講座(等積變換)剖析

等積變換的基本原理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。不等底但等高的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊的比等底但不等高的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比等積變換的基本圖形第一頁(yè)第二頁(yè)，共28頁(yè)。等積變換的基本圖形第二頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。一.用等積變換作圖根據(jù)等積關(guān)系，可以使某些作圖題較快地得到解答。例1.用三種方法把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形。第三頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。例2.如圖△

ABC，過(guò)A點(diǎn)的中線能把三角形分成面積相同的兩部分。你能過(guò)AB邊上一點(diǎn)E作一條直線EF，使它也將這個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的部分嗎？第四頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。過(guò)梯形中位線中點(diǎn)且與上下底相交的任意直線（西城08一模）如圖，梯形紙片ABCD中，AD∥BC且ABDC.設(shè)AD=a,BC=b.過(guò)AD中點(diǎn)和BC的中點(diǎn)的直線可將梯形紙片ABCD面積分成面積相等的兩部分.請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種方法:

只須用剪子剪一次將梯形紙片ABCD分割成面積相等的二部分，畫出設(shè)計(jì)的圖形并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的分割方法.第五頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。

例3.有一塊形狀如圖的耕地，兄弟二人要把它分成兩等份，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案把它分成所需要的份數(shù)．如果只允許引一條直線，你能辦到嗎？第六頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。

例4有一塊形狀如圖的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案把它分成所需要的份數(shù)．第七頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。第八頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。二.用等積變換比大小比較兩個(gè)圖形的面積大小，常常以求一個(gè)圖形的面積占另一個(gè)圖形面積的幾分之幾的形式出現(xiàn)。例1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)。求△AEF是平行四邊形的幾分之幾？所有空白部分占整個(gè)平行四邊形面積的分?jǐn)?shù)求出來(lái)了,于是陰影部分△AEF的面積所占的分?jǐn)?shù)便是

第九頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。例2.如圖任意ABCD.

求四邊形EFGH與ABCD面積之比.連結(jié)E、D和B、D，第十頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。用等積變換求圖形的面積，是常用的技巧之一。它能使分散的圖形集中，使生疏、麻煩的題目轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的題目。三.用等積變換求面積例1如圖這是個(gè)直角梯形。求陰影部分的面積這道題可以直接解答，也可以把兩個(gè)陰影部分集中，連結(jié)AC，因?yàn)锳B平行于DC，所以△DAE的面積=△CAE的面積，兩個(gè)陰影部分的面積就換成一個(gè)△CAB的面積了。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。例2如圖，已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為b，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上.連結(jié)AG、GE、AE，求第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。例3.如圖，在四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)。如果四邊形ABCD的面積是20，那么BNDM的面積是多少？MDNCBA第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。兩個(gè)白色的四邊形ANCQ、BPDM的面積相等，故有y=x第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。例5四邊形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90度,求ABCD的面積．

如下圖,以BD的垂直平分線為對(duì)稱軸L,做△ABD關(guān)于L的對(duì)稱圖形△BD.連接C．第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。

如圖,在三角形ABD中,當(dāng)AB和CD的長(zhǎng)度相等時(shí),請(qǐng)求出“?”所示的角是多少度,給出過(guò)程．

因?yàn)锳B=CD,于是可以將三角形ABC的邊BA邊與CD對(duì)齊,如圖．圖中有∠ECA=110度,所以∠CED=110度.易證∠CDA=40度.第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。四.用等積變換證題如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，CG是AB邊上的高。證明：CG=DE＋DF。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。已知：如圖，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，以AD為角平分線作兩射線，分別與BC與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E和F，連結(jié)EF。

求證：.第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。又如四中這次提招中有這么一道題,△ABC,D為BC中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D向AB,AC作垂線.BE=2,CF=1,EF//BC.求EF連A,D.由等積關(guān)系易知DF=2DE設(shè)DE=x,則DF=2x由勾股定理易得X=1從而得到EF的平方為5,算出EF.第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在圖1中的位置時(shí)，則有結(jié)論：。

理由：過(guò)點(diǎn)P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2、圖3中的位置時(shí)，上面三個(gè)三角形的面積又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明．第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。（麗水08）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），直線X=2與X軸相交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，拋物線Y=X2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線X=2交于P點(diǎn)，頂點(diǎn)M到點(diǎn)A時(shí)停止移動(dòng)（1）求線段OA所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PMA的面積與△QMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。五.用等積變換來(lái)分割拼圖直角三角形通過(guò)怎樣的剪切可以拼成一個(gè)與之面積相等的矩形？任意的三角形呢？第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。對(duì)任意四邊形，你能設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一