專題21.7二次根式材料閱讀探究大題專題（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題21.7二次根式材料閱讀探究大題專題（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷試題共30題，解答30道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2020春?越城區(qū)校級(jí)月考）點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0）為x軸上的一點(diǎn)．（1）用二次根式表示點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離；（2）當(dāng)x＝4，y=11時(shí)，連接OP、PA，求PA+PO（3）若點(diǎn)P位于第二象限，且滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x+1，求x2【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代數(shù)式進(jìn)行解答．【解析】（1）點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離：(x-（2）∵x＝4，y=11，P（x，y），A（1，0∴P（4，11），∴PA=(4-1)2+(11)2=PA+PO＝25+33（3）∵點(diǎn)P位于第二象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴x2+y2=|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝12．（2019春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）觀察下列等式：①2×4+1=3②3×5+1（1）寫(xiě)出式⑤：6×8+1（2）試用含n（n為自然數(shù)，且n≥1）的等式表示這一規(guī)律，并加以驗(yàn)證．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)解答即可．【解析】（1）式⑤：6×故答案為：6×（2）第n個(gè)等式為(n+1)(n+3)+1=n+2∵n為自然數(shù)，且n≥1，∴(n+1)(n+3)+1=n23．（2019春?沭陽(yáng)縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：3+22=(1+設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b得：a＝m2+3n2，b＝（2）利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：7+43=（2+3）2（3）請(qǐng)化簡(jiǎn)：12【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，從而可用m、n表示a、b；（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案為m2+3n2，2mn；（2）7+43=（2+3）故答案為：（2+3）2（3）∵12﹣63=（3-3）∴12-634．（2020春?昭通期末）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定規(guī)律，如圖是2020年6月份的日歷，我們選擇其中被框起的部分，將每個(gè)框中三個(gè)位置上的數(shù)作如下計(jì)算：92-2×16=81-32=（1）請(qǐng)你再在圖中框出一個(gè)類似的部分并加以驗(yàn)證；（2）請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)以上規(guī)律加以證明．【分析】（1）直接選擇一組數(shù)據(jù)代入計(jì)算得出答案；（2）利用3個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】（1）解：答案不唯一，如：17=289-240=49＝7；（2）證明：設(shè)中間那個(gè)數(shù)為n，則：∵n=n=n=49＝7，∴n2-(n-7)(n+7)5．（2020春?霍邱縣期末）觀察以下等式：第1個(gè)等式：(1第2個(gè)等式：(2第3個(gè)等式：(3第4個(gè)等式：(4…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：（5+1）（6-5）＝55+（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（n+1）（n+1-n）＝nn+1【分析】（1）根據(jù)所給等式可得答案；（2）首先寫(xiě)出第n個(gè)等式，然后再利用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】（1）解：（5+1）（6-5）＝55故答案為：（5+1）（6-5）＝55（2）（n+1）（n+1-n）＝nn證明：∵(∴(n故答案為：（n+1）（n+1-n）＝nn6．（2020秋?三水區(qū)校級(jí)期中）在解決問(wèn)題：“已知a=12-1，求3a2﹣6a∵a=12∴a﹣1=∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．請(qǐng)你根據(jù)小明的解答過(guò)程，解決下列問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：22-（2）若a=13+22，求2a2﹣12a【分析】（1）根據(jù)平方差公式計(jì)算；（2）利用分母有理化把a(bǔ)化簡(jiǎn)，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．【解析】（1）22-5=2(2+5（2）a=13+22=3-2則2a2﹣12a﹣1＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1＝2（a﹣3）2﹣19＝2（3﹣22-3）2﹣＝﹣3．7．（2019秋?郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+2b＝m2+2n2+2∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2b請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+6n2，b＝2mn（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求（3）化簡(jiǎn)：7-【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，從而可用m、n表示a、b（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為m2+6n2，2mn；（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）21+80=20+45則7=7-2=6-2=(=5-8．（2021春?長(zhǎng)興縣月考）閱讀下列材料，解答后面的問(wèn)題：在二次根式的學(xué)習(xí)中，我們不僅要關(guān)注二次根式本身的性質(zhì)、運(yùn)算，還要用到與分式、不等式相結(jié)合的一些運(yùn)算．如：①要使二次根式a-2有意義，則需a﹣2≥0，解得：a≥②化簡(jiǎn)：1+1n2+1(n+1)所以1+1n2+1（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，要使a+23-a=a+2（2）利用①中的提示，請(qǐng)解答：如果b=a-2+2-a+（3）利用②中的結(jié)論，計(jì)算：1+1【分析】（1）根據(jù)二次根式成立的條件求解即可；（2）根據(jù)二次根式成立的條件求出a，b的值，進(jìn)而求解即可；（3）利用②中的結(jié)論求解即可．【解析】（1）由題意得，a+2≥∴﹣2≤a＜3；（2）由題意得，a-∴a＝2，∴b=2-2+2-2+∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11-12）+（1+12-＝1×2020+1-＝2020202020219．（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較7-6和6-5的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢阂?yàn)?+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x-2有最小值2，所以y的最大值是解決下述問(wèn)題：（1）比較32-4和23（2）求y=1+x【分析】（1）利用分母有理化得到32-4=232+4，23-10=223+10，利用3（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到由1+x≥0，x≥0，則x≥0，利用分母有理化得到y(tǒng)=11+x+x，由于x＝0時(shí)，1+x+【解析】（1）∵32-4=23-而32＞23，4＞∴32+4＞23∴32-4＜23（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，而y=1+x∵x＝0時(shí)，1+x+x有最小值∴y的最大值為1．10．（2020春?安慶期中）閱讀材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7-分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較7-6和6-5的大小可以先將它們分子有理化如下：因?yàn)?+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x-2有最小值2．所以利用上面的方法，完成下述兩題：（1）比較15-14和（2）求y=x+1-【分析】（1）先將兩數(shù)變形為115+14、114+（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x≥1，據(jù)此知x+1+x-1有最小值2【解析】（1）15-14-而15＞∴15+∴15-（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，∴x≥1，∵y=x+1當(dāng)x＝1時(shí)，分母x+1+x-∴y=2x+1+x-111．（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：(2+3)(2-3)=1，(5+解決問(wèn)題：（1）4-7的有理化因式可以是4+7，323分母有理化得（2）計(jì)算：①已知x=3+13-1，y=3②11+【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．②原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果．【解析】（1）4-7的有理化因式可以是4+32故答案為：4+7，3（2）①當(dāng)x=3+13y=3-13x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2+3+2-3）2﹣2×（2+3＝16﹣2×1＝14．②原式=2-=2000＝205-112．（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12-1，求3a2﹣6a∵a=12∴a﹣1=2∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：23-（2）若a=13+22，求2a2﹣12【分析】（1）分子、分母都乘以3+7（2）將a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，據(jù)此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入計(jì)算可得答案．【解析】（1）23-7=（2）∵a=13+22=3-2∴a﹣3＝﹣22，∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，∴a2﹣6a＝﹣1，∴2a2﹣12a＝﹣2，則2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．13．（2020春?曲阜市期末）“雙劍合璧，天下無(wú)敵”，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．在二次根式中也常有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：（2+3）（2-3）＝1，(5+2)(5-像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化．解決下列問(wèn)題：（1）將12分母有理化得22；2+1的有理化因式是2（2）化簡(jiǎn)：25+3=（3）化簡(jiǎn)：12【分析】（1）分子、分母都乘以2即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；（2）分子、分母都乘以5-（3）原式變形為2-1+【解析】（1）12（2+1）（2-1）＝（2）2﹣12＝2﹣1＝1，即2+1的有理化因式是故答案為：22，2-（2）25故答案為：5-（3）原式=2-=100＝10﹣1＝9．14．（2019秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）材料一：《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高惟，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．材料二：恒等變形是代數(shù)式求值的一個(gè)很重要的方法．利用恒等變形，可以把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算，可以把次數(shù)較高的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的代數(shù)式．例如當(dāng)x=3+1時(shí)，求12x方法一：將條件變形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代數(shù)式變形為關(guān)于（x﹣1）的表達(dá)式．原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2﹣3x]+2=12方法二：先將條件化成整式，再把等式兩邊同時(shí)平方，把無(wú)理數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)運(yùn)算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2請(qǐng)參照以上的解決問(wèn)題的思路和方法，解決以下問(wèn)題：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+3（2）已知x=2+3，求x【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，對(duì)所求式子變形即可解答本題；（2）根據(jù)題目中的例子，對(duì)所求式子變形即可解答本題．【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+1a∴2a3﹣5a2﹣3+＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+＝﹣2a﹣1+3a﹣3+＝a﹣4+＝3﹣4＝﹣1；（2）∵x＝2+3∴x﹣2=3∴x=x=3=3=3=3x(x-2)+15(x-2)-6-21=3=3=9-6=315．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=∴a-2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：25（2）若a=12-1，求代數(shù)式a（a【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；（2）先化簡(jiǎn)a，即可得到a﹣1的值，從而可以求得所求式子的值．【解析】（1）25（2）∵a=1∴a﹣1=2∴a（a﹣1）＝（2+1）＝2+216．（2019?灤南縣一模）在解決問(wèn)題“已知a=12+3，求2a2﹣8∵a=12+∴a﹣2=-3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：2（2）若a=12-1，求3a2﹣6a【分析】（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；（2）將a分母有理化得a=2+1，移項(xiàng)并平方得到a2﹣2a＝【解析】（1）2=2(=5（2）∵a==2+∴a﹣1=2∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．17．（2020春?廬江縣期末）觀察下列等式：回答問(wèn)題：①1+112+1②1+122+③1+132+1（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，猜想1+142+1（2）請(qǐng)按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫(xiě)出用n表示的等式；（3）驗(yàn)證你的結(jié)果．【分析】根據(jù)觀察，可得規(guī)律：1+1n2【解析】（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，猜想1+142故答案為：1120（2）1+1n2（3）1+=[n(n+1)=n(n+1)+1=n(n+1)+(n+1)-n＝1+118．（2019秋?淮陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的文字再回答問(wèn)題甲、乙兩人對(duì)題目：“化簡(jiǎn)并求值：2a+1a甲的解答是：2a+1a2乙的解答是2a+1a（1）填空：乙的解答是錯(cuò)誤的；（2）解答錯(cuò)誤的原因是未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)？請(qǐng)用含字母a的式子表示這個(gè)性質(zhì)（3）請(qǐng)你正確運(yùn)用上述性質(zhì)解決問(wèn)題：當(dāng)3＜x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)x【分析】根據(jù)已知材料，讀懂材料，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【解析】（1）乙的做法錯(cuò)誤．當(dāng)a=14時(shí)，1a故答案為：乙（2）當(dāng)a＜0時(shí)，a2（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．x2-14x+49+(2x-5)2=(x19．（2020秋?榆林月考）閱讀下列解題過(guò)程：15（1）觀察上面的解題過(guò)程，化簡(jiǎn)：①413-3（2）利用上面提供的解法，請(qǐng)計(jì)算：(1【分析】（1）觀察閱讀材料的解題過(guò)程，實(shí)質(zhì)是二次根式的分母有理化，因此解答（1）題的關(guān)鍵是找出分母的有理化因式．（2）先將第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的各式分母有理化，此時(shí)發(fā)現(xiàn)除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，每?jī)身?xiàng)都互為相反數(shù)，由此可求出第一個(gè)括號(hào)內(nèi)各式的和，再求和第二個(gè)括號(hào)的乘積即可．【解析】（1）①413-3②1n（2）(=13（5-=13（3n+2-＝n．20．（2019秋?青島期中）我們已經(jīng)知道，形如ca例如：32-下面我們來(lái)看看完全平方公式在無(wú)理數(shù)化簡(jiǎn)中的作用．問(wèn)題提出：7+43建立模型：形如m±2n的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣(a)2問(wèn)題解決：化簡(jiǎn)7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝即（(4)2+(∴7+4模型應(yīng)用1：利用上述解決問(wèn)題的方法化簡(jiǎn)下列各式：（1）3+22；（2）11模型應(yīng)用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-3，AC=3，那么【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出即可；（2）先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出即可；（3）根據(jù)勾股定理求出即可．【解析】（1）這里m＝3，n＝2，由于1+2＝3，1×2＝2，即12+(所以3+22（2）首先把11-46化為11-224，這里m＝11，n＝24，由于3+8＝11，即(3)2所以11（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2所以，(所以，BC=16-821．（2019秋?永安市期中）閱讀下列解題過(guò)程：12+1=2-1(則：（1）110+9=（2）觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出式子1n-n-1=（3）利用這一規(guī)律計(jì)算：（12+1+1【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以求得所求式子的值；（2）根據(jù)題目中的例子，可以寫(xiě)出所求式子的值；（3）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以求得所求式子的值．【解析】（1）110+故答案為：=10-（2）1n故答案為：n+（3）（12+1+1＝（2-1+3-2＝（2019-1）（2019+＝2019﹣1＝2018．22．（2021春?安寧市校級(jí)期中）閱讀下面問(wèn)題：121314試求：（1）求17+6=（2）當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)1n+1+n=（3）11+【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以將所求式子化簡(jiǎn)；（2）根據(jù)題目中的例子，可以將所求式子化簡(jiǎn)；（3）先將所求式子變形，然后計(jì)算即可．【解析】（1）17故答案為：7-（2）1n+1故答案為：n+1-（3）1=2-1=100＝10﹣1＝9．23．（2020春?惠城區(qū)期末）觀察下列各式及其驗(yàn)算過(guò)程：2+23=223，驗(yàn)證：3+38=338，驗(yàn)證：（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想4+4（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【分析】（1）利用已知，觀察2+23=223，3+3（2）由（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結(jié)出一般規(guī)律；【解析】（1）∵2+23=223，∴4+415=44驗(yàn)證：4+4（2）由（1）中的規(guī)律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴n+n驗(yàn)證：n+n24．（2018春?五蓮縣期中）小明在解決問(wèn)題：已知a=12+3，求2a2﹣8a+12-3∴a﹣2=-∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)1（2）若a=12-1，①求4a2﹣8②直接寫(xiě)出代數(shù)式的值a3﹣3a2+a+1＝0；2a2﹣5a+1a+2＝【分析】（1）將原式分母有理化即可；（2）將a分母有理化，化簡(jiǎn)為2+1，代入①，②【解析】（1）原式=12×=12×（=1＝5；（2）①∵a=2∴4a2﹣8a+1＝4×(2+1)2-8＝5；②a3﹣3a2+a+1=(2+1)3-3＝7+52-（9+62）＝0；2a2﹣5a+1＝2×(＝2；故答案為：0，2．25．（2018秋?新羅區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+b請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：4+23=（1+13）2（3）化簡(jiǎn)：14+65=3+【分析】（1）模仿例題可以解決問(wèn)題；（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；（答案不唯一）（3）根據(jù)14+65=（3+5）【解析】（1）∵a+b3=（m+n3）2∵a+b3=m2+2mn3+3n∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案為m2+3n2，2mn．（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；∴4+23=（1+3故答案為：4，2，1，1；（3）∵14+65=（3+5）∴14+65=3故答案為3+526．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣可以把部分請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：21+45=（1+25）2（3）化簡(jiǎn)1【分析】（1）將（m+n3）2用完全平方公式展開(kāi)，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設(shè)a+b5=(m+n5)2，則(m+n5)2=m2+2mn5+5n2，比較完全平方式右邊的值與a+b5，可將