基于離散卡爾曼濾波的信號(hào)估計(jì)

基于離散卡爾曼濾波的信號(hào)波形估計(jì)背景介紹研究背景在實(shí)際中，我們所觀測(cè)的信號(hào)都是受到噪聲干擾的。如何盡可能地抑制噪聲，而把有用信號(hào)別離出來，是信號(hào)處理中經(jīng)常遇到的問題。二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要，首先由數(shù)學(xué)家維納提出的。維納濾波需要設(shè)計(jì)維納濾波器，它的求解要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，即相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，得到的結(jié)果是封閉的解。但是維納濾波的限制是，它僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，這是由于采用頻率設(shè)計(jì)方法造成的。20世紀(jì)50年代，隨著空間技術(shù)的開展，為了解決多輸入、多輸出非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的估計(jì)問題，卡爾曼于1960年采用狀態(tài)方程和觀測(cè)方程描述系統(tǒng)的信號(hào)模型，提出了離散狀態(tài)估計(jì)的一組地推公式，即卡爾曼濾波公式。其根本思想是以最小均方誤差為最正確估計(jì)準(zhǔn)那么，采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。算法根據(jù)建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿足最小均方誤差的估計(jì)。由于卡爾曼濾波采用的遞推算法非常適合計(jì)算機(jī)處理，所以現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于包括信號(hào)處理、圖像處理、雷達(dá)目標(biāo)跟蹤、模式識(shí)別等許多領(lǐng)域，并取得了很好效果。1.2研究現(xiàn)狀經(jīng)典卡爾曼濾波是一種時(shí)域?yàn)V波方法，算法采用遞推形式，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小，運(yùn)算速度快。但是經(jīng)典卡爾曼濾波在實(shí)際應(yīng)用中同樣受到限制。卡爾曼濾波最優(yōu)算法是建立在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)函數(shù)模型能夠準(zhǔn)確表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀況和隨機(jī)模型能夠準(zhǔn)確表達(dá)系統(tǒng)測(cè)量誤差分布的假設(shè)根底上，從而能夠得到其最優(yōu)估計(jì)。然而在很多動(dòng)態(tài)模型中，系統(tǒng)并非線性的，因此人們提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波。包括：擴(kuò)維無跡卡爾曼濾波，自適應(yīng)卡爾曼濾波等。擴(kuò)維無跡卡爾曼濾波(Unscented

KalmanFilter,UKF),它是在以無跡變換(Unscented

Transformation,UT)為根底,借用卡爾曼線性濾波框架而建立起來的。它直接利用非線性狀態(tài)方程來估算狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)。但是,簡(jiǎn)單的UKF在面對(duì)系統(tǒng)中的噪聲影響較大時(shí)不能得到精確的濾波結(jié)果,

改良的無跡卡爾曼濾波算法那么是在初始狀態(tài)中引入過程噪聲和測(cè)量噪聲,使得采樣點(diǎn)也包括了這些噪聲,這樣在狀態(tài)預(yù)測(cè)和更新過程中,噪聲的影響就能夠在非線性系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸和估計(jì),使得濾波信號(hào)更好地接近真實(shí)值,尤其是當(dāng)信號(hào)的系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲影響較大時(shí)。自適應(yīng)卡爾曼濾波〔AKF〕具有自適應(yīng)特性非常適合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)濾波而受到廣泛重視，因此在采用卡爾曼濾波處理動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，一般都要考慮采取適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)濾波方法來解決這一問題。1.3本文主要內(nèi)容本文的主要研究思路和結(jié)構(gòu)如下：第1章主要介紹了卡爾曼濾波的研究背景、分析其研究現(xiàn)狀。第2章主要介紹了經(jīng)典卡爾曼濾波理論和算法設(shè)計(jì)過程，包括卡爾曼濾波的主要特點(diǎn)和性質(zhì)，時(shí)間更新方程和測(cè)量更新方程，卡爾曼濾波的遞推算法等。第3章那么是基于MATLAB的軟件仿真分析，主要討論了有脈沖噪聲和無脈沖噪聲的信號(hào)波形估計(jì)，并討論了估計(jì)波形的最小均方誤差〔mse〕和脈沖噪聲出現(xiàn)概率得到關(guān)系。原理簡(jiǎn)述2.1系統(tǒng)模型離散卡爾曼濾波的信號(hào)模型是由離散的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程組成的。其是建立在線性代數(shù)和隱馬爾可夫模型〔HiddenMarkovModel)上。其根本系統(tǒng)可以用一個(gè)馬爾可夫鏈表示，該馬爾可夫鏈建立在一個(gè)被高斯噪聲干擾的線性算子上的。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個(gè)元素為實(shí)數(shù)的向量表示。隨著離散時(shí)間的增加，這個(gè)算子就會(huì)作用在當(dāng)前狀態(tài)上，產(chǎn)生一個(gè)新的狀態(tài)，并也會(huì)帶入一些噪聲，同時(shí)系統(tǒng)的一些的控制信息也會(huì)被參加。同時(shí)，另一個(gè)受噪聲干擾的線性算子產(chǎn)生出這些隱含狀態(tài)的可見輸出。設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)在tk時(shí)刻〔以下簡(jiǎn)稱k時(shí)刻〕的狀態(tài)是由M個(gè)狀態(tài)變量構(gòu)成的M維狀態(tài)矢量sk來描述的，〔2-1〕在離散卡爾曼濾波的信號(hào)模型中，上式稱為離散狀態(tài)方程。其中Φk,k-1是系統(tǒng)從k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的M*M一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，wk-1是k-1時(shí)刻系統(tǒng)受到的L維擾動(dòng)噪聲矢量，Γk-1是k-1另外建立其觀測(cè)方程為〔2-2〕式中，xk是k時(shí)刻的N維觀測(cè)信號(hào)矢量，Hk是k時(shí)刻的N*M觀測(cè)矩陣，nk是k系統(tǒng)模型圖如下所示：圖2.1離散卡爾曼濾波的信號(hào)模型2.2離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波是系統(tǒng)狀態(tài)矢量的一種遞推估計(jì)。為了能從k=1時(shí)刻開始遞推計(jì)算，需要確定初始狀態(tài)的濾波值和初始狀態(tài)濾波的均方誤差陣。初始狀態(tài)濾波值確實(shí)定應(yīng)使?fàn)顟B(tài)濾波的均方誤差〔2-3〕最小。為此，令〔2-4〕那么可得。在進(jìn)行觀測(cè)前，選擇的是某個(gè)常值矢量，于是有〔2-5〕即選擇初始時(shí)刻狀態(tài)矢量的均值作為初始狀態(tài)濾波值。因?yàn)椤?-6〕所以，初始狀態(tài)濾波的均方誤差陣為〔2-7〕在確定初始值之后，利用離散卡爾曼濾波的時(shí)間更新方程和測(cè)量更新方程，可以完成系統(tǒng)的更新。時(shí)間更新方程負(fù)責(zé)及時(shí)向前推算當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估計(jì)的值，以便為下一個(gè)時(shí)間狀態(tài)構(gòu)造先驗(yàn)估計(jì)。測(cè)量更新方程負(fù)責(zé)反應(yīng)——也就是說，它將先驗(yàn)估計(jì)和新的測(cè)量變量結(jié)合以構(gòu)造改良的后驗(yàn)估計(jì)。時(shí)間更新方程也可視為預(yù)估方程，測(cè)量更新方程可視為校正方程。最后的估計(jì)算法成為一種具有數(shù)值解的預(yù)估－校正算法。離散卡爾曼濾波的時(shí)間更新方程為〔2-8〕〔2-9〕其中，是后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)，是上一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)，為噪聲估計(jì)，A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，B為系統(tǒng)控制矩陣。是k時(shí)刻的均方誤差矩陣。離散卡爾曼濾波的卡爾曼增益為〔2-10〕其中，是k時(shí)刻的卡爾曼增益矩陣，是觀測(cè)矩陣，那么代表協(xié)方差矩陣?？柭鲆嬗糜趯?duì)之后的測(cè)量方程進(jìn)行更新。離散卡爾曼濾波的測(cè)量更新方程為〔2-11〕〔2-12〕測(cè)量更新方程的更新值用于在卡爾曼濾波中為下一次迭代設(shè)置初始值。所以，離散卡爾曼濾波是以不斷的預(yù)測(cè)-修正的遞推方式進(jìn)行的。離散卡爾曼濾波的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)框圖如下所示：圖2.2離散卡爾曼濾波的一步預(yù)測(cè)框圖2.3離散卡爾曼濾波的預(yù)測(cè)、濾波和平滑卡爾曼濾波問題就是基于到時(shí)刻k的觀測(cè)量，求狀態(tài)的最優(yōu)估值，根據(jù)、和在時(shí)間上存在的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以將其分為卡爾曼濾波器、預(yù)測(cè)器或平滑器。假定是在時(shí)間段內(nèi)獲得的量測(cè)值，為變量的狀態(tài)估計(jì)值，那么(1)時(shí)，根據(jù)過往直到此刻的量測(cè)值來估計(jì)目前的狀態(tài)，那么對(duì)的估計(jì)稱為濾波。這就是卡爾曼濾波器，主要用于實(shí)時(shí)控制隨機(jī)系統(tǒng)。(2)時(shí)，根據(jù)過往直到此刻的量測(cè)值來預(yù)測(cè)將來的狀態(tài)，那么對(duì)的估計(jì)稱為預(yù)測(cè)。這就是卡爾曼預(yù)測(cè)器，主要用于預(yù)測(cè)并實(shí)時(shí)控制隨機(jī)系統(tǒng)。(3)時(shí)，根據(jù)過往直到此刻的量測(cè)值來估計(jì)過往的歷史狀態(tài)，那么對(duì)的估計(jì)稱為平滑。這就是卡爾曼平滑器，主要通過分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來評(píng)估系統(tǒng)。在以上的這三類問題中，預(yù)測(cè)為濾波的前提，而濾波為平滑的前提。這個(gè)關(guān)系在卡爾曼濾波方程中也有所表達(dá)。2.4離散卡爾曼濾波的特點(diǎn)離散卡爾曼濾波具有如下主要特點(diǎn)：〔1〕離散卡爾曼濾波的信號(hào)模型是由狀態(tài)方程和觀測(cè)方程描述的；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、觀測(cè)矩陣和控制矩陣可以是時(shí)變的；擾動(dòng)噪聲矢量、觀測(cè)噪聲矢量的協(xié)方差矩陣和也是時(shí)變的。因此，離散卡爾曼濾波適用于矢量的非平穩(wěn)隨機(jī)過程的狀態(tài)估計(jì)。〔2〕離散卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)采用遞推估計(jì)算法，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量少，運(yùn)算量小，特別是防止了高階矩陣的求逆問題，提高了運(yùn)算效率?！?〕由于離散卡爾曼濾波的增益矩陣與觀測(cè)數(shù)據(jù)無關(guān)，所以有可能離線算出，從而減少實(shí)時(shí)的在線計(jì)算量，提高了實(shí)時(shí)處理能力?！?〕離散卡爾曼濾波不盡能夠同時(shí)得到狀態(tài)濾波值和狀態(tài)一步預(yù)測(cè)值，而且同時(shí)得到狀態(tài)濾波的均方誤差陣和狀態(tài)一部預(yù)測(cè)的均方誤差陣，它們是狀態(tài)的濾波和狀態(tài)地一步預(yù)測(cè)的精度指標(biāo)。仿真分析本文針對(duì)不同噪聲情況下的合成信號(hào)進(jìn)行了信號(hào)波形估計(jì)，并討論了不同脈沖噪聲出現(xiàn)概率下，離散卡爾曼濾波信號(hào)波形估計(jì)的均方誤差值。3.1無脈沖噪聲時(shí)的信號(hào)估計(jì)圖仿真設(shè)定SNR=10dB，噪聲為加性高斯白噪聲，誤差常量為。其仿真結(jié)果圖如下所示圖3.1無脈沖噪聲時(shí)的三信號(hào)波形圖圖中，綠色波形為信號(hào)和噪聲的合成波形，紅色波形為信號(hào)估計(jì)波形，藍(lán)色波形為原始信號(hào)波形?？梢杂^察到，相較于綠色的合成波形，紅色的估計(jì)波形對(duì)于原始信號(hào)的估計(jì)有了很大的提高。為了方便觀察，單獨(dú)提取估計(jì)波形和原始信號(hào)波形如下圖3.2無脈沖噪聲時(shí)的原始與估計(jì)信號(hào)波形從圖中可以觀察到，使用離散卡爾曼濾波的估計(jì)信號(hào)波形和原始信號(hào)波形匹配程度較高。此時(shí)的均方誤差值mse=0.1639。3.2有脈沖噪聲時(shí)的信號(hào)估計(jì)圖在無脈沖噪聲的根底上，信號(hào)疊加了SINR=-15dB的脈沖噪聲。該脈沖噪聲服從伯努利-高斯分布。設(shè)定脈沖出現(xiàn)概率p=0.05。仿真結(jié)果圖如下圖3.3有脈沖噪聲時(shí)的三信號(hào)波形圖從圖中可以明顯看到，在存在脈沖噪聲的取樣點(diǎn)處，信號(hào)估計(jì)值和原始信號(hào)值有較大的偏差。為了方便觀察，截取無合成信號(hào)的波形圖如下圖3.4有脈沖噪聲時(shí)的原始和估計(jì)信號(hào)波形圖在脈沖噪聲產(chǎn)生點(diǎn)處。估計(jì)的信號(hào)波形嚴(yán)重失真，計(jì)算其均方誤差為mse=1.7577