外測(cè)度的性質(zhì)與計(jì)算小結(jié)

外測(cè)度的性質(zhì)與計(jì)算Thepropertiesandcalculationoftheoutermeasure姓名：學(xué)號(hào)：學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：完成時(shí)間：外測(cè)度的性質(zhì)與計(jì)算【摘要】Lebesgue外測(cè)度是Lebesgue積分的根底,本論文主要論述了它的一些性質(zhì)及相關(guān)的計(jì)算.首先,給出了Lebesgue外測(cè)度的定義；接著,指出和證明了外測(cè)度具有的非負(fù)性、單調(diào)性、次可數(shù)可加性、距離可加性、平移不變性這五大主要性質(zhì)；同時(shí)給出了外測(cè)度的介值定理和一些其他的性質(zhì),并討論了在一般情況下,外測(cè)度不具備可數(shù)可加性；然后討論了可數(shù)集的外測(cè)度的性質(zhì),著重寫(xiě)出可數(shù)集的外測(cè)度具有可數(shù)可加性；最后是與外測(cè)度計(jì)算相關(guān)的一些例題.【關(guān)鍵詞】Lebesgue外測(cè)度，次可數(shù)可加性，距離可加性。Thepropertiesandcalculationoftheoutsidemeasure【abstract】Lebesgueoutermeasureisthebaseoflebesgueintegral,thisthesismainlydiscussessomepropertiesanditsrelatedcalculation.Atfirst,givethedefinitionofLebesgueoutermeasure;thenpointedoutandprovedtheoutermeasurehasnonnegative,monotonicityandsecondcountableadditiveproperty,distanceadditiveproperty,translationinvariantproperty,thefivemainproperties;Italsogivestheoutermeasuremeanvaluetheoremandsomeotherproperties,anddiscussesthepropertiesunderthemeaningofgeneralpointsets,theoutermeasuredoesnothavecountableadditiveproperty.Thendiscussedthepropertyofoutermeasureofcountableset,andemphaticallywritethatoutermeasureofcountablesethascountadditiveproperty.Andthelastissomeexamplesaboutoutermeasurecomputation.【keywords】Lebesgueoutermeasure,Secondcountableadditiveproperty,Distanceadditiveproperty目錄1引言……………12Lebesgue外測(cè)度的定義……………………13一般集的外測(cè)度的性質(zhì)……………………23.1非負(fù)性…………………23.2單調(diào)性…………………23.3次可數(shù)可加性………………………23.4距離可加性…………23.5平移不變性…………43.6對(duì)外測(cè)度有限可加性及可數(shù)可加性的研究…………………43.7外測(cè)度的介值定理…………………63.8外測(cè)度的其他性質(zhì)…………………74可測(cè)集的外測(cè)度……………85外測(cè)度的計(jì)算………………106小結(jié)…………………………11參考文獻(xiàn)…………………………12外測(cè)度的性質(zhì)與計(jì)算1引言在19世紀(jì)時(shí),數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到,僅有連續(xù)函數(shù)與Riemann積分的古典理論已缺乏以解決數(shù)學(xué)分析中的許多問(wèn)題,為了克服Riemann積分在理論上的局限性,必須改造原有的積分定義,建立一種新型積分.19世紀(jì)下半葉,不少分析學(xué)家進(jìn)行一系列擴(kuò)充長(zhǎng)度和面積概念的探索,逐漸形成測(cè)度概念,1898年,Borel建立了一維Borel點(diǎn)集的測(cè)度,法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue在1902年他的博士論文《長(zhǎng)度、面積和積分》中系統(tǒng)的建立了測(cè)度論,并成功的建立起新的積分理論--Lebesgue積分〔1915年,法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇提出在一般代數(shù)上建立測(cè)度,開(kāi)始創(chuàng)立抽象測(cè)度理論,1918年,意大利數(shù)學(xué)家Caratheodory關(guān)于外測(cè)度的研究,對(duì)于現(xiàn)代形式測(cè)度理論的形成起了關(guān)鍵作用.〕.Riemann積分無(wú)視了函數(shù)的變化而只從定義域方面劃分小區(qū)域來(lái)構(gòu)造積分和,這樣做的結(jié)果是將大量的函數(shù)排除在Riemann可積函數(shù)類(lèi)之外；Lebesgue積分不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函數(shù)值域著手構(gòu)造積分和.例設(shè)在上有界,滿(mǎn)足,作分割令，那么對(duì)應(yīng)于上面分割的積分和為,其中為點(diǎn)集的長(zhǎng)度,這種積分的優(yōu)點(diǎn)在于可以取很小,使得積分和的近似程度很高,它將積分對(duì)象從Riemann可積函數(shù)類(lèi)擴(kuò)充到更大一類(lèi)函數(shù)——可測(cè)函數(shù)類(lèi).積分和計(jì)算的關(guān)鍵是點(diǎn)集的度量，對(duì)于通常的區(qū)間的度量就是區(qū)間的長(zhǎng)度或體積，而對(duì)于一般的點(diǎn)集的度量就不是一件簡(jiǎn)單的事情，它涉及到在中如何建立一般點(diǎn)集的一種度量方案，這就是Lebesgue外測(cè)度與測(cè)度理論。Lebesgue外測(cè)度是對(duì)中一般的點(diǎn)集E給出的一種度量,是長(zhǎng)度、面積和體積等概念的推廣,是Lebesgue積分的基石,所以對(duì)其性質(zhì)和計(jì)算的研究是非常重要的,下文即是對(duì)Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)與計(jì)算的一些研究.2Lebesgue外測(cè)度的定義定義1我們稱(chēng)n維空間Rn中的點(diǎn)集為開(kāi)區(qū)間,其中為常數(shù)〔因此空集也是開(kāi)區(qū)間,此時(shí)需某〕.當(dāng)滿(mǎn)足的條件分別改為和時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)集分別稱(chēng)為閉區(qū)間和左開(kāi)右閉區(qū)間.而數(shù)稱(chēng)為這三種區(qū)間的體積,記作.設(shè)ERn,假設(shè){IK}是Rn中可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間,使得k,那么稱(chēng){IK}是E的一個(gè)可數(shù)開(kāi)覆蓋,顯然,E的每一個(gè)可數(shù)開(kāi)覆蓋的體積和確定了一個(gè)非負(fù)廣義數(shù)〔即可取有限數(shù)或+〕.定義2稱(chēng)為點(diǎn)集E的Lebesgue外測(cè)度,簡(jiǎn)稱(chēng)外測(cè)度,記作m*E.注：上述定義中E的開(kāi)覆蓋中開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)可以是有限的,因?yàn)榭梢匀∽骺占?3一般集的外測(cè)度的性質(zhì)3.1非負(fù)性定理1非負(fù)性：,?=0證明由定義可直接推出.3.2單調(diào)性定理2單調(diào)性：假設(shè),那么證明設(shè){IK}是E2的可數(shù)開(kāi)覆蓋,那么它也是E1的可數(shù)開(kāi)覆蓋.因此3.3次可數(shù)可加性定理3次可數(shù)可加性：〔〕證明對(duì)于任意及每一正整數(shù)k,由外測(cè)度定義,存在的可數(shù)開(kāi)覆蓋,使得,,，由此得,即是的可數(shù)開(kāi)覆蓋,從而有，由的任意性,得3.4距離可加性定理4距離可加性：設(shè)E1,E2是Rn中的點(diǎn)集,假設(shè)它們的距離，那么分析由次可加性,對(duì)Rn中任意兩個(gè)點(diǎn)集E1和E2,總有因此只需證明由外測(cè)度定義,如果的任意可數(shù)開(kāi)覆蓋,能夠分解為E1和E2的開(kāi)覆蓋,而且這兩個(gè)開(kāi)覆蓋中沒(méi)有公共區(qū)間即可.顯然這點(diǎn)一般是做不到的,但是由于E1和E2之間有正距離,所以當(dāng)我們選擇的開(kāi)覆蓋,使其中的區(qū)間充分小時(shí),分解成E1和E2的沒(méi)有公共開(kāi)區(qū)間的開(kāi)覆蓋就能做到.引理1設(shè),對(duì)任意正數(shù),令那么有證明：由于邊長(zhǎng)小于的區(qū)間所構(gòu)成的開(kāi)覆蓋是E的開(kāi)覆蓋的一局部,故.下證不妨設(shè).由外測(cè)度定義,對(duì)任意,存在E的可數(shù)開(kāi)覆蓋,使得對(duì)每個(gè)k,把IK分割成個(gè)開(kāi)區(qū)間：它們互不相交且每個(gè)開(kāi)區(qū)間的邊長(zhǎng)都小于.現(xiàn)保持每個(gè)的中心不動(dòng),邊長(zhǎng)擴(kuò)大倍作出新的開(kāi)區(qū)間,記為.顯然對(duì)每個(gè)k,有,易知是E的邊長(zhǎng)小于的可數(shù)開(kāi)覆蓋,且有從而可知令,由的任意性,得因此外測(cè)度距離可加性的證明：由分析可知,只需證明,設(shè).對(duì)任意,由引理1,作得可數(shù)開(kāi)覆蓋,使得其中每個(gè)Ik的邊長(zhǎng)都小于.顯然可將分為兩組和使得由于Ik的邊長(zhǎng)都小于,故Ik的直徑小于,因此以上兩組開(kāi)區(qū)間中的每個(gè)開(kāi)區(qū)間不能同時(shí)含有E1和E2中的點(diǎn),從而再由的任意性,即得。距離可加性得證.3.5平移不變性定理5平移不變性：設(shè)E,,令E+,那么證明：由開(kāi)區(qū)間的性質(zhì)可知,對(duì)任意的開(kāi)區(qū)間,有,于是對(duì)于E的任意覆蓋,經(jīng)平移后是E+{}的一個(gè)覆蓋,從而有故 ，又E++=E可得。命題得證。3.6對(duì)外測(cè)度有限可加性及可數(shù)可加性的研究有限可加性：當(dāng)?時(shí),可數(shù)可加性：當(dāng)時(shí),顯然,可數(shù)可加性蘊(yùn)含有有限可加性.由距離可加性可以知道,如果,是中點(diǎn)集,假設(shè)它們的距離，那么對(duì)任意假設(shè),有即當(dāng)點(diǎn)集間滿(mǎn)足正距離時(shí),它們的外測(cè)度有可加性,如果沒(méi)有正距離的條件時(shí),外測(cè)度是否仍然有可加性呢？對(duì)于開(kāi)區(qū)間中的任意點(diǎn)x,令，由于,故Rx非空.引理2對(duì)任意,或者,或者證明設(shè),那么a-x,a-y都是有理數(shù).于是對(duì)任意也是有理數(shù),故,所以,同理可證,所以命題得證.顯然,,其中有些Rx與Ry是相等的,由于每個(gè)Rx都是可數(shù)集,所以分解為不可數(shù)個(gè)互不相交的這樣的Rx的并,從每個(gè)Rx中選取一個(gè)元素構(gòu)成集合W.由于,故.記內(nèi)所有的有理數(shù)為.令顯然,由外測(cè)度的平移不變性,引理3對(duì)上面構(gòu)造的Wn,有以下性質(zhì)當(dāng)時(shí),證明(1)假設(shè),設(shè),那么,，所以為有理數(shù),故為同一個(gè)Rx中的元素,由W的作法知,,那么,與矛盾.〔2〕對(duì)任意,設(shè),那么是有理數(shù),且.于是存在正整數(shù)m,使.從而所以定理6Lebesgue外測(cè)度不具備有限可加性和可數(shù)可加性.證明設(shè),那么.假設(shè)a=0,由于,由次可加性有矛盾,故a>0.如果外測(cè)度是有限可加的,那么，但，所以，故上式對(duì)一切N成立,矛盾.所以外測(cè)度不具有有限可加性,將上面證明中的N改為,那么可證外測(cè)度不具有可數(shù)可加性。3.7外測(cè)度的介值定理外測(cè)度的介值定理：設(shè)E為實(shí)直線(xiàn)的有界子集,,那么對(duì)任意小于的正數(shù)C,均有,使.證明：因?yàn)镋為有界集,所以可以在上定義函數(shù),顯然,當(dāng)時(shí),,依外測(cè)度的單調(diào)性,有,故知f是上的單調(diào)增加函數(shù).任取與,使,依外測(cè)度性質(zhì),得==故在處右連續(xù)，類(lèi)似可證在處左連續(xù),從而得在上連續(xù).由,那么依閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,知存在,使,即,取集合,那么有.3.8外測(cè)度的其他性質(zhì)1假設(shè),那么對(duì)任意點(diǎn)集B,有.證明：因?yàn)?依單調(diào)性,有所以。2假設(shè),那么證明：因?yàn)?,故又,，故，于是證得因?yàn)?那么又,有,所以又,結(jié)合上式可得綜上可得3設(shè)A,B是中的兩個(gè)點(diǎn)集,且,證明：,其中證明：因?yàn)?,由外測(cè)度的次可加性與單調(diào)性,得由,故不等式兩邊同時(shí)減去,得類(lèi)似可得,綜合即得4設(shè)A,B,C是中的點(diǎn)集,且,,證明：證明：只需證明，即先證.當(dāng)時(shí),,此時(shí),假設(shè)；假設(shè),所以,即類(lèi)似可證綜合即證,那么所以5設(shè)，那么對(duì)都有證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[9]4可測(cè)集的外測(cè)度定義3設(shè),假設(shè)對(duì)任意的點(diǎn)集,有，那么稱(chēng)E為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集,簡(jiǎn)稱(chēng)可測(cè)集.可測(cè)集的外測(cè)度稱(chēng)為它的Lebesgue測(cè)度,簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè)度,記作mE.可測(cè)集的性質(zhì)：為可測(cè)集,；假設(shè)E為可測(cè)集,那么為可測(cè)集；假設(shè)E,F為可測(cè)集,那么都為可測(cè)集；假設(shè)為可測(cè)集,那么也是可測(cè)集.引理4假設(shè)對(duì)任意A,B,,有，那么對(duì)任一列互不相交的,有。證明：由條件易得，由外測(cè)度的單調(diào)性,有由于k是任意的,令k,即得，由外測(cè)度的次可加性得所以.可測(cè)集的外測(cè)度具有可數(shù)可加性定理7假設(shè)為可測(cè)集,,,那么有證明：不妨在中取,由為可測(cè)集可知,對(duì)任意集T,有取T得即由引理4得定理8設(shè)是可測(cè)集序列,且那么也是可測(cè)的,且證明：因?yàn)?故可測(cè).假設(shè)存在,使,那么結(jié)論顯然成立.現(xiàn)設(shè).由的單調(diào)性及可測(cè)性,均可測(cè)且不相交,所以有由于,所以，令,那么，由可數(shù)可加性,有=類(lèi)似的性質(zhì)還有：假設(shè)有遞減可測(cè)集合列,那么5外測(cè)度的計(jì)算例1在中,設(shè)E是[0,1]中的有理數(shù)全體,證明：.證：依定義,.>0,記E=〔〕,令,那么m.由于,所以依外測(cè)度定義又有故綜合可知.并由此得,對(duì)可列點(diǎn)集E,有.例2證明：[0,1]中的康托爾集C的外測(cè)度是零.證明因?yàn)椤灿煽低袪柤臉?gòu)造過(guò)程知,是個(gè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間之并集〕,故從而得例3假設(shè)k是1與n之間的某個(gè)整數(shù),a是某實(shí)常數(shù),并記,那么E是中的零測(cè)集.證明對(duì)記顯然,滿(mǎn)足的集稱(chēng)Lebesgue零測(cè)集,簡(jiǎn)稱(chēng)零測(cè)集,零測(cè)集的子集是零測(cè)集,有限個(gè)或可列個(gè)零測(cè)集之并仍是零測(cè)集.所以只要證是零測(cè)集.取開(kāi)區(qū)間,顯然,且由的任意性知,故例4證明：[0,1]中無(wú)理數(shù)集的外測(cè)度為1.證明：設(shè)是[0,1]中的無(wú)理點(diǎn)集,是有理點(diǎn)集,而[0,1]=因可列故于是有又因?yàn)橐绬握{(diào)性有綜上所述,得=1.例5設(shè)是中的有界