外測度的性質(zhì)與計算小結

外測度的性質(zhì)與計算Thepropertiesandcalculationoftheoutermeasure姓名：學號：學院：數(shù)學與信息科學學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學指導老師：完成時間：外測度的性質(zhì)與計算【摘要】Lebesgue外測度是Lebesgue積分的根底,本論文主要論述了它的一些性質(zhì)及相關的計算.首先,給出了Lebesgue外測度的定義；接著,指出和證明了外測度具有的非負性、單調(diào)性、次可數(shù)可加性、距離可加性、平移不變性這五大主要性質(zhì)；同時給出了外測度的介值定理和一些其他的性質(zhì),并討論了在一般情況下,外測度不具備可數(shù)可加性；然后討論了可數(shù)集的外測度的性質(zhì),著重寫出可數(shù)集的外測度具有可數(shù)可加性；最后是與外測度計算相關的一些例題.【關鍵詞】Lebesgue外測度，次可數(shù)可加性，距離可加性。Thepropertiesandcalculationoftheoutsidemeasure【abstract】Lebesgueoutermeasureisthebaseoflebesgueintegral,thisthesismainlydiscussessomepropertiesanditsrelatedcalculation.Atfirst,givethedefinitionofLebesgueoutermeasure;thenpointedoutandprovedtheoutermeasurehasnonnegative,monotonicityandsecondcountableadditiveproperty,distanceadditiveproperty,translationinvariantproperty,thefivemainproperties;Italsogivestheoutermeasuremeanvaluetheoremandsomeotherproperties,anddiscussesthepropertiesunderthemeaningofgeneralpointsets,theoutermeasuredoesnothavecountableadditiveproperty.Thendiscussedthepropertyofoutermeasureofcountableset,andemphaticallywritethatoutermeasureofcountablesethascountadditiveproperty.Andthelastissomeexamplesaboutoutermeasurecomputation.【keywords】Lebesgueoutermeasure,Secondcountableadditiveproperty,Distanceadditiveproperty目錄1引言……………12Lebesgue外測度的定義……………………13一般集的外測度的性質(zhì)……………………23.1非負性…………………23.2單調(diào)性…………………23.3次可數(shù)可加性………………………23.4距離可加性…………23.5平移不變性…………43.6對外測度有限可加性及可數(shù)可加性的研究…………………43.7外測度的介值定理…………………63.8外測度的其他性質(zhì)…………………74可測集的外測度……………85外測度的計算………………106小結…………………………11參考文獻…………………………12外測度的性質(zhì)與計算1引言在19世紀時,數(shù)學家們已經(jīng)認識到,僅有連續(xù)函數(shù)與Riemann積分的古典理論已缺乏以解決數(shù)學分析中的許多問題,為了克服Riemann積分在理論上的局限性,必須改造原有的積分定義,建立一種新型積分.19世紀下半葉,不少分析學家進行一系列擴充長度和面積概念的探索,逐漸形成測度概念,1898年,Borel建立了一維Borel點集的測度,法國數(shù)學家Lebesgue在1902年他的博士論文《長度、面積和積分》中系統(tǒng)的建立了測度論,并成功的建立起新的積分理論--Lebesgue積分〔1915年,法國數(shù)學家弗雷歇提出在一般代數(shù)上建立測度,開始創(chuàng)立抽象測度理論,1918年,意大利數(shù)學家Caratheodory關于外測度的研究,對于現(xiàn)代形式測度理論的形成起了關鍵作用.〕.Riemann積分無視了函數(shù)的變化而只從定義域方面劃分小區(qū)域來構造積分和,這樣做的結果是將大量的函數(shù)排除在Riemann可積函數(shù)類之外；Lebesgue積分不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函數(shù)值域著手構造積分和.例設在上有界,滿足,作分割令，那么對應于上面分割的積分和為,其中為點集的長度,這種積分的優(yōu)點在于可以取很小,使得積分和的近似程度很高,它將積分對象從Riemann可積函數(shù)類擴充到更大一類函數(shù)——可測函數(shù)類.積分和計算的關鍵是點集的度量，對于通常的區(qū)間的度量就是區(qū)間的長度或體積，而對于一般的點集的度量就不是一件簡單的事情，它涉及到在中如何建立一般點集的一種度量方案，這就是Lebesgue外測度與測度理論。Lebesgue外測度是對中一般的點集E給出的一種度量,是長度、面積和體積等概念的推廣,是Lebesgue積分的基石,所以對其性質(zhì)和計算的研究是非常重要的,下文即是對Lebesgue外測度的性質(zhì)與計算的一些研究.2Lebesgue外測度的定義定義1我們稱n維空間Rn中的點集為開區(qū)間,其中為常數(shù)〔因此空集也是開區(qū)間,此時需某〕.當滿足的條件分別改為和時,相應的點集分別稱為閉區(qū)間和左開右閉區(qū)間.而數(shù)稱為這三種區(qū)間的體積,記作.設ERn,假設{IK}是Rn中可數(shù)個開區(qū)間,使得k,那么稱{IK}是E的一個可數(shù)開覆蓋,顯然,E的每一個可數(shù)開覆蓋的體積和確定了一個非負廣義數(shù)〔即可取有限數(shù)或+〕.定義2稱為點集E的Lebesgue外測度,簡稱外測度,記作m*E.注：上述定義中E的開覆蓋中開區(qū)間的個數(shù)可以是有限的,因為可以取作空集.3一般集的外測度的性質(zhì)3.1非負性定理1非負性：,?=0證明由定義可直接推出.3.2單調(diào)性定理2單調(diào)性：假設,那么證明設{IK}是E2的可數(shù)開覆蓋,那么它也是E1的可數(shù)開覆蓋.因此3.3次可數(shù)可加性定理3次可數(shù)可加性：〔〕證明對于任意及每一正整數(shù)k,由外測度定義,存在的可數(shù)開覆蓋,使得,,，由此得,即是的可數(shù)開覆蓋,從而有，由的任意性,得3.4距離可加性定理4距離可加性：設E1,E2是Rn中的點集,假設它們的距離，那么分析由次可加性,對Rn中任意兩個點集E1和E2,總有因此只需證明由外測度定義,如果的任意可數(shù)開覆蓋,能夠分解為E1和E2的開覆蓋,而且這兩個開覆蓋中沒有公共區(qū)間即可.顯然這點一般是做不到的,但是由于E1和E2之間有正距離,所以當我們選擇的開覆蓋,使其中的區(qū)間充分小時,分解成E1和E2的沒有公共開區(qū)間的開覆蓋就能做到.引理1設,對任意正數(shù),令那么有證明：由于邊長小于的區(qū)間所構成的開覆蓋是E的開覆蓋的一局部,故.下證不妨設.由外測度定義,對任意,存在E的可數(shù)開覆蓋,使得對每個k,把IK分割成個開區(qū)間：它們互不相交且每個開區(qū)間的邊長都小于.現(xiàn)保持每個的中心不動,邊長擴大倍作出新的開區(qū)間,記為.顯然對每個k,有,易知是E的邊長小于的可數(shù)開覆蓋,且有從而可知令,由的任意性,得因此外測度距離可加性的證明：由分析可知,只需證明,設.對任意,由引理1,作得可數(shù)開覆蓋,使得其中每個Ik的邊長都小于.顯然可將分為兩組和使得由于Ik的邊長都小于,故Ik的直徑小于,因此以上兩組開區(qū)間中的每個開區(qū)間不能同時含有E1和E2中的點,從而再由的任意性,即得。距離可加性得證.3.5平移不變性定理5平移不變性：設E,,令E+,那么證明：由開區(qū)間的性質(zhì)可知,對任意的開區(qū)間,有,于是對于E的任意覆蓋,經(jīng)平移后是E+{}的一個覆蓋,從而有故 ，又E++=E可得。命題得證。3.6對外測度有限可加性及可數(shù)可加性的研究有限可加性：當?時,可數(shù)可加性：當時,顯然,可數(shù)可加性蘊含有有限可加性.由距離可加性可以知道,如果,是中點集,假設它們的距離，那么對任意假設,有即當點集間滿足正距離時,它們的外測度有可加性,如果沒有正距離的條件時,外測度是否仍然有可加性呢？對于開區(qū)間中的任意點x,令，由于,故Rx非空.引理2對任意,或者,或者證明設,那么a-x,a-y都是有理數(shù).于是對任意也是有理數(shù),故,所以,同理可證,所以命題得證.顯然,,其中有些Rx與Ry是相等的,由于每個Rx都是可數(shù)集,所以分解為不可數(shù)個互不相交的這樣的Rx的并,從每個Rx中選取一個元素構成集合W.由于,故.記內(nèi)所有的有理數(shù)為.令顯然,由外測度的平移不變性,引理3對上面構造的Wn,有以下性質(zhì)當時,證明(1)假設,設,那么,，所以為有理數(shù),故為同一個Rx中的元素,由W的作法知,,那么,與矛盾.〔2〕對任意,設,那么是有理數(shù),且.于是存在正整數(shù)m,使.從而所以定理6Lebesgue外測度不具備有限可加性和可數(shù)可加性.證明設,那么.假設a=0,由于,由次可加性有矛盾,故a>0.如果外測度是有限可加的,那么，但，所以，故上式對一切N成立,矛盾.所以外測度不具有有限可加性,將上面證明中的N改為,那么可證外測度不具有可數(shù)可加性。3.7外測度的介值定理外測度的介值定理：設E為實直線的有界子集,,那么對任意小于的正數(shù)C,均有,使.證明：因為E為有界集,所以可以在上定義函數(shù),顯然,當時,,依外測度的單調(diào)性,有,故知f是上的單調(diào)增加函數(shù).任取與,使,依外測度性質(zhì),得==故在處右連續(xù)，類似可證在處左連續(xù),從而得在上連續(xù).由,那么依閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,知存在,使,即,取集合,那么有.3.8外測度的其他性質(zhì)1假設,那么對任意點集B,有.證明：因為,依單調(diào)性,有所以。2假設,那么證明：因為,,故又,，故，于是證得因為,那么又,有,所以又,結合上式可得綜上可得3設A,B是中的兩個點集,且,證明：,其中證明：因為,,由外測度的次可加性與單調(diào)性,得由,故不等式兩邊同時減去,得類似可得,綜合即得4設A,B,C是中的點集,且,,證明：證明：只需證明，即先證.當時,,此時,假設；假設,所以,即類似可證綜合即證,那么所以5設，那么對都有證明見參考文獻[9]4可測集的外測度定義3設,假設對任意的點集,有，那么稱E為Lebesgue可測集,簡稱可測集.可測集的外測度稱為它的Lebesgue測度,簡稱測度,記作mE.可測集的性質(zhì)：為可測集,；假設E為可測集,那么為可測集；假設E,F為可測集,那么都為可測集；假設為可測集,那么也是可測集.引理4假設對任意A,B,,有，那么對任一列互不相交的,有。證明：由條件易得，由外測度的單調(diào)性,有由于k是任意的,令k,即得，由外測度的次可加性得所以.可測集的外測度具有可數(shù)可加性定理7假設為可測集,,,那么有證明：不妨在中取,由為可測集可知,對任意集T,有取T得即由引理4得定理8設是可測集序列,且那么也是可測的,且證明：因為,故可測.假設存在,使,那么結論顯然成立.現(xiàn)設.由的單調(diào)性及可測性,均可測且不相交,所以有由于,所以，令,那么，由可數(shù)可加性,有=類似的性質(zhì)還有：假設有遞減可測集合列,那么5外測度的計算例1在中,設E是[0,1]中的有理數(shù)全體,證明：.證：依定義,.>0,記E=〔〕,令,那么m.由于,所以依外測度定義又有故綜合可知.并由此得,對可列點集E,有.例2證明：[0,1]中的康托爾集C的外測度是零.證明因為〔由康托爾集的構造過程知,是個長度為的閉區(qū)間之并集〕,故從而得例3假設k是1與n之間的某個整數(shù),a是某實常數(shù),并記,那么E是中的零測集.證明對記顯然,滿足的集稱Lebesgue零測集,簡稱零測集,零測集的子集是零測集,有限個或可列個零測集之并仍是零測集.所以只要證是零測集.取開區(qū)間,顯然,且由的任意性知,故例4證明：[0,1]中無理數(shù)集的外測度為1.證明：設是[0,1]中的無理點集,是有理點集,而[0,1]=因可列故于是有又因為依單調(diào)性有綜上所述,得=1.例5設是中的有界