蘇州市外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷

蘇州外國語學(xué)校2021-2022高二第一學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（）A．2 B．3 C．6 D．92．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3.已知AB是橢圓一條弦，且弦AB與直線：垂直，P是AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心，則直線OP的斜率是（）A． B． C． D．4.已知圓，圓，若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A.B.C.D.7.從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8．已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．E的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．E的離心率等于C．E與雙曲線的漸近線相同D．直線與E有2個(gè)公共點(diǎn)10.已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．11.以下四個(gè)命題表述正確的有（）A．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為B．直線與圓一定相交C．圓上存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于D．曲線與曲線恰有三條公切線，則12.設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)P在定圓上 B.點(diǎn)P在圓C外C.線段PQ長的最大值為 D.的最小值為填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知點(diǎn)和橢圓，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的右焦點(diǎn)，則的最小值為_________.已知正方形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為和，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為和，則________.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若的面積是面積的3倍，則橢圓的離心率為_______．16.如圖，在直角梯形ABCD中，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍是___________.解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知點(diǎn)，圓.（1）若直線l過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程.19.如圖，某海面上有、、三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？20.已知橢圓，其長軸為，離心率為，過橢圓上一點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，直線與，軸的交點(diǎn)分別為?.（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最小值.21.設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為，雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，與橢圓在第一、三象限的交點(diǎn)分別記為、兩點(diǎn)，若有.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），試證明：直線和的斜率之和為定值.22.設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形．（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．蘇州外國語學(xué)校2021-2022高二第一學(xué)期12月考數(shù)學(xué)試卷（解析）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以.故選：D2．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，“直線與直線平行，所以充分性成立，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以必要性成立，所以“”是“直線與直線平行”充分必要條件，故選：B3.已知AB是橢圓一條弦，且弦AB與直線：垂直，P是AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心，則直線OP的斜率是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，弦AB不過點(diǎn)O，而弦AB與直線：垂直，則設(shè)直線AB：，由消去y得：，，即，且，設(shè)點(diǎn)，則，于是得弦AB中點(diǎn)，所以直線OP的斜率是.故選：D4.已知圓，圓，若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立圓心距與半徑關(guān)系的不等式，求解即可.【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑；圓的方程可化為，則圓心為，半徑．圓與圓有公共點(diǎn)，，即，解得．故選：C5.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以，當(dāng)直線如圖過點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：A設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（）B.C.D.答案：C7.從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D8．已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：B多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．E的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．E的離心率等于C．E與雙曲線的漸近線相同D．直線與E有2個(gè)公共點(diǎn)答案：AC【解析】設(shè)雙曲線方程為，由已知得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A選項(xiàng)正確；由離心率，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榍€的漸近線方程為，又由雙曲線的漸近線方程為，故C選項(xiàng)正確；聯(lián)立，整理得，由，所以直線與E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故D選項(xiàng)不正確.故選：AC10.已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意知數(shù)列是等差數(shù)列，且，可求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，在對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】，，，，故A錯(cuò)誤.，故B正確.當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列單調(diào)遞減，，故C正確.，，即，當(dāng)時(shí)，，故成立；當(dāng)時(shí)，成立，故成立，D不正確.故選：BC11.以下四個(gè)命題表述正確的有（）A．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為B．直線與圓一定相交C．圓上存在2個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于D．曲線與曲線恰有三條公切線，則【答案】BD【詳解】解：對(duì)A，經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線還有一條過原點(diǎn)的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線方程可化為：，所以該直線過定點(diǎn)，將代入圓中得：，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B正確；對(duì)C，由圓，得圓心，圓心到直線的距離為：，而圓的半徑為，故圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題知，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線，圓心為，半徑為；曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和：解得：，故D正確.故選：BD.12.設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)P在定圓上 B.點(diǎn)P在圓C外C.線段PQ長的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線與直線可求得兩直線分別過定點(diǎn)和定點(diǎn)，且兩直線垂直，從而可得交點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷A；判斷點(diǎn)的軌跡圓與圓C的位置關(guān)系即可判斷B；根據(jù)Q為弦AB的中點(diǎn)，，可得弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心的圓，則線段PQ長的最大值為圓心距加兩圓的半徑，從而可判斷C；，求出線段PQ長的最小值，即可判斷D.【詳解】解：直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又，所以兩直線垂直，所以兩直線的交點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，，所以交點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓C：相離，即點(diǎn)P在圓C外，故B正確；因?yàn)镼為弦AB的中點(diǎn)，，所以，所以弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為，則圓與圓相離，所以線段PQ長最大值為，故C正確；，因?yàn)榫€段PQ長的最小值為，所以的最小值為，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知點(diǎn)和橢圓，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓上的右焦點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】5【解析】【詳解】根據(jù)橢圓方程得e==∴|MA|+|MF|=（|MA|+2|MF|），根據(jù)橢圓的第二定義：過A作右準(zhǔn)線的垂線，交于N點(diǎn)，右準(zhǔn)線方程為x=4．則|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|∵|AN|=4+1=5．故答案為：5．已知正方形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為和，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為和，則________.【詳解】與間距離，與間距離，又由正方形可知，即，解得，15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若的面積是面積的3倍，則橢圓的離心率為_______．【答案】【分析】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，由的面積是面積的3倍得到，代入橢圓方程可得，化簡即得解.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，由，代入橢圓方程可得，可設(shè)，由的面積是面積的3倍，可得，即，即，可得，代入橢圓方程可得：，由,整理得，由，得．故答案為：16.如圖，在直角梯形ABCD中，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程，設(shè)出，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，用P的坐標(biāo)表m，n，則，根據(jù)直線與有交點(diǎn)求出范圍．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，如圖所示：則直線方程為，點(diǎn)到的距離所以以為圓心且與相切的圓方程為設(shè)則，，又所以，則，所以所以因?yàn)樵趫A上，所以設(shè)直線與有交點(diǎn)則圓心到的距離為解得，則所以故答案為：．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，∴，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）據(jù)（1）可得，所以，，兩式相減得，化簡得.18．已知點(diǎn)，圓.（1）若直線l過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】（1）或（2）【分析】（1）由直線被圓C截得的弦長為，求得圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.（2）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)線段的中點(diǎn)為，求得，結(jié)合在圓上，代入即可求解.（1）解：由題意，圓，可得圓心，半徑，因?yàn)橹本€被圓C截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.（2）解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，可得，解得，又因?yàn)樵趫A上，可得，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.19.如圖，某海面上有、、三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？【答案】（1）（2）該船有觸礁的危險(xiǎn)【分析】（1）由圓過點(diǎn)、、，設(shè)圓的方程為，再將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入運(yùn)算即可得解；（2）由題意可得該船航行方向?yàn)橹本€：，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，得解.【詳解】解：（1）如圖所示，、，設(shè)過、、三點(diǎn)的圓的方程為，得：，解得，，，故所以圓的方程為，圓心為，半徑，（2）該船初始位置為點(diǎn)，則，且該船航線所在直線的斜率為1，故該船航行方向?yàn)橹本€：，由于圓心到直線的距離，故該船有觸礁的危險(xiǎn).20.已知橢圓，其長軸為，離心率為，過橢圓上一點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，直線與，軸的交點(diǎn)分別為?.（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可得，，，求出、的值即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，由利用基本不等式可求出的最大值，由可得，同理，進(jìn)而可得直線方程為：，求出?坐標(biāo)結(jié)合面積公式即可求解.（1）由題意可得：，得，因?yàn)椋傻?，所以，所以橢圓方程為.（2）設(shè)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€，為圓的兩切線，圓方程為，所以，因?yàn)?，所以，得到：，即，同理可得：，所以點(diǎn)同時(shí)滿足直線方程，即直線方程為：，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最小值為.21.設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，焦距為，雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，與橢圓在第一、三象限的交點(diǎn)分別記為、兩點(diǎn)，若有.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），試證明：直線和的斜率之和為定值.【答案