2023-2024學年湖南省常德市芷蘭實驗學校高一上數學期末教學質量檢測試題含解析

2023-2024學年湖南省常德市芷蘭實驗學校高一上數學期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．設，則下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.2．角的終邊落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．若函數是函數（且）的反函數，且，則（）A. B.C. D.4．函數f(x)=tan的單調遞增區(qū)間是（）A.(k∈Z) B.(k∈Z)C.(k∈Z) D.(k∈Z)5．圖1是淘寶網某商戶出售某種產品的數量與收支差額（銷售額-投入的費用）的圖象，銷售初期商戶為虧損狀態(tài)，為了實現扭虧為盈，實行了某種措施，圖2為實行措施后的圖象，則關于兩個圖象的說法正確的是A.實行的措施可能是減少廣告費用 B.實行的措施可能是提高商品售價C.點處累計虧損最多 D.點表明不出售商品則不虧損6．若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，則可以是A B.C. D.7．已知冪函數的圖象過點(2,)，則的值為（）A. B.C. D.8．經過點(2,1)的直線l到A(1,1)，B(3,5)兩點的距離相等，則直線l的方程為A.2x-y-3=0 B.x=2C.2x-y-3=0或x=2 D.都不對9．在一次數學實驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數據：x01.002.03.0y0.240.5112.023.988.02在四個函數模型（a，b為待定系數）中，最能反映，y函數關系的是（）.A. B.C. D.10．著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為（）（參考數據：）A.分鐘 B.分鐘C.分鐘 D.分鐘11．已知集合，，則（）A. B.C. D.12．（）A.1 B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設則__________.14．已知函數恰有2個零點，則實數m的取值范圍是___________.15．如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________16．已知函數，分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且滿足，則函數的解析式為____________________；若函數有唯一零點，則實數的值為____________________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．閱讀材料：我們研究了函數的單調性、奇偶性和周期性，但是這些還不能夠準確地描述出函數的圖象，例如函數和，雖然它們都是增函數，圖象在上都是上升的，但是卻有著顯著的不同.如圖1所示，函數的圖象是向下凸的，在上任意取兩個點，函數的圖象總是在線段的下方，此時函數稱為下凸函數；函數的圖象是向上凸的，在上任意取兩個點，函數的圖象總是在線段的上方，則函數稱為上凸函數.具有這樣特征的函數通常稱做凸函數.定義1：設函數是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，若，都有，則稱為區(qū)間I上的下凸函數.如圖2.下凸函數的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的下方.定義2：設函數是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數，若，都有，則稱為區(qū)間I上的上凸函數.如圖3.上凸函數的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的上方.上凸（下凸）函數與函數的定義域密切相關的.例如，函數在為上凸函數，在上為下凸函數.函數的奇偶性和周期性分別反映的是函數圖象的對稱性和循環(huán)往復，屬于整體性質；而函數的單調性和凸性分別刻畫的是函數圖象的升降和彎曲方向，屬于局部性質.關于函數性質的探索，對我們的啟示是：在認識事物和研究問題時，只有從多角度、全方位加以考查，才能使認識和研究更加準確.結合閱讀材料回答下面的問題：（1）請嘗試列舉一個下凸函數：___________；（2）求證：二次函數是上凸函數；（3）已知函數，若對任意，恒有，嘗試數形結合探究實數a的取值范圍.18．已知二次函數滿足.（1）求b，c的值；（2）若函數是奇函數，當時，，（ⅰ）直接寫出的單調遞減區(qū)間為；（ⅱ）若，求a的取值范圍.19．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數的圖象.（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的最大值和最小值.20．已知函數.（1）求其最小正周期和對稱軸方程；（2）當時，求函數的單調遞減區(qū)間和值域.21．設函數，且，函數（1）求的解析式；（2）若方程－b=0在[－2，2]上有兩個不同的解，求實數b的取值范圍22．已知函數.（I）求函數的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（II）若,求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】對于A，C，D利用不等式的性質分析即可，對于B舉反例即可【詳解】對于A，因為，所以，所以，即，所以A成立；對于B，若，，則，，此時，所以B不成立；對于C，因為，所以，所以C成立；對于D，因為，所以，則，所以D成立，故選：B.【點睛】本題考查不等式的性質的應用，屬于基礎題.2、A【解析】由于，所以由終邊相同的定義可得結論【詳解】因為，所以角的終邊與角的終邊相同，所以角的終邊落在第一象限角故選：A3、B【解析】由題意可得出，結合可得出的值，進而可求得函數的解析式.【詳解】由于函數是函數（且）的反函數，則，則，解得，因此，.故選：B.4、B【解析】運用整體代入法，結合正切函數的單調區(qū)間可得選項.【詳解】由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)，得<x<(k∈Z)，所以函數f(x)=tan的單調遞增區(qū)間為(k∈Z).故選:B.【點睛】本題考查正切函數的單調性，屬于基礎題.5、B【解析】起點不變，所以投入費用不變，扭虧為盈變快了，所以可能是提高商品售價，選B.點睛：有關函數圖象識別問題，由解析式確定函數圖象的判斷技巧：（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．(2)由實際情景探究函數圖象．關鍵是將問題轉化為熟悉的數學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題6、A【解析】因為函數g(x)＝4x＋2x－2在R上連續(xù)，且，，設函數的g(x)＝4x＋2x－2的零點為，根據零點存在性定理，有，則，所以，又因為f(x)＝4x－1的零點為，函數f(x)＝(x－1)2的零點為x=1，f(x)＝ex－1的零點為，f(x)＝ln(x－0．5)的零點為，符合為，所以選A考點：零點的概念，零點存在性定理7、A【解析】令冪函數且過(2,)，即有，進而可求的值【詳解】令，由圖象過(2,)∴，可得故∴故選：A【點睛】本題考查了冪函數，由冪函數的形式及其所過的定點求解析式，進而求出對應函數值，屬于簡單題8、C【解析】當直線l的斜率不存在時，直線x=2顯然滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k則直線l為y-1=kx-2，即由A到直線l的距離等于B到直線l的距離得：-kk化簡得：-k=k-4或k=k-4（無解），解得k=2∴直線l的方程為2x-y-3=0綜上，直線l的方程為2x-y-3=0或x=2故選C9、B【解析】由題中表格數據畫出散點圖，由圖觀察實驗室指數型函數圖象【詳解】由題中表格數據畫出散點圖，如圖所示，觀察圖象，類似于指數函數對于A，是一次函數，圖象是一條直線，所以A錯誤，對于B，是指數型函數，所以B正確，對于C，是對數型函數，由于表中的取到了負數，所以C錯誤，對于D，是反比例型函數，圖象是雙曲線，所以D錯誤，故選：B10、D【解析】由已知條件得出，，，代入等式，求出即可得出結論.【詳解】由題知，，，所以，，可得，所以，，.故選：D.11、B【解析】化簡集合A，由交集定義直接計算可得結果.【詳解】化簡可得，又所以.故選：B.12、A【解析】直接利用誘導公式和兩角和的正弦公式求出結果【詳解】，故選：二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先求，再求的值.【詳解】由分段函數可知，.故答案為：【點睛】本題考查分段函數求值，屬于基礎題型.14、【解析】討論上的零點情況，結合題設確定上的零點個數，根據二次函數性質求m的范圍.【詳解】當時，恒有，此時無零點，則，∴要使上有2個零點，只需即可，故有2個零點有；當時，存在，此時有1個零點，則，∴要使上有1個零點，只需即可，故有2個零點有；綜上，要使有2個零點，m的取值范圍是.故答案為：.15、{x|－1<x≤1}【解析】先作函數圖象，再求交點，最后根據圖象確定解集.【詳解】令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數g(x)的圖象如圖由得∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}【點睛】本題考查函數圖象應用，考查基本分析求解能力.16、(1).(2).或【解析】把方程中的換成，然后利用奇偶性可得另一方程，聯立可解得；令，可得為偶函數，從而可得關于對稱，由函數有唯一零點，可得，從而可求得的值【詳解】解：因為函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，因為，①所以，即，②①②聯立，可解得令，則，所以為偶函數，所以關于對稱，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，即，解得或故答案為：；或【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數奇偶性的應用，考查函數的零點，解題的關鍵是令，可得為偶函數，從而可得關于對稱，由函數有唯一零點，可得，從而可求得的值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據下凸函數的定義舉例即可；（2）利用上凸函數定義證明即可；（3）根據（2）中結論，結合條件，函數滿足上凸函數定義，根據數形結合求得參數取值范圍.【小問1詳解】，；【小問2詳解】對于二次函數，，滿足，即，滿足上凸函數定義，二次函數是上凸函數.【小問3詳解】由（2）知二次函數是上凸函數，同理易得二次函數為下凸函數，對于函數，其圖像可以由兩個二次函數的部分圖像組成，如圖所示，若對任意，恒有，則函數滿足上凸函數定義，即，即.18、（1）；；（2）或【解析】（1）代值計算即可，（2）先根據函數的奇偶性求出的解析式，（i）根據函數的解析式和二次函數的性質即可求出函數的單調減區(qū)間，（ii）根據函數單調性性質可得或解得即可.試題解析：二次函數滿足，解得：；.（2）（?。áⅲ┯桑?）知，則當時，；當時，，則因為是奇函數，所以.若，則或解得或.綜上，a的取值范圍為或.19、(1)(2)見解析【解析】(1)首先化簡三角函數式，然后確定平移變換之后的函數解析式即可；(2)結合(1)中函數解析式確定函數的最大值即可.【詳解】（1）.由題意得，化簡得.（2）∵，可得，∴.當時，函數有最大值1；當時，函數有最小值.【點睛】本題主要考查三角函數圖像的變換，三角函數最值的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、（1）最小正周期為，對稱軸方程；（2）單調遞減區(qū)間為，值域為.【解析】（1）利用倍角公式、輔助角公式化簡函數，結合正弦函數的性質計算作答.（2）確定函數的相位范圍，再借助正弦函數的性質計算作答.【小問1詳解】依題意，，則，由解得：，所以，函數的最小正周期為，對稱軸方程為.【小問2詳解】由（1）知，因，則，而正弦函數在上單調遞減，在上單調遞增，由解得，由解得，因此，在上單調遞減，在上單調遞增，，而，即，所以函數單調遞減區(qū)間是，值域為.21、（1），（2）【解析】（1）；本題求函數解析式只需利用指數的運算性質求出a的值即可，（2）對于同時含有的表達式，通?？梢粤钸M行換元，但換元的過程中一定要注意新元的取值范圍，換元后轉化為我們熟悉的一元二次的關系，從而解決問題試題解析：解：（1）∵，且∴∵∴（2）法一：方程為令，則-且方程為在有兩個不同的解設，兩函數圖象在內有兩個交點由圖知時，方程有兩不同解.法二：方程為，令，則∴方程在上有兩個不同的解．設解得考點：求函數的解析式，求參數的取值范圍【方法點睛】求函數解析式的主要方法有待定系數法，換元法及賦值消元法等；已知函數的類型（如一次函數，二次函