一輪復(fù)習(xí)學(xué)案7.3合情推理與演繹推理

7.3合情推理與演繹推理必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),先經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

歸納推理類比推理定義由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理

由兩類對(duì)象具有和其中一類對(duì)象的,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理

特點(diǎn)由到、由到的推理

由到的推理

一般步驟(1)通過個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想)2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.(2)特點(diǎn):演繹推理是由一般到特殊的推理.(3)模式:“三段論”是演繹推理的一般模式:“三段論”的結(jié)構(gòu)①大前提——已知的;

②小前提——所研究的特殊情況;③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)做出的判斷

“三段論”的表示①大前提——;

②小前提——;

③結(jié)論——S是P考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,類比推理得到的結(jié)論一定正確.()(2)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在類比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(n∈N*).()(6)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.()2.下列說法正確的是()A.類比推理,歸納推理,演繹推理都是合情推理B.合情推理得到的結(jié)論一定是正確的C.合情推理得到的結(jié)論不一定正確D.歸納推理得到的結(jié)論一定是正確的3.如圖,根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律,a表示的數(shù)是()A.12 B.48C.60 D.1444.(2020山東濰坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律師,一人是醫(yī)生,一人是記者.已知丙的年齡比醫(yī)生大;甲的年齡和記者不同;記者的年齡比乙小.根據(jù)以上情況,下列判斷正確的是()A.甲是律師,乙是醫(yī)生,丙是記者B.甲是醫(yī)生,乙是記者,丙是律師C.甲是醫(yī)生,乙是律師,丙是記者D.甲是記者,乙是醫(yī)生,丙是律師5.(2020山西大同一中月考,理6)在等差數(shù)列{an}中,若an>0,公差d≠0,則有a4a6>a3a7.類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若bn>0,公比q≠0,則關(guān)于b5,b7,b4,b8的一個(gè)不等關(guān)系正確的是()A.b5b7>b4b8 B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8 D.b7+b8<b4+b5關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)歸納推理(多考向探究)考向1數(shù)的歸納【例1】(2020安徽壽縣一中,文7)下面的數(shù)表為“森德拉姆篩”,其特點(diǎn)是表中的每行每列上的數(shù)都成等差數(shù)列,則第n行第n個(gè)數(shù)字是()2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1C.n2+1 D.n2思考?xì)w納推理的步驟是什么?考向2式的歸納【例2】觀察下列各式:11+2=13,11+2+11+2+3=12A.56 B.1112 C.1113思考式的歸納如何實(shí)現(xiàn)?考向3形的歸納【例3】(2020湖南大學(xué)附中9月摸底,理10)如圖所示,在著名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上:①每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;②在每次移動(dòng)過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為f(n),則f(6)=()A.61 B.33 C.63 D.65思考形的歸納有幾種?解題心得1.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想).2.常見的歸納推理分為數(shù)、式的歸納和形的歸納兩類:(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理:觀察數(shù)字的變化特點(diǎn),找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解.(2)與式子有關(guān)的歸納推理:①與不等式有關(guān)的推理:觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn),注意是縱向看,找到規(guī)律后可解;②與數(shù)列有關(guān)的推理:通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng),采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,列出即可;(3)與圖形變化有關(guān)的推理:合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,采用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如下分組正整數(shù)對(duì):第一組為{(1,2),(2,1)},第二組為{(1,3),(3,1)},第三組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四組為{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此規(guī)律.則第30組第20個(gè)數(shù)對(duì)是()A.(12,20) B.(20,10) C.(21,11) D.(20,12)(2)對(duì)于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”:2335,337911,4313151719,…,仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是123,A.9 B.10 C.11 D.12(3)如圖所示,由若干個(gè)圓點(diǎn)組成形如三角形的圖形,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1,n∈N*)個(gè)點(diǎn),每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an,則9a2a3+9a3考點(diǎn)類比推理【例4】(1)對(duì)于命題:如果O是線段AB上一點(diǎn),則|OB|·OA+|OA|·OB=0;將它類比到平面的情形是:若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),有S△OBC·OA+S△OCA·OB+S△OBA·OC=0;將它類比到空間的情形應(yīng)該是:若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有.

(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式1+11+11+…中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定值,它可以通過方程1+1x=x求得x=1+52,類似上述過程A.1 B.2 C.3 D.4思考類比推理的關(guān)鍵是什么?解題心得類比推理的關(guān)鍵及類型(1)類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性,將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去.一般步驟:①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(或猜想).(2)類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;運(yùn)算類比(加與積,乘與乘方,減與除,除與開方);數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比;圓錐曲線間的類比等.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)an=n(n+1),利用n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)(n+2)考點(diǎn)演繹推理【例5】已知i為虛數(shù)單位,觀察下列各等式(cos1+isin1)·(cos2+isin2)=cos3+isin3;(cos3+isin3)·(cos4+isin4)=cos7+isin7;(cos5+isin5)·(cos6+isin6)=cos11+isin11;(cos7+isin7)·(cos8+isin8)=cos15+isin15.記f(α)=cosα+isinα,α∈R.(1)根據(jù)以上規(guī)律,試猜想f(α),f(β),f(α+β)成立的等式,并加以證明;(2)計(jì)算:32+12i思考演繹推理中得出的結(jié)論一定正確嗎?解題心得演繹推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式為三段論.演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系,解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提.一般地,若大前提不明確時(shí),可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提,只要大前提、小前提和推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2020甘肅岷縣二中期中)在證明f(x)=2x+1為增函數(shù)的過程中,有下列四個(gè)命題:①增函數(shù)的定義是大前提;②增函數(shù)的定義是小前提;③函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是小前提;④函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義是大前提.其中正確的命題是()A.①② B.②④C.②③ D.①③(2)已知函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:y=f(x)為R上的增函數(shù).考點(diǎn)生活中的合情推理【例6】(1)(2020北京八中模擬二,10)為配合促銷活動(dòng),某公司的四個(gè)商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布,并且公司給A,B,C,D四個(gè)派送點(diǎn)準(zhǔn)備某種商品各50個(gè).根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),需要將發(fā)送給A,B,C,D四個(gè)派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40,45,54,61,但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行,每次調(diào)動(dòng)可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整,則()A.最少需要16次調(diào)動(dòng),有2種可行方案B.最少需要15次調(diào)動(dòng),有1種可行方案C.最少需要16次調(diào)動(dòng),有1種可行方案D.最少需要15次調(diào)動(dòng),有2種可行方案(2)(2020湖南長郡中學(xué)四模,文14)甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行一項(xiàng)益智游戲,方法如下:第一步,先由四人看著平面直角坐標(biāo)系中方格內(nèi)的16個(gè)棋子(如圖所示),甲從中記下某個(gè)棋子的坐標(biāo);第二步,甲分別告訴其他三人:告訴乙棋子的橫坐標(biāo),告訴丙棋子的縱坐標(biāo),告訴丁棋子的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.對(duì)話如下:乙先說我無法確定,丙接著說我也無法確定.最后丁說我知道.則甲記下的棋子的坐標(biāo)為.

思考如何解決生活中的合情推理問題?解題心得在進(jìn)行合情推理時(shí),要依據(jù)一定的“規(guī)則”——已知條件、公式、法則、推理等.只有不斷地觀察、比較、分析、推理,才能得到正確的答案.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2020山東濟(jì)南一模,5)某方艙醫(yī)院醫(yī)療小組有七名護(hù)士,每名護(hù)士從周一到周日輪流安排一個(gè)夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚兩天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中間,則周五值夜班的護(hù)士為()A.甲 B.丙 C.戊 D.庚(2)(2020陜西榆林一模,理5)關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個(gè)正確的判斷:①若甲未被錄取,則乙、丙都被錄取;②乙與丙中必有一個(gè)未被錄取;③或者甲未被錄取,或者乙被錄取.則三人中被錄取的是()A.甲 B.丙 C.甲與丙 D.甲與乙1.合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納推理是由特殊到一般的推理;(2)類比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演繹推理是由一般到特殊的推理;(4)從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;而演繹推理若大前提、小前提和推理形式正確,得到的結(jié)論一定正確.2.在數(shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向.數(shù)學(xué)結(jié)論的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.3.“三段論”式的演繹推理一定要保證大前提正確,且小前提是大前提的子集關(guān)系,這樣經(jīng)過正確推理,才能得出正確結(jié)論.7.3合情推理與演繹推理必備知識(shí)·預(yù)案自診知識(shí)梳理1.類比部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論某些類似特征某些已知特征部分整體特殊一般特殊特殊2.(3)①條件③特殊問題①M(fèi)是P②S是M考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2.C合情推理包括類比推理和歸納推理,故A錯(cuò)誤;由類比推理和歸納推理的概念可知,它們得到的結(jié)論不一定正確,故B,D錯(cuò)誤,C正確.故選C.3.D根據(jù)題意得,第n行有n個(gè)數(shù),且當(dāng)n≥3時(shí),每一行的第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)都等于n,中間每個(gè)數(shù)等于其肩上兩個(gè)數(shù)的積,則a所表示的數(shù)是12×12=144.故選D.4.C由甲的年齡和記者不同,記者的年齡比乙小,得到丙是記者,從而排除B和D;由丙的年齡比醫(yī)生大且比乙小,得到乙不是醫(yī)生,從而乙是律師,甲是醫(yī)生.故選C.5.C在等差數(shù)列{an}中,由4+6=3+7時(shí),有a4a6>a3a7,類比到等比數(shù)列{bn}中,由5+7=4+8時(shí),有b4+b8>b5+b7,因?yàn)閎4+b8-(b5+b7)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b4(1-q)+b4q3(q-1)=b4(1-q)(1-q3)=b4(1-q)2(1+q+q2)>0,所以b4+b8>b5+b7成立.故選C.關(guān)鍵能力·學(xué)案突破例1C設(shè)第n行第n個(gè)數(shù)字是ann,由題意知,第n行是首項(xiàng)為n+1,公差為n的等差數(shù)列,所以ann=(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故選C.例2C11+2=13,11+2+11+2+3=12例3C由題設(shè)可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移動(dòng)過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推導(dǎo)出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)C(2)C(3)20182019(1)由題意可知第一組的各個(gè)數(shù)字和為3,第二組各個(gè)數(shù)字和為4,第三組各個(gè)數(shù)字和為5,第四組各個(gè)數(shù)字和為6,…,第n組各個(gè)數(shù)字和為n+2,且各個(gè)數(shù)對(duì)無重復(fù)數(shù)字,可得第30組各個(gè)數(shù)字和為32,則第30組第20個(gè)數(shù)對(duì)為(21,11).故選C(2)由題意,從23到m3,正好用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共2+3+4+…+m=(2+m123是從3開始的第123-32+1=61個(gè)奇數(shù),當(dāng)m=10時(shí),用去了(2+10當(dāng)m=11時(shí),用去了(2+11)×(11-1)2=65(3)每個(gè)邊有n個(gè)點(diǎn),把每個(gè)邊的點(diǎn)數(shù)相加得3n,這樣角上的點(diǎn)數(shù)被重復(fù)計(jì)算了一次,故第n個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為3n-3,即an=3n-3,令Sn=9a2a3+9a3a4+9a4a5+…+9例4(1)VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0(2)B(1)線段長度類比到空間為體積,再結(jié)合類比到平面的結(jié)論,可得空間中的結(jié)論為VO-BCD·OA+VO-ACD·OB+VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0.(2)由題知36+36+36+因?yàn)?6+x=x,解得x=2,所以36+36+3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2n(n+1n(n+1)(n+2)=n(則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n(例5解(1)猜想f(α)f(β)=f(α+β),f(α)f(β)=(cosα+isinα)·(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+(sinαcosβ+cosαsinβ)i=cos(α+β)+isin(α+β)=f(α+β).(2)因?yàn)閒(α)f(β)=f(α+β),所以fn(α)=f(α)·f(α)·…·f(α)=f(nα)=cosnα+isinnα,所以32+12i6=cosπ6+isinπ66=cosπ+isinπ=-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)D證明f(x)=2x+1為增函數(shù),理論依據(jù)是演繹推理中的三段論,即大前提是增函數(shù)的定義,小前提是函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定義,則有結(jié)論:函數(shù)f(x)=2x+1是增函數(shù).由此可知,給出的四個(gè)命題中,①③正確,②④不正確.(2)證明設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則由題意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),所以x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(