工學(xué)拉普拉斯變換

補(bǔ)充1

狀態(tài)方程狀態(tài)變量：是電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量。和就是電路的狀態(tài)變量。對狀態(tài)變量列出的一階微分方程稱為狀態(tài)方程。usRLC+-uCil1.如果以和作為變量列上述方程usRLC+-uCil2.如果用矩陣形式列寫方程，那么狀態(tài)向量X輸入向量vAB3.為n階列向量，A為結(jié)論：一個(gè)電感的回路列寫KVL方程即可。2要列出包括項(xiàng)的方程，必須對只包含3要列出包括項(xiàng)的方程，必須對只接有一個(gè)電容的結(jié)點(diǎn)或割集寫出KCL方程即可。若某電路具有n個(gè)狀態(tài)變量，m個(gè)獨(dú)立電源，上述V為m階列向量,B為方陣，1。4.例：如圖，i2對單電容樹支列KCL2L1iS-R2us+uC+-L2i1R11對單電感連支列KVL5.6.補(bǔ)充2

拉普拉斯變換及其應(yīng)用2-1拉普拉斯變換的定義2-2拉普拉斯變換的根本性質(zhì)2-3拉普拉斯反變換的局部分式展開2-4運(yùn)算電路2-5應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路7.內(nèi)容提要重點(diǎn)介紹拉普拉斯變換在線性電路分析中的應(yīng)用。主要內(nèi)容有：拉普拉斯變換與電路分析有關(guān)的根本性質(zhì),求拉普拉斯反變換的局部分式法(分解定理),KCL和KVL定律、運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納的運(yùn)算形式和運(yùn)算電路,并通過實(shí)例說明它們在電路分析中的作用。8.2.1拉普拉斯變換的定義一、拉氏變換的定義時(shí)域f(t)稱為原函數(shù)復(fù)頻域F(s)稱為象函數(shù)1.雙邊拉氏變換復(fù)頻率f(t)與F(s)一一對應(yīng)9.積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+開始，稱為0+拉氏變換。f(t)=

(t)時(shí)此項(xiàng)02.單邊拉氏變換10.F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，用大寫字母表示，如I(s)、U(s)。f(t)為原函數(shù)，用小寫字母表示，如i(t),u(t)。二、常用函數(shù)的拉氏變換11.=112.13.例：求以下函數(shù)的象函數(shù)。〔1〕單位階躍函數(shù)；〔2〕單位沖激函數(shù)；〔3〕指數(shù)函數(shù)。解：（1）單位階躍函數(shù)的象函數(shù)為（2）單位沖激函數(shù)的象函數(shù)為14.〔3〕指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)為此題求的象函數(shù)的結(jié)論均可當(dāng)作公式來用。切記15.2.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性性質(zhì)16.二、微分〔導(dǎo)數(shù)〕性質(zhì)17.三、積分性質(zhì)18.與書上略有不同。f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0四、延遲性質(zhì)要理解19.例1：1Ttf(t)20.五、復(fù)頻域平移性質(zhì)P294：要熟記表13-1。21.2.3拉普拉斯反變換的局部分式展開法一、由象函數(shù)求原函數(shù)(1)利用公式(2)經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表f(t)=L-1[F(s)]太繁有限(3)將F(s)進(jìn)行局部分式展開以下重點(diǎn)介紹22.典型信號的拉氏變換〔1〕23.典型信號的拉氏變換〔2〕24.象函數(shù)的一般形式：二、將F(s)進(jìn)行局部分式展開把F(s)分解為假設(shè)干簡單項(xiàng)之和，而這些簡單項(xiàng)可以在拉氏變換表中查到，這種方法稱為局部分式展開法，或稱分解定理。用局部分式展開F(s)時(shí)，需要把有理式化為真分式。假設(shè)n>m時(shí)，F(xiàn)(s)為真分式。假設(shè)n=m時(shí)，那么反變換為A0δ〔t〕25.用局部分式展開真分式時(shí)，需要對分母多項(xiàng)式進(jìn)行分解，求出D〔s〕=0時(shí)的根。D〔s〕=0的根可以是單根、共軛根和重根幾種情況。26.ki也可用分解定理求羅比塔法則27.例28.例用分解定理求原函數(shù)例變?yōu)檎婧瘮?shù)29.k1,k2也是一對共軛復(fù)根歐拉公式30.例31.32.例例33.34.一般地：35.2.4運(yùn)算電路相量形式KCL、KVL元件復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型類似地元件運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL運(yùn)算形式電路模型36.一、電路元件的運(yùn)算形式R：u=Ri+u-iR+U(s)

-I(s)R37.L:iL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)sL+-UL(s)IL(s)38.C:

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)+uC-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+39.*M:ML1L2i1i2+u1-+u2-L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1(s)-I1(s)I2(s)sL1sL2+-sM+_++__40.受控源：(s)+-U+1(s)-

RI1(s)U2U1(s)+u1-+u2-Ri1

u141.二、電路定律的運(yùn)算形式+u-iRLC42.運(yùn)算阻抗運(yùn)算形式歐姆定律+U(s)-I(s)RsL1/sC運(yùn)算導(dǎo)納43.三、運(yùn)算電路模型運(yùn)算電路2.元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納1.電壓、電流用象函數(shù)形式3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示RRLLCi1i2E(t)+-RRLsL1/sCI

1(s)E/sI

2(s)+-時(shí)域電路44.時(shí)域電路例5Ω2F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iLt=0時(shí)打開開關(guān)uC(0-)=25ViL(0-)=5At>0運(yùn)算電路200.5s-++-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)45.求得：46.2.5應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路步驟：1.由換路前電路計(jì)算uC(0-),iL(0-)。2.畫運(yùn)算電路模型3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4.反變換求原函數(shù)。t=0時(shí)閉合k,求iL，uL。例1:200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL47.(2)畫運(yùn)算電路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL+-uL48.200/s300.1s0.5101000/s100/sIL(s)I2(s)49.(4)反變換求原函數(shù)50.求UL(s)UL(S)200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)51.例2+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ωt=0時(shí)翻開開關(guān)k,求電流i及電感的電壓解：52.10/s20.3s1.530.1sI1(s)ti523.750顯然：53.UL1(s)10/s20.3s1.530.1sI1(s)UL2(s)54.uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti1523.75055.小結(jié)：1.運(yùn)算法直接求得全響應(yīng)3.運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟：2.用0-初始條件，跳變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中1)由換路前電路計(jì)算uC(0-),iL(0-)。2)

畫運(yùn)算電路圖。3)

應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4)

反變換求原函數(shù)。56.補(bǔ)充3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)3-1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義3-2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)3-3極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖擊響應(yīng)3-4極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng)57.內(nèi)容提要

重點(diǎn)介紹網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其在電路分析中的應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)的概念，并討論極點(diǎn)和零點(diǎn)分布對時(shí)域響應(yīng)和頻率特性的影響等。58.3.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義電路在單一的獨(dú)立鼓勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)r(t)的象函數(shù)R〔S〕與鼓勵(lì)e(t)的象函數(shù)E〔S〕之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H〔S〕單個(gè)獨(dú)立源作用的線性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)假設(shè)E〔S〕=1，那么H〔S〕=R〔S〕,即h(t)=r(t)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)h(t)是電路的沖激響應(yīng)。測定對象的沖激響應(yīng)便可直接得到其控制模型〔網(wǎng)絡(luò)函數(shù)〕一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義59.二、單位沖激響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的關(guān)系零狀態(tài)

(t)h(t)e(t)r(t)假設(shè)h(t)，那么任意鼓勵(lì)e(t)產(chǎn)生的響應(yīng)r(t)：60.RC+_+_uS例：uCR1/sC+_+_Us(s)UC(s)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與鼓勵(lì)無關(guān)。61.1.驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納2.轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù))轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)U(s)I(s)三、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式62.例：求沖激響應(yīng)h(t),即uc(t)RC+uc

is該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗：63.3.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)〔一〕復(fù)頻率平面極點(diǎn)用“〞表示，零點(diǎn)用“。〞表示。

j

。64.。2

-3二、實(shí)例繪出其極零點(diǎn)圖.

j

j-j0例：65.極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同。3.3零、極點(diǎn)與沖擊響應(yīng)66.

j

極點(diǎn)的位置決定沖激響應(yīng)的波形極點(diǎn)和零點(diǎn)共同決定沖激響應(yīng)的的幅值

67.3.根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)分布情況分析響應(yīng)的變化規(guī)律。1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.全部極點(diǎn)在左半平面系統(tǒng)是穩(wěn)定的，只要有一個(gè)極點(diǎn)在右半平面系統(tǒng)不穩(wěn)定，極點(diǎn)在虛軸上是臨界穩(wěn)定。由上述分析可知：RLC串聯(lián)電路，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)例的極點(diǎn)分布情況分析uc(t)的變化規(guī)律+us-RLCuc+-t=068.解：+_CuCLR+_USt=069.

（1）當(dāng)時(shí)，一對共軛復(fù)根振蕩角頻率諧振頻率阻尼振蕩70.（3）當(dāng)時(shí)，兩