2023年高考第二次模擬考數(shù)學(xué)試卷-（北京B卷）（解析版）

2023年高考第二次模擬考試卷——數(shù)學(xué)（北京B卷）

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=i（2+i）,則z的共軌復(fù)數(shù)為（）

A.l-2iB.2-iC.l+2iD.-l-2i

K答案5D

K解析》依題意，Z=-l+2i,所以W=

故選：D.

2,若集合"蟲S'』B={x[l<x<3},則QB=（）

A.（1，4）B.（L2）C.（°"）D.（℃）

工答案1D

K解析DA=二"3=（0,3）

故選：D.

3.ABC中，“A為銳角”是“sinA>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

K答案2A

R解析』在SBC中,由“A為銳角”，易得"sinA>0”，

.丁A為銳角”是“sinA>0”的充分條件；

在，ABC中，由“sinA>0，，，不能得出“4為銳角”（如sinA=l>0,A為直角，實際上，當(dāng)

A?0，n）時，sinA>。恒成立），

.?.“為銳角”不是“44>0，，的必要條件；

綜上所述，“A為銳角”是“sin4>0”的充分不必要條件.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（*）是奇函數(shù)，且當(dāng)xN。時，/（》）=?—x,則"T）=（）

A.-4B.-2C.2D.4

（答案』C

K解析D因為〃x）是奇函數(shù)，所以〃U）=一“4）,

因為當(dāng)xNO時，〃x）=?-x,

所以〃4）="-4=-2,

所以〃U）=2.

故選：C.

5.某地區(qū)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明新生兒的實際出生日期與預(yù)產(chǎn)期的天數(shù)差'~"（0，。2）.已知

戶（04X45）=0.12,估計在io。個新生兒中，實際出生日期比預(yù)產(chǎn)期提前超過5天的新生

兒數(shù)（）

A.34B.36C.38D.40

R答案》c

工解析》因為X~N（0,『），且「（04X45）=0.12

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，則有*VXV0）=0.12,

歷以P（X<-5）=^-P（-5<x<0）=0.38

故100個新生兒中，實際出生日期比預(yù)產(chǎn)期提前超過5天的新生兒數(shù)為100x0.38=38.

故選：C.

6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記

錄于其重要著作《詳析九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等

差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成

等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項為：2,3,6,11,則該數(shù)列的第15項為（）

A.196B.197C.198D.199

K答案2C

K解析》設(shè)該數(shù)列為則4=2。=39=6,%=11；

由二階等差數(shù)列的定義可知，?2-?l=l,?3-a2=3,a4-a3=5,-

所以數(shù)列是以%=1為首項，公差"=2的等差數(shù)列,

即-一",,=2"-1,所以

生一q=1,

。3-。2=3,

4-。3=5，

%+1-勺=2〃-1

將所有上式累加可得勺+產(chǎn)q+〃2="2+2,所以％5=142+2=198；

即該數(shù)列的第15項為a5=198

故選：C

f(x)=2sin(x+-)sin(x+—)

7.下列是函數(shù)44圖像的對稱軸的是()

兀兀兀兀

x=-"x=—x=—x=—

A.6B.4c.3D.2

K答案》D

/W=2sin[(x+—)+—]sin(x+-^)=2sin(x+—)cos(x+—)=sin(2x+—)=cos2x

K解析》424442

顯然籃)=喈十*f和喏=。*±1,嗎=cos*±±1

/(■^)=COS7T=-1

/(x)=2sin(x+—)sin(x+—)x=-

所以函數(shù)44圖像的對稱軸的是2,ABC錯誤，D正確.

故選：D.

2

Cj:—―y=12_廠

8.已知雙曲線8的左焦點與拋物線0r2：y=以的焦點尸重合，。為拋物線G上

一動點，定點入(一5,2),則儂+如的最小值為()

A.5B.3c.4D,8

K答案2D

K解析》對于雙曲線.，。=2近，6=1,則cW+b=3,故點尸(TO),

所以，拋物線°?的方程為V=T2x,拋物線G的準(zhǔn)線為/:x=3,如下圖所示：

過點。作QB，/,垂足為點8,由拋物線的定義可得|QFg明，

所以，|QA|+|QF|=|QA|+|Q8|,當(dāng)且僅當(dāng)時，|Q4|+|Q8|取最小值為3+5=8

故選：D.

9.平面向量。，）滿足”=■,且|。叫=4,則。與。-匕夾角的正弦值的最大值為（）

1112

A.4B.3C.2D.3

K答案》B

K解析鼻如圖所示：設(shè)”=0A,b=OB,則a—力=8A,設(shè)|〃|=機，村=3，w,]＜加＜2,

：+222

;HH-M\9w+16—w_m+2*22夜

2網(wǎng)?網(wǎng)24m3+3m~\33m3

m_2ZO/lfiel0,1

當(dāng)可一藐，即機=夜時等號成立，故

當(dāng)cosNtMB最小時，sinNOAB最大,

rii

故。與“一〃夾角的正弦值的最大值為丫9=3

故選：B

10.如圖，在圓柱°。中，AB為底面直徑，E是AB的中點，。是母線8c的中點:，M是上

底面上的動點，若舫=4,5c=3,且腔，4）,則點”的軌跡長度為（）

C

C

B

E

355/7

A.2B.萬C.4D.4

K答案1C

K解析》連接°E,作ON,AO,交CF于點、N,

E

「￡是48的中點，，?！阓1M，

BCJ?平面ABE,OEu平面ABE,:.BC±OE,

ABcBC=B,AB，BCu平面ABb,

.?.0丘_1_平面48（才，又ADu平面4BCF,

:.OELAD,又ON工AD,OEON=O,OE,ONu平面ONE,

.■.AD_L平面ONE,

設(shè)平面ONE與上底面交于P0,ME_LAL>,.?.點〃的軌跡為P。；

他=4,BC=3,O是母線BC中點，

tanZ.BAD=tanZ.O.ON==-

AB8,

9

.??O、N=OO|?tanRON=-

8,

?"2上(冷平

故選：C.

第1［卷

二、填空題：本題共5個小題，每小題5分，共25分.

,x+l

y=lg-------

II.函數(shù).2-x的定義域是.

K答案》(T2)

K解析』由題意得嚏匚>,即(X+1)(2T)>°,解得

故定義域是(T，2).

故K答案』為：(T，2)

12.(l-x)'(l+2?的展開式中到2的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

K答案X-48

K解析》(l-x)4(l+2)')’的展開式中盯°的系數(shù)，是Ox)4的展開式中x的系數(shù)與(1+2/’的

展開式中工的系數(shù)之積，

即U.(_l)xC”=-48

故K答案》為：T8.

13.隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司

員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為

￡21211

§虧而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為結(jié)果這一天他遲到

了,在此條件下，他自駕去上班的概率是.

15

K答案》37

K解析》法1：由題意設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，

事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，

P(A)=P(8)=P(C)=!，P(D|A)=1，P(03)=［尸(。］0=1

則3456.

P(D)=P(A)尸(￡>IA)+P(B)P(DlB)+P(C)P(D|C)=-x|I4-I4-I］

3\456)

小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是

.一1V一1

尸⑷0=^^=P(A)PSM)=—3-^__="

產(chǎn)(0P(D)1fl1037

3(45,

p=——i——=—

1+1+137

法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率456,

15

故K答案11為：37.

14.對于三次函數(shù)/(力=加+62+5+〃(4*0),給出定義：設(shè)/'(x)是函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，

?T(x)是1(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程一(力=°有實數(shù)解％,則稱點■，〃不))為函數(shù)，=/(力的

“拐點經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且

=—x2+3x--f(x\

“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)八,3212,則八町的拐點為，

1232022

++f

2023202320232023

［答案》12)2022

fZ\_J_3_J.J-2-LV__

K解析］/rr212,故/'(x)=x2-x+3,廣(x)=2x-l,

令"。)=0,解得：5,而⑶，

故函數(shù)/(X)的對稱中心坐標(biāo)是12).

由于函數(shù)f3的對稱中心為(51)，則函數(shù)圖像上的點(⑼關(guān)于(5的對稱點

(l"2—〃x))也在函數(shù)圖像上，即〃1)=2-/(x).

???/（I-x）+/（%）=2

d1-20M23J+心12023J1+（/20023+J+,（2竿023）］=

吟/㈡+/”+...+產(chǎn)L

2|_（2023）（2023）（2023）（2023）（2023）（2023）\

=1（2x2022）

2022

故K答案』為：12）,2022.

15.如圖，某市一學(xué)校H位于該市火車站。北偏東45°方向，且0"=4夜km,已知ON是

經(jīng)過火車站。的兩條互相垂直的筆直公路，CE，。廠及圓弧CD都是學(xué)校道路，其中

CE〃。尸〃CW,以學(xué)校〃為圓心,半徑為2km的四分之一圓弧分別與CE,O尸相切于點

CD.當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)AOB區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟，其中4B分別在公路OM,ON上，且與圓

弧CD相切，設(shè)NOAB=0,_AOB的面積為Skm2.

（1）求s關(guān)于"的函數(shù)R解析力式：.

（2）當(dāng)。=時，408面積S為最小，政府投資最低?

5=2,2(而。+3。)-112招.03n

sin0cos(2)

K答4

K解析D解：（1）以點。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則"（44）,在Rt/XABO

中，設(shè)4?=/,又NOAB=，，故。4=/cose08=/sin夕

_^+_2L.=1

所以直線AB的方程為/cos。/sin。gpxsin^+ycos6?-/sin6?cos6>=0

因為直線AB與圓”相切，

|4sine+4cos6-/sin0cose|、

-------/-------2

所以vsin20+cos2<9(*)

因為點”在直線AB的上方，

所以4sin，+4cose-/sin〃cos6>0,

.4(sin0+cos0)-2

I=------------------------

所以（*）式可化為4sin'+4cos夕一/sin夕cos夕=2,解得sin。cos。

?4(sin0+cos0)-2八入4(sin6+cos。)一2

QA=----------------(JB=------------------------

所以sin6cos0

S=12(smU+cos，)一1]-gejo,巴]

所以面積為2sinOcos?I2)

(2)令"2(sin，+cos0)_l,則,訪%斕二寧江

t=2(sin，+cos6)-l=2^2sin(夕+：)一1w(1,2及一1]

且

16

S=2----------

7+2/-33~2~~

?+7+1re(l,2^-1]

所以8

12點+1一2夜+1]

m=-￡2

g(m)=-3m+2m+1=-3機-gI;

令i3,所以g(機)在L廠1上單

調(diào)遞減.

2&+1

m=----------

所以，當(dāng)7，即時,g("D取得最大值,S取最小值.

e=-

所以當(dāng)4時，一AO8面積S為最小，政府投資最低.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.如圖，在銳角ABC中，'一區(qū)，A8=3而，AC=6,點。在BC邊的延長線上，且8=10.

(1)求4CB；

(2)求A8的周長.

B=±

解：(1)在他。中，4,AB=3娓,AC=6,

a床也

ABAC./…AB-sinB石

由正弦定理可得sinsinB,故一AC一6一2,

ZACB=-

因為一/WC是銳角三角形，所以3.

ZACB=-ZACD=—

(2)由(1)得3,所以3.

ZACD=—

在...A8中，AC=6,8=10,3,

AD=VAC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=J62+102-2x6x10x|-1U14

所以N12).

所以ACO的周長為6+10+14=30.

17.在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學(xué)”活動，此活動為學(xué)生提供了

多種網(wǎng)絡(luò)課程資源以供選擇使用.活動開展一個月后，某學(xué)校隨機抽取了高三年級的甲、乙

兩個班級進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時間，將樣本數(shù)據(jù)分成⑶與，4,5),

[5,6),[6,7),[7,8]五組，并整理得到如下頻率分布直方圖:

(1)已知該校高三年級共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該校高三年級每天學(xué)

習(xí)時間達(dá)到5小時以上的學(xué)生人數(shù)；

(2)已知這兩個班級各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個班級每天學(xué)習(xí)時間不足4小時的學(xué)生中

隨機抽取3人，記從甲班抽到的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記甲、乙兩個班級學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差分別為R,2,試比較"與2的大小.(只

需寫出結(jié)論)

解：(1)由甲班的統(tǒng)計數(shù)據(jù)知：甲班學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間在5小時以上的頻率為

0.5+0.25+0.05=0.8,

由此估計高三年級學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間達(dá)到5小時以上的頻率為。8,人數(shù)為600x0.8=480

人，所以估計該校高三年級每天學(xué)習(xí)時間達(dá)到5小時以上的學(xué)生人數(shù)480.

(2)依題意，甲班自主學(xué)習(xí)時長不足4小時的人數(shù)為：40x005=2人,

乙班自主學(xué)習(xí)時長不足4小時的人數(shù)為：40x0.1=4人，

X的可能值為：°』，2,

蛆=0)41P(x=l)=隼1=|尸(x=2)=等

所以X的分布列為：

X012

J_3

P

555

131

E(x)=0x-+lx-+2x-=1

x的數(shù)學(xué)期望為555.

(3)甲班學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)為

孑=0.05x3.5+0.15x4.5+0.5x5.5+0.25x6.5+0.05x7.5=5.6,

甲班學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差為

D、=0.05x2.12+0.15xl,l2+0.5x0.12+0.25x0.92+0.05xl.92=0.815

乙班學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)為

x,=0.1x3.5+0.15x4.5+0.3x5.5+0.25x6.5+0.2x7.5=5.8

甲班學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差為

D,=0.1x2.32+0.15x1.32+0.3x0.32+0.25x0.72+0.2x1.72=1.505,所以。＜2

18.如圖所示，已知三棱臺AB。-AAG中，嘰/AB&=NC8A=6°°,

AB±BC,BB,=1

(1)求二面角的余弦值；

(2)設(shè)￡、尸分別是棱AC、的中點，若打工平面A8C,求棱臺人次~的體積.

解：（1）因為4片,8瓦，CB,1BB,；所以二面角的平面角為NA8C

因為/ABB|=NCB4=60。，BB、=1,所以做=C4=J§,AB=CB=2.

因為A8JBC,所以AC=2忘.因為4c'=AB：+CB：-2A81.C4.cosNABC,

所以3,故二面角A-B3「C余弦值為3.

（2）因為ABC-AqG是三棱臺，所以直線AA、BBICG共點，設(shè)其交點為。

因為E、尸分別是棱AC、4G的中點，所以直線EF經(jīng)過點o.

因為4片18瓦，CB,±BBAB。仇=旦且A綜u面AB，所以8耳，面他右

tX。

又E8|U面A/C,所以BBI上EBI

因為EB=6,%=1,所以NB解=45。.

因為平面ABC,EBu平面ABC,所以防J_￡B,

EF=BB.-sinZEBB.=-

所以2,0E=EB=6r,,故F為°E的中點.

___2v_Z_Lnr&_7&

三棱臺ABC-44C的體積v=v°-ASC-v=0%-詼=8X3X^XLac=N

19.如圖，已知拋物線一=4），，點4在拋物線上，且在第一象限，以點N為切點作拋物線

的切線/交x軸于點8,過點8作垂直于/的直線/'交拋物線于C,。兩點，其中點C在第

一象限，設(shè)/'與y軸交于點K.

（1）若點/的橫坐標(biāo)為2,求切線/的方程.

（2）連結(jié)OC,OE?,AK,AC,記△OK￡>,Z\OKC,A4KC的面積分別為$,$2,53,求S21s2

的最小值.

解：（1）根據(jù)題意，有42,1）,且在A處的切線的斜率存在，

\y=k[x-2）+\

設(shè)切線方程為，=MX-2）+1,由W=4y可得/-4丘+弘-4=0,

由A=16--32&+16=0解得2=1,故切線的方程為：X-"1=0.

（2）設(shè)”（金，4廠）?>0）,同⑴可得/：2fx-y-4/=0,

進(jìn)而8（2力0）,從而/'：x+2）-2f=0,因此K（0,l）.

[x+2ty-2t=0

設(shè)C（4團,4“）,。（4〃,4〃）由[x2=4ynj^rx2+2x-4r=0,

1

。mn=——,

4/24

4/zi+4〃=-J

<t1

..."2+〃=-----,

故[4〃?x4〃=-4即〔2t

-^-=2=--2+12-（w+/7）2-1

CAn------Z--------------——T-

因此設(shè)力機，顯然久>1,貝IJ義mnt2,

一"+于

解得2產(chǎn)，

務(wù)=如9=也±±竺回=4r+1

且由點到直線的距離公式$2"（O，K0|0+2r-0-2r|,

邑四』=（4入1）.11<11=（6+嗟2=2|；+'2匕8

因此$23尸12產(chǎn)s[s）

—K

其中S=J"+1-1,等號當(dāng)S=1即2時取得，因此所求最小值為8.

20.設(shè)函數(shù)/（*）=/+依Tnx（aeR）

（1）若"=1,求函數(shù)y="x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（外在區(qū)間（°』上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;

（3）過坐標(biāo)原點。作曲線＞=/（"）的切線，證明：切線有且僅有一條，且求出切點的橫坐

標(biāo).

解：（1）。=1時,/（6=爐+乂_］必＞0）,

.（x）=2/1-工=（2、二3廿I）0）

???XX,

...當(dāng)T叼［r（H＜o(jì),〃x）為單調(diào)減函數(shù).

當(dāng)xe（j,+oo）,./'V）＞0,為單調(diào)增函數(shù).

z、foAlf-,+oo^

.?.八町的單調(diào)減區(qū)間為I2）,單調(diào)增區(qū)間為12）.

⑵?.?”"S+y,“X）在區(qū)間（°』上是減函數(shù)，

r（x）（o對任意xw（。/］恒成立，

即"+""1’°對任意“?0,1］恒成立，

令屋力二:一2、則』（％,

J__

因為函數(shù)‘一=一‘=-2'x在（°』上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)g（x）在（°』上單調(diào)遞減，二g（%＞=g0）=T,

.?QT；

（3）設(shè)切點為

\1

/（X）=2x4-6/——

由題意得X,

._f（r）=2f+a-；

/.曲線在點切線方程為'一'⑺,

y-（r+ar-lnr）=|2r+a--|（x-z）

即It）.

又切線過原點,

0-z2-tzr+lnr=（2/+〃」）（0一.）

整理得產(chǎn)+ln"l=O,

設(shè)夕（，）=r+im-1Q>O）

則”（，）=〃+；>0（，>0）恒成立，夕⑺在（0,+功上單調(diào)遞增，

又9。）=0,

；.夕（。在（°，+8）上只有一個零點，即r=i,

.??切點的橫坐標(biāo)為1,

切線有且僅有一條，且切點的橫坐標(biāo)為1.

21.定義圈數(shù)列X：孫孫523）；x為一個非負(fù)整數(shù)數(shù)列，且規(guī)定當(dāng)?shù)南乱豁棡閮Γ?/p>

記/=x”X"“=為，這樣x*的相鄰兩項可以統(tǒng)一表示為“1，k*=123,…,〃（芯的相鄰兩

項為玉，%,即％,%；4的相鄰兩項為.定義圈數(shù)列X做了一次P運算：選取一項

-2,將圈數(shù)列X變?yōu)槿?shù)列P（X）：士,孫，4T+1,%-2,%1+1,即將4減2,相鄰

兩項各加1,其余項不變.并記下標(biāo)k輸出了一次.記X進(jìn)行過i次P運算后數(shù)列為x,：

七,"42,「（規(guī)定X（）=X）

（1）若X：4,0,0,直接寫出一組可能的、”、2，*3，、4；

（2）若進(jìn)行g(shù)次P運算后①>°）,有'=乙，此時下標(biāo)〃輸出的總次數(shù)為《,記