數(shù)學分析-十-定積分應用

第十章定積分應用0xyay=f(x)bx+dxx12/10/20231.定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實際問題引起和推動的。因此定積分的應用也非常廣泛。本書主要介紹幾何、物理上的應用問題，例如：平面圖形面積，曲線弧長，旋轉體體積，水壓力，抽水做功，引力等。第一節(jié)定積分的元素法一、問題的提出如何應用定積分解決實際問題_____微元法：12/10/20232.回顧

曲邊梯形面積A的計算過程：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,有總量A對于[a,b]具有區(qū)間可加性,計算

Ai的近似值得A的近似值(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.n個部分量Ai的和.ab0xyy=f(x)即A可以分割成12/10/20233.把上述步驟略去下標，改寫為：(1)分割.(2)近似.(3)求和.(4)求極限.計算

A的近似值xx+dx這種方法通常稱為微元法或元素法面積微元用

A表示[x,x+dx]上的小曲邊梯形的面積，取微元任取一個具有代表性的小區(qū)間

[x,x+dx](區(qū)間微元)，12/10/20234.若總量U非均勻分布在變量x的某個區(qū)間[a,b]上;總量U有可加性.

(1)求微元局部近似得dU=f(x)dx(2)求全量微元積分得應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．可用微元法的條件步驟12/10/20235.(1)整體問題轉化為局部問題；(2)在局部范圍內(nèi)，以常代變，以直代曲；微元法的實質(3)取極限(定積分)由近似值變?yōu)榫_值。12/10/20236.例1.寫出長為l的非均勻細直棒質量的積分表達式，任一點的線密度是長度的函數(shù)。解:建立坐標如圖,oxlxx+dx設任意點x的密度為step1.step2.下面用微元法討論定積分在幾何，物理中的一些應用。微元法(ElementMethod)12/10/20237.第二節(jié)定積分在幾何上的應用一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長12/10/20238.平面圖形的面積一、直角坐標系情形二、極坐標系情形三、小結思考題12/10/20239.曲邊梯形的面積由y=f1(x)和y=f2(x)圍成的面積:一、直角坐標系情形12/10/202310.解3)面積元素2)選x為積分變量,解方程組即這兩個拋物線的交點為：xx+dx1)求出兩拋物線的交點.12/10/202311.討論：由左右兩條曲線x

j左(y)與x

j右(y)及上下兩條直線y

d與y

c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為面積元素dA=[j右(y)

j左(y)]dy,選積分變量,12/10/202312.12/10/202313.解兩曲線的交點選為積分變量y+dyy12/10/202314.如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積12/10/202315.解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．12/10/202316.

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

二、極坐標系情形曲邊扇形是由曲線r

(

)及射線

,

所圍成的圖形.圖形是曲邊扇(梯)形如何化不規(guī)則為規(guī)則以圓扇形面積近似小曲邊扇形的面積，得到面積元素：

12/10/202317.

(

)

+d

.dA.r=

(

)o.r

d

面積元素以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：曲邊扇形的面積

12/10/202318.例4:計算阿基米德螺線

r=a

(a>0)上相應于

從0到2

的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.ox

r=a

2a解:取極角

為積分變量,變化區(qū)間為[0,2

],取小區(qū)間[

,+d]，則面積元素12/10/202319.12/10/202320.解利用對稱性知心形線也稱圓外旋輪線2a12/10/202321.12/10/202322.12/10/202323.求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）三、小結12/10/202324.立體體積一、旋轉體體積二、已知截面面積的立體體積三、小結思考題12/10/202325.

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺一、旋轉體的體積12/10/202326.如何計算黃瓜的體積？旋轉體的體積為12/10/202327.解直線方程為12/10/202328.直線方程為12/10/202329.解星形線也稱：圓內(nèi)旋輪線12/10/202330.xyoa–a0

2或.P

.一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。.星形線(圓內(nèi)旋輪線)12/10/202331.12/10/202332.12/10/202333.12/10/202334.例4求橢圓，分別繞X軸、Y軸、直線y=-c旋轉一周所得旋轉體的體積。12/10/202335.解12/10/202336.12/10/202337.12/10/202338.如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.二、已知截面面積的立體的體積12/10/202339.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立體.aV平行截面面積為已知的立體的體積b12/10/202340.oyRxxy–RR....ytan

問題：還有別的方法嗎？(x,y),截面積A(x).例5：半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。.12/10/202341.oyRx–RR方法2.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。12/10/202342.oyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面積S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。12/10/202343.hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.例6：求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。y12/10/202344.旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉一周繞軸旋轉一周繞非軸直線旋轉一周三、小結12/10/202345.平面曲線的弧長一、平面曲線弧長的概念二、直角坐標情形三、參數(shù)方程情形四、極坐標情形五、小結12/10/202346.一、平面曲線弧長的概念12/10/202347.弧長元素弧長二、直角坐標情形12/10/202348.解所求弧長為sl12/10/202349.解所求弧長為12/10/202350.曲線弧為弧長三、參數(shù)方程情形12/10/202351.解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長12/10/202352.曲線弧為弧長四、極坐標情形12/10/202353.解分部積分法12/10/202354.解12/10/202355.直角坐標系下參數(shù)方程情形下極坐標系下五、求弧長的公式小結：12/10/202356.第三節(jié)定積分的物理應用一、變力、變距離作功二、水壓力三、引力四、小結12/10/202357.用元素法12/10/202358.建立坐標軸如上圖所示,提示：根據(jù)物理學,在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中,距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為：12/10/202359.問題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點移動到b點，求變力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上

W

dW=F(x)dx2）將dW從a到b求定積分，就得到所求的功F(x)F(x)12/10/202360.F由物理學知道,一定量的氣體在等溫條件下,壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k

,即12/10/202361.解建立坐標系如圖這一薄層水的重力為功元素為(kN

m)kJ把這一薄層水抽出水池所作的功等于克服這一薄層重量所作的功12/10/202362.例4修建一座大橋墩時，先要下圍囹，并且抽盡其中的水以便施工，已知圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m,求抽盡水所作的功。xxdx273200分析（如下圖）建立坐標系：

12/10/202363.因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功，所以功元素為：解建立坐標系如圖這一薄層水的重力為于是在[3,30]上，抽盡水所作的功為：xxdx273200xxdx273200O在水面12/10/202364.解：建立坐標系如圖需計算薄片的寬度12/10/202365.問題：水的壓力是如何產(chǎn)生的？水有重量，所以水也會對與其接觸的物體產(chǎn)生壓力，水的壓力來自水中的四面八方。水壓的強度和水的深度有關，愈深則水的壓強愈大。問題：水庫的堤壩為什么上邊窄，下邊寬？12/10/202366.如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一側所受的水壓力為：P

p·A如果這個平板鉛直放置在水中，那么，由于水深不同，不同點處壓強p不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算．12/10/202367.y12/10/202368.y12/10/202369.例6解如圖建立坐標系,此閘門一側受到靜水壓力為12/10/202370.其中G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質點連線方向．如果要計算一根細棒對一個質點的引力，那么，由于細棒上各點與該質點的距離是變化的，且各點對該質點的引力的方向也是變化的，就不能用上述公式來計算．更重要的是向量不能求和相加！12/10/202371.這是引力dF的方向不隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形。12/10/202372.由對稱性知,引力在鉛直方向分力這是引力dF的方向隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形,應將引力dF分解為dFx和dFy后再分別用定積分計算12/10/202373.12/10/202374.尤其是如何在具體問題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手無策，不知如