9.2.3 向量的數(shù)量積-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第二冊(cè)）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁9.2.3向量的數(shù)量積【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一兩向量的夾角與垂直1.夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向.2.垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.考點(diǎn)二向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.考點(diǎn)三投影向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.考點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.考點(diǎn)五平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【題型歸納】題型一：向量的數(shù)量積的定義和幾何意義1．（2022·高一課）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．22．（2022春·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末）已知向量，在方向上的投影向量為，則（

）A．4 B．8 C． D．3．（2022春·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．4題型二：數(shù)量積的運(yùn)算4．（2023·高一）下列式子中，正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．5．（2022·高一）已知平面向量均為非零向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則6．（2022春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形內(nèi)放置5個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形，其中，，，在矩形的邊上，且為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．5 D．7題型三：數(shù)量積和模關(guān)系問題7．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．48．（2022春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）向量，的夾角為120°，且，，則等于（

）A．2 B． C． D．9．（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┮阎蛄浚瑵M足，，則向量，的夾角為（

）A． B． C． D．題型四：向量夾角的計(jì)算10．（2022春·陜西渭南·高一?？计谀┮阎?，，，則與的夾角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°11．（2022春·廣西·高一校考期中）已知平面向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．12．（2022春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知平面向量，滿足，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．題型五：垂直關(guān)系的向量表示13．（2022春·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京·高一北京二中?？茧A段練習(xí)）已知非零向量與滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．15．（2022春·陜西榆林·高一榆林市第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚膴A角為，且，，則（

）A． B． C． D．題型六：已知模求參數(shù)或數(shù)量積問題16．（2022春·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知向量是非零向量，λ、，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件17．（2022春·全國(guó)·高一期末）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（

）A． B． C．2 D．18．（2022春·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）已知向量滿足：，若，的最大值和最小值分別為，則等于（

）A． B． C． D．題型七：數(shù)量積的綜合問題19．（2023·高一單元測(cè)試）已知，，與的夾角為．求：(1)；(2)；(3)．20．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谥校┮阎?，，．(1)求；(2)求的值．21．（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)校）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若是線段的中點(diǎn)，，求的值；(2)若，，求解.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量、滿足，則（

）A． B． C． D．23．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）正方形的邊長(zhǎng)為1，則（

）A．1 B．3 C． D．24．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“”為銳角是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件25．（2022春·安徽淮南·高一淮南市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則（

）A． B． C．5 D．2526．（2022·高一單元測(cè)試）己知為的外接圓圓心，若，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．27．（2022春·廣東江門·高一臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中）已知平面向量，，，，且與的夾角為．(1)求(2)若與垂直，求k的值．28．（2022春·上海浦東新·高一校考期末）已知向量?的夾角為，且，設(shè)，.(1)求；(2)試用來表示的值；(3)若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【高分突破】一、單選題29．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2022春·河南濮陽·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上且滿足，則等于（

）A． B． C． D．31．（2021春·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習(xí)）已知向量，對(duì)任意的，恒有，則（

）A． B．C． D．32．（2022春·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P是正八邊形的內(nèi)部（包含邊界）任一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．33．（2022春·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到的圖象，的部分圖象如圖所示，若，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題34．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）下列說法中正確的有（

）A．已知在上的投影向量為且，則；B．已知，且與夾角為銳角，則的取值范圍是；C．若非零向量滿足，則與的夾角是.D．在中，若，則為銳角；35．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）邊長(zhǎng)為2的等邊中，為的中點(diǎn).下列正確的是（

）A．B．C．D．36．（2022秋·江蘇鹽城·高一濱?？h五汛中學(xué)校考階段練習(xí)）已知非零平面向量，，，則說法正確的是（

）A．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使 B．若，則C． D．若，則37．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為38．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為39．（2022春·山東臨沂·高一校考階段練習(xí)）已知非零平面向量滿足，，其中.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題40．（2023·高一單元測(cè)試）已知為單位向量，，而在方向上的數(shù)量投影為－2，則______．41．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出以下結(jié)論：①；②；③；④或；⑤．其中正確的序號(hào)是______．42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若，，則______．43．（2022春·湖北襄陽·高一襄陽五中?？茧A段練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則__________．44．（2022春·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)校考期中）已知平面向量滿足，則的最大值是__.四、解答題45．（2022春·吉林白城·高一?？计谀┮阎橇阆蛄颗c滿足，且(1)若，求向量的夾角.(2)在（1）的條件下，求的值.46．（2022春·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）已知向量滿足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．47．（2022春·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量滿足，且．(1)求與的夾角；(2)求向量在向量上的投影．48．（2021春·山東·高一階段練習(xí)）在中，a、b、c分別為角A，B，C的對(duì)邊，平面內(nèi)點(diǎn)O滿足，且．(1)證明：點(diǎn)O為三角形的外心；(2)求的取值范圍．49．（2022春·山西晉中·高一?？计谀┮阎蛄繚M足.(1)求關(guān)于的解析式；(2)求向量與夾角的最大值；(3)若與平行，且方向相同，試求的值.【答案詳解】1．A【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結(jié)論.【詳解】在方向上投影向量為，，.故選：A2．C【分析】根據(jù)投影向量與投影之間的關(guān)系可知在方向上的投影為，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】由得，根據(jù)在方向上的投影向量為，可知在方向上的投影為，故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，等于與在方向上的投影的乘積，故，故選：C3．C【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)【詳解】，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)為故選：C4．C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，?dāng)共線時(shí)，才有，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若且時(shí)，則，而不一定相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，即，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.5．A【分析】由共線向量、相等向量、向量的數(shù)量積依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由可得同向，又分別表示方向上的單位向量，故，A正確；對(duì)于B，，兩者不一定相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，只能得到模長(zhǎng)相等，方向不確定，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，成立，但不成立，D錯(cuò)誤.故選：A.6．D【分析】由題圖，利用向量數(shù)乘、加法的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求目標(biāo)式的值.【詳解】由題圖知：，，，所以，由，，故.故選：D7．B【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：B8．D【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)榈膴A角為120°，且，，所以，所以.故選：D9．C【分析】對(duì)等式兩邊平方即可求得夾角.【詳解】，，即，即，又，，解得，，所以.故選：C10．C【分析】利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】，因?yàn)?，所以，與的夾角是120°.故選：C11．A【分析】利用向量垂直的性質(zhì)、向量的模長(zhǎng)公式以及夾角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.12．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以；故選：C13．A【分析】化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)得，從而得到的最大值【詳解】，因?yàn)?，，所以，，所?又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為36+6.故選：A14．C【分析】根據(jù)向量垂直的條件及向量的夾角公式即可求解.【詳解】由，得，即，又，所以，因?yàn)?，所?所以與的夾角為.故選：C.15．C【分析】先利用向量垂直得到，再結(jié)合模長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而利用平面向量的夾角的余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】由，得，即．又由，得，則，所以，即．故選：C.16．A【分析】根據(jù)得，兩邊平方化簡(jiǎn)即可得即或，由此即可判斷．【詳解】若，則，兩邊平方可得，即，即，即或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．17．B【分析】由取得最小值得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由得，由配方可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，故，則，因?yàn)?，故．故選：B.18．D【詳解】分析：由已知可得，設(shè)，則，結(jié)合，可得y1=±3，不妨取=（，3），設(shè)=（x，y），結(jié)合=0，可得x，y所滿足的關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合得答案．詳解：因?yàn)?，，∴，?﹣2，∴，設(shè)，則且∴y1=±3，不妨取=（，3）．設(shè)=（x，y），則=（1﹣x，﹣y），=（﹣x，3﹣y），由題意=0，∴（1﹣x）（﹣x）﹣y（3﹣y）=0，化簡(jiǎn)得，x2+y2﹣﹣3y+=0，即則點(diǎn)（x，y）表示圓心在（），半徑為的圓上的點(diǎn)，如圖所示，則=的最大值為m=|OC|+r=，最小值為n=|OC|﹣r=．∴m+n=．故答案為：D點(diǎn)睛：(1)本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的解法方法．(2)解題的關(guān)鍵是求出=（x，y）的軌跡,求出它的軌跡,后面求它的最大值和最小值就迎刃而解了.19．(1)3(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可得到答案；（2）將式子展開化簡(jiǎn)，結(jié)合向量的模和數(shù)量積即可得到答案；（3）先將化為，進(jìn)而展開化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，與的夾角為，所以；（2）由（1），所以；（3）由（1），所以.20．(1)(2)【分析】（1）用平面向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.（2）用公式，展開即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，即，又，所以?）21．(1)；(2)4.【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示出來，從而可求出，進(jìn)而可求出的值；（2）根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將，用表示出來，再由列方程可求出.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，不共線，所以，所以；（2）由題意可得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，得，所?22．B【分析】由兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，化?jiǎn)可得，又、為非零向量，故，故選：B.23．D【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合正方形中垂直關(guān)系及邊長(zhǎng)即可求解.【詳解】在正方形中，如圖所示,，故選：D.24．A【分析】根據(jù)充分不必要條件的概念，平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可判斷．【詳解】向量，是兩個(gè)單位向量，由為銳角可得，，反過來，由兩邊平方可得，，，，不一定為銳角，故“為銳角”是“”的充分不必要條件，故選：A．25．C【分析】利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合題給條件即可得到關(guān)于的方程，進(jìn)而得到的值【詳解】由，可得由，可得又，則，解之得故選：C26．A【分析】根據(jù)已知條件判斷出三角形的形狀，從而計(jì)算出在上的投影向量.【詳解】依題意三角形的外接圓圓心為，，即，所以是的中點(diǎn)，即是圓的直徑，且，又，，所以，所以，∴，所以在上的投影向量為.故選：A.27．(1)(2)【分析】（1）利用向量的平方等于模長(zhǎng)的平方和數(shù)量積公式求解即可；（2）利用向量垂直數(shù)量積為0求解即可.【詳解】（1）由題意可得，所以.（2）因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得.28．(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.（2）利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.（3）根據(jù)與的夾角為鈍角列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）.（2）.（3）由于與的夾角為鈍角，于是且與不平行.其中，而，于是實(shí)數(shù)的取值范圍是.29．B【分析】利用正八邊形的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐一分析各個(gè)命題即可求解.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榘诉呅螢檎诉呅?，所以，所以與的夾角為，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，顯然不成立，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，所以，，所以，③正確；對(duì)于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.30．C【分析】由是的中點(diǎn)可知：，則，由此即可計(jì)算出答案.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,又因?yàn)?，，所以所?故選：C.31．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由可得，又，令則上式等價(jià)于，對(duì)任意的恒成立，故，解得，解得，即；對(duì)A：由，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故，C正確；對(duì)D：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯(cuò)誤.故選：C.32．B【分析】先求出在方向上的投影的取值范圍，再由數(shù)量積的定義求出的取值范圍即可.【詳解】如圖，作的延長(zhǎng)線于M，的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)正八邊形的特征，可知，于是在方向上的投影的取值范圍為，結(jié)合向量數(shù)量積的定義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，又，∴的最大值為，的最小值為．則的取值范圍是.故選：B．33．B【分析】先利用向量的數(shù)量積求得的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得的最小正周期，從而求得的值.【詳解】由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可知，由，可得，又，所以，由圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可知，所以的周期為12，則的周期為6，則，故選：B．34．AC【分析】結(jié)合投影向量的概念以及平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)，結(jié)合平面向量數(shù)量積和向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)平面向量夾角的公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C選項(xiàng)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義即可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)與的夾角為，又因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，即，所以，故A正確；因?yàn)?，則，又因?yàn)榕c夾角為銳角，所以，且與不共線，即，解得，所以則的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方得，即，所以，即，因此，又因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，故，因此為鈍角，故D錯(cuò)誤，故選：AC.35．ACD【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項(xiàng)ABD，再由向量數(shù)量積公式可判斷C.【詳解】根據(jù)向量加法法則可知，，故A正確；根據(jù)向量減法法則可得，故B錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積公式得，故C正確；根據(jù)向量加法法則可知，，所以D正確.故選：ACD.36．BC【分析】假設(shè)與共線，與，都不共線，可判斷A；根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示及向量共線的概念可判斷B；向量的數(shù)量積的定義可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積法則，可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，若與共線，與，都不共線，則與不可能共線，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，因?yàn)椋?是非零平面向量，若，則，，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋蔆正確；D選項(xiàng)，若，則，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.37．BD【分析】根據(jù)已知條件求得的夾角以及數(shù)量積，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對(duì)任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯(cuò)誤；對(duì)：，故正確；對(duì)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)：，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故的最小值為，故正確.故選：.38．BC【分析】利用向量的模長(zhǎng)公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.【詳解】，,,解得,故A錯(cuò)誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤,故選：BC39．BC【分析】根據(jù)題意求得且，以及，設(shè)，求得，則，列出不等式組，求得的取值范圍，利用，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，可得且，由，其中，所以，設(shè)，可得，即，代入上式，可得，即，解得，則，又由且，解得或，因?yàn)椋O(shè)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合選項(xiàng)，可得的值可能為和.故選：BC.40．4【分析】利用投影公式以及向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題知，，，所以，解得：.故答案為：4.41．⑤【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和