2023版高三一輪數(shù)學復習習題（新高考人教版）：練案44　第七章　第六講　空間向量的應用

練案［44］

第六講空間向量的應用

:A組基礎鞏固

一、單選題

1.（2022?東北三省四市教研聯(lián)合體模擬）已知正方體ABCO-ABCQ,。為底面ABC。

的中心，M,N分別為棱AQi，CG的中點，則異面直線與ON所成角的余弦值為（C）

A?專VTo

5

。15

［解析］

解法一：如圖，設8|MCAiG=H,在A4i上取點P,使4P=54i,連尸H、AG、PM,

易知PH〃4C〃0N,.;/M/yP（或其補角）即為81M與ON所成的角，設正方體的棱長為6,

I—lMH2+PH2~PM2J15

則尸〃=行，PH=2小r,MH=鄧,:.cosNMHP=-----2PHMH-----=15->故選C.

解法二：以。為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設正方體的棱長為2,

所以有￡>(0,0,0),0(1,1,0),Bi(2,2,2),M(l,0,2),N(0,2,1),

因此麗=（—1,-2,0）,而=（—1,1,1）,

設異面直線BiM與ON所成角為a,

所以cosa—二^

|曲?|麗

|(-1)X(-1)+(-2)X1+OX1|

一4(-1)2+(—2)2+027(—1)2+12+12

V15

-15,

故選c.

2.(2022弓可南平頂山階段測試)已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊

三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直線48與平面SBC所成角的正弦值為(D)

A西B正

4D'4

C亞D3

J4u'4

［解析］解法一：如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),8(小，1,0),C(0,2,0),5(0,0,3)

則詼=(一小，1,0),元=(0,2,-3),

設平面S8C的法向量為〃=(羽y,z),

(_f_近

\n-BC=-yl3x+y=0\x~3v

不妨取〃=(S，3,2),又祐=(<§,1,0)

—?

記AB與平面SBC所成角為仇則sin8=也組生=含=*故選D.

M\AB\4X24

解法二：設點A到平面SBC的距離為d,則HS-ABC=；X3X,X4="§.

因為AS_L平面ABC,ABU平面ABC,故4s_LA8,

故SB=A/22+32=V13-

同理sc=或4手=小，

,,13+13—411

故cos/CSB=2xQkF，

而/CSBG（O,兀），

所以sinNCSB=唔,

故VA-SBC=W><小拉木^X5小,故.故選D.

3.（2021.黑龍江哈爾濱期末）三棱柱ABC—48G的底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直,

若AB=2,44產(chǎn)1,則點A到平面AiBC的距離為（B）

A近B亞

d4D?2

C.乎D.y/3

I解析］如圖建立空間直角坐標系，則筋尸（0,0,1）,4=（小，1,-1）,祝=（0,2,

-1）.

設平面48C的法向量為〃=（x,y,z）f

n-A\B=yf3x+y—z=0,

則，_不妨取z=2,

、〃?AiC=2y-z=0,

則x=^~>y=1?**?n=,1,2),

；.A到平面A\BC的距離1=嗓用=坐.故選B.

注：本題也可用等體積法求解.設A到平面AiBC的距離為兒??,以］-43。=以一ABC,

.近_絲,=近

0*33',h2?

4.如圖所示，在三棱柱ABC-481G中，A4i與棱AC、A8所成角均為60。，NBAC=

90。且有4B=4C=A4i，則48與4G所成角的余弦值為（A）

//Bt

近

［解析］解法1：如圖將三棱柱補成平行六面體，連CQ,AD,則CQ〃A8.

；.NAG?；蚱溲a角為A由與AG所成的角記為8,設AB=2.

則由條件易知AG=2小，AD=2?GO=2.

（2?。?2?—（2爽》小

.*.cosZAC|D=故選A.

2X2小X2

解法2：設AB=a,AC=b,AA［=c,且AB=2,

則由題意知。"=0,ac=2=bc,

又崩=a-c,AC=b+c,|/hB|=2,A7"=25.

.|成族J|（a—c）?『+c）|4蛆

.?c|他?尼J4小=琬=3?

故選A.

5.（2022?河南安陽模擬）二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,8。分別在這個二面角的

兩個半平面內(nèi)，且都垂直于A8.已知A2=4,AC=6,BO=8,CD=2y［17,則該二面角的大

小為（C）

A.150°B.45°

C.60°D.120°

［解析］由條件，知8?矗=0,ABBD=0,O）=CA+AB+BD,.\!cb|2：:=|CA|2+|AB|2

+\BD\2+2CAAB+2ABBb+2CABb^62+^+82+2X6XScos（.CA,訪〉=（2忻）2,.,.cos

<CA,=一5，（CA,BD>=120。，二二面角的大小為60。，故選C.

二、多選題

6.（2020?山東濟南期末）給定兩個不共線的空間向量Q與6,定義叉乘運算；“></>.規(guī)定：

①。義力為同時與a,5垂直的向量；②a,b,aXb三個向量構成右手系（如圖1）；③|aXb|=

|a||Z||sin〈a,b）.如圖2,在長方體ABCD—AiBCOi中,AB=AD=2,AA<=4,則下列結(jié)論

正確的是（ABD）

A.ABXAb=AAt

B.ABXAD=ADXA^

C.(AB+^XAA^ABX^+ADXAAi

D.長方體48CD—A出iGOi的體積V=（AfiXAb）CCi

I解析I由叉乘運算定義知A正確；ABXAD=-ADXAB,B錯誤；（而+Ab）X扇產(chǎn)危

XAA\=ADB,由|/X筋1|=|九訪|知2啦X4sin90°=2啦九；"=4,二（贏+?。┝x看尸4加

（i）.同理可知Qx后|=4而，ADXAAi=4AB,：.ABXAAi+ADXAAl=4（DA+AB'）=4DB

（ii）,由（i）、（ii）知C正確.又（筋><&>>G'i=|BxAb|.|Gi|=|BH俞卜1左||=丫長方體

ABCD-A\B\C\D\,D正確，故選ABD.

7.（2022.河北質(zhì)檢）如圖，是直四棱柱ABC。一ABCQi,底面ABC。是邊長為1的正方

形，側(cè)棱A4i=2,點E,F,H分別為棱。。1，D\C\,3以上的中點，則下列結(jié)論中一定正

確的是（ABC）

A.點尸在平面E4B|內(nèi)

B.直線GH與平面BOGS所成的線面角為看

C.G”〃平面EAB\

D.異面直線AS與CiH所成的角為方

［解析］

J，

如圖，連接EF,DC\,因為點E,F均為中點，故EF//DG,又。G〃AB“所以￡F〃

AB\,又EG平面EABi,所以EFU平面E4Bi,所以點尸在平面E4B|內(nèi)，故A正確；如圖

建立空間直角坐標系，由題意知AC1?平面B￡)A8|,...平面的法向量”=(-1,1,0),

—?

又死=(-1,0,1),記G”與平面BOD出所成角為仇則sin8=吧閭="次=':

\HC\\\n\義

JT—>—?

=亨故B正確；又4E=(-1,0,l)="G,：.AE//HC\,又HCZ平面EABi,〃平面

?A

EABi,C正確；又QI=(0,1,2),記ABI與CI”所成角為a,則cos=y

lABdlWCil5*小

^.，.aW5，故D錯，.,.選ABC.

8.(2021.全國高考卷)在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA]=\,點P滿足標=7慶'+

其中，目0,1],〃00,1],則(BD)

A.當幾=1時，△ABiP的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-48C的體積為定值

C.當2=3時，有且僅有一個點P，使得4P，8尸

D.當〃時，有且僅有一個點P,使得4B_L平面ABiP

I解析I

易知，點尸在矩形8CGB內(nèi)部(含邊界).

對于A,當2=1時，BP=BC+fiBB]^BC+fiCCi,

即此時PG線段CC|,△AB|P周長不是定值，故A錯誤；

對于B,當“=1時，

BP=kBC+BB\^BB\+/U?7Ci,

故此時P點軌跡為線段BiG,而BiG〃BC,BiG〃平面ABC,則有「到平面48c的

距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；

1—?1—?—?

對于C,當時，BP=]BC+"BB1,取BC,

BICI中點分別為Q,H,則而=麗+〃麗，所以尸點軌跡為線段Q4,不妨建系解決，

建立空間直角坐標系如圖，Ai惇，0,1）,P（0,0,〃），

《0,0）,則4>=（一坐0,1）,

BP—（Q,一；，〃），471?麗=〃（//—1）=0,所以〃=0或〃=1.故H,。均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=3時，BP=ABC+^BBI,取CG中點為M,N.BP=BM+kMN,所以

P點軌跡為線段MM

設乂0,州，J）,因為4（半，0,0）,

所以淳=（一坐，yo,￡）,

&=（一坐,一1）,所以3+50-3=00）'°=—3,此時2與N重合，故D正確.故

選BD.

三、填空題

9.（202卜河北承德期末）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，ZBAD=60°,PC平面

ABCD,且PO=AB,點E是棱AD的中點，尸在棱尸C上.若PF：FC=1：2,則直線EF

與平面ABCZ）所成角的正弦值為嗜.

[解析1如圖，以。點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系。一砂Z.

y

AxB

設菱形ABC。的邊長為2,

則￡＞（0,0,0）,《坐，-1,0）,F（0,I，I）,

所以際=（一坐,l，I）

又平面ABC。的一個法向量為n=（0,0,1）,

即直線M與平面ABC。所成角的正弦值為生善.

10.（2021?山東棗莊期末）如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PA1AB,PCLBC,ABLBC,AB

=2BC=2,PC=y[5,則朋與平面ABC所成角的大小為45。；三棱錐P-ABC外接球的

表面積是67t.

[解析J如圖，作POJ_平面ABC于O,連04,OC,則NB4O即為出與平面ABC所

成的角.

AB±PO,

平面PAO,從而ABLAO,

同理8cl.cO,又AB_LBC,

四邊形A8C0為矩形，又由題意易知P8=#,PA=yf2,AO=\,PO=\,

：.ZPAO=45°,即B4與平面ABC所成角為45。，又PB為三棱錐P-ABC外接球的直

徑，

.'.S賺=4?r（半）2=6兀.

四、解答題

11.（2022.河北石家莊質(zhì)檢）在直四棱柱ABCO-ABiGd中，四邊形ABC。為平行四邊

形，"為A4的中點，BC=BD=l,A8=A4i=，l

(1)求證：歷。J_平面8DG；

(2)求二面角M-BCi—D的余弦值.

I解析I(1)因為BC=8D=1,CD=AB=巾.

可得BC2+BD2=CD2,

:.BDLBC,又。￡)」平面ABCD

：.AD,DB、￡>￡>i兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標系,則￡)(0,0,0),8(0,1,0),G(—1,1,

例,《1,0,

(l)VDMDB=0,DMBCt=0,

：.DM±DB,DMLBC\,又DBCBCi=B,

平面BDC\.

(2)設平面CiBM的一個法向量為〃=(x,y,z),

BC\-n=-x-\-\[2z=0,

令z=45,則x=2,y=3,

故可取”=(2,3,也.

又由⑴知平面80cl的一個法向量為成=1,0,

記二面角M—BCi—D為e.

則由。尸皿=乎，

\DM\\n\

二面角M-8C|一。的余弦值為邛.

12.(2022.江蘇無錫、常州、蘇州、鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC—ASG中，AABC

是邊長為2的等邊三角形，平面A8C_L平面44山|8,A\A=A\B,NAjAB=60。，。為AB的

中點，M為AICI的中點.

(1)求證：0M〃平面BBiCiC；

(2)求二面角G—84—C的正弦值.

［解析］(1)證明：連接CO,A|O,由題意得CO_L平面AtOlAB,

以。為原點，OA為x軸，。4為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系,

則。（0,0,0）,4（0,小，0）,修（一2,小，0）,C（0,0,?。?，《一/小，2J,8（—1,0,0）,

礪=（一/小，明,防尸（一1,小,0）,病=（1,0,?。?/p>

設平面B81GC的法向量。=（x,y9z）,

*

a-BB\=—x+小y=0

貝川-，

。病=x+小z=0

x=y［3,得“=（'\/§,1,—1））

?而=一竽+小一彳=0,OMQ平面BBiCiC,

；.OM〃平面BBiCiC.

(2)Ci(-l,小，小)，扇尸(1,小，0),心=(1,0,小)，沅i=(0,小，小),

設平面A12G的法向量"=(x,y,z),

nBAi=x+y[3y=0

則j一，

[n-BC]=小丁+小z=0

=

Mxy[39得〃=—1,1）＞

設平面AiBC的法向量機=（mb,c）,

mBAi=a+y[3b=0

叫_，

,mBC=a+y[3c=0

取。=小，得根=（小，—1,—1）,

設二面角Ci—BA]—。的平面角為e,

前夕制.川33

則8$。二而而=而樂=亍

4

二面角G-BAi-C的正弦值為亍

注：（1）證法二：為4cl的中點，

：.OM=^AB+BC\+QM

1―?—?—?I—?—?

=函+3的,

：.0M,BB\,反■共面，

又0Mq平面BBCC,

；.0M〃平面881cle

證法三：取81G的中點N,連MN,BN,

又M為AiG的中點,

又。為AB的中點,

BO

：.MN^BO,即四邊形OMNB為平行四邊形,

：.OM//BN,

又BNU平面BBCC,OMQ平面BBCC,

；.OM〃平面BB\C\C.

證法四：連AM并延長交CG的延長線于N,連BN,由題意易知△AAMgaNGM,

:.AM=MN,即"為AN的中點.

又。為AB的中點，：.OM//BN,

又BNU平面BBC1C,OM4平面BBCC,

；.OM〃平面BB\C\C.

證法五：取48的中點N,連MN,ON.

VO,M分別為AB,4。的中點,

易知MN〃BCi,ON//BB},

又MN4平面BBiCiC,〃平面BB\C\C.

c

同理ON〃平面BBiCiC,

又ONCMN=N,

二平面OMN〃平面BBiCiC,

；.OM〃平面BBiCiC.

(2)解法二：由題意知VA\-BCC\=^VABC-A\B\C\=\.

又SZXAiBC=琴，

/.Ci到平面A/C的距離用，

又Cl到4B的距離”=年，

記二面角C]—84]一。的平面角為3,

則sin6=,=^^義去=*,

aD\15。

4

即二面角C—84—C的正弦值為亍

13.(2022?安徽蕪湖質(zhì)檢)如圖，在圓柱。。2中，矩形ABCQ是圓柱。。2的軸截面，點

F在上底面圓周上(異于￡>,O，點E為下底面圓弧方的中點，點F與點E在平面ABCQ

的同側(cè)，圓柱。。2的底面半徑為1，高為2.

(1)若點尸是圓弧不｝的中點，證明：平面。平面8CE；

(2)若N￡)0/=?求直線OF與平面CQE所成角的正弦值.

E

［解析］(1)證明：..?點E為下底面圓弧48的中點，點F為上底面圓弧OC的中點,

J.BE//CF,

,.,OC是圓01的直徑，J.DFLCF,BPDFLBE,

?.?8C_L圓面。:.BCLDF,

又CBCEB=B,平面BCE,

'：U平面DEF,：.平面DEF1,平面BCE.

(2)以。2為坐標原點，分別以。2以OB。2。1所在直線為X、y、Z軸建立空間直角坐標

系Oi—xyz.

則鳳1,0,0),C(0,l,2),0(0,-1,2),

ZDO\F=^,2),得講=(坐，0),

無=(1,-1,-2),CD=(0,-2,0),

設"=(x,y,z)為平面COE的一個法向量，則

nCE=x—y—2z=0

,取z=1,得”=(2,0,1).

ji-CD——2y=0

設直線。尸與平面C￡>E所成角為e,

故sin6=|cos〈"，DF)|=」'＞以-=^^.

同?防

B組能力提升

1.(2022?廣東惠州調(diào)研)在四棱錐P—A8C。中，側(cè)面雨￡＞，底面A8CD,底面4BCO為

直角梯形，BC//AD,ZADC=90°,BC=CD=\,AD=2,PA=PD=^3,E為A￡)的中點，

尸為PC的中點.

(1)求證：物〃平面BEF；

(2)求二面角F-BE-A的余弦值.

［解析］(1)連接AC交BE于N,并連接CE,月V,

'：BC//AD,BC=^AD,E為A。的中點，

：.AE//BC,SLAE=BC,

：.四邊形ABCE為平行四邊形，

：.N為AC中點，又尸為PC中點，J.NF//PA,

；NFU平面BEF,平面BE凡

二南〃平面BEF.

(2)連接PE,由E為A力的中點及物=尸力=小，

得PE±AD,則PE=y［2,

?.?側(cè)面以。，底面ABC，且交于A。，

:.PE上面ABCD,

如圖所示，以E為原點，EA,EB、EP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,

則E(0,0,0),A(1,0,0),8(0,1,0),C(-1,1,0),P(0,0,也).

?.?尸為PC的中點，I，乎),

.?.誦=(o,i,o),珠=(一看由，

設平面E5尸法向量為JH=(X,y,z),則

｝廊=。-+)'+°=°

,引1,I,^2八

[mEF=02z=0,

取m=(、R,0,1),平面EB4法向量可?。?=(0,0,1),

設二面角F—BE—A的大小為仇顯然6為鈍角，

.-.cos^-lcos%〃尸一黑=一當，

...二面角F—BE—A的余弦值為一坐.

2.(2022.河北張家口模擬)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA=PB=AB,AD//BC,且N

PBC^2ZPAD=90°.

(1)求證：平面以DJ_平面ABC。；

(2)求平面PAB與平面P8C所成銳二面角的余弦值.

［解析］(1)證明：如圖，在平面APD內(nèi)，過點P作垂足為“，連接BH

因為NP2C=90。，所以P2_LBC,

因為4D〃8C,所以P8J_AO,

因為尸8cpH=P,所以AZ)_L平面P//8,

所以AD_L”B,

因為PA^PB=AB,

所以PH=7*-AH2=y]AB2-AH2=BH.

又NB4D=45°,所以PH=BH=AH=^P,

得PB2^PH2+BH2,即PH1BH.

因為A￡)nBH="，所以P”，平面ABCD

因為PHU平面抬￡）,所以平面力。J_平面ABCD

(2)由(1)知PH_L平面ABC。，BHLAD,

所以以H為原點，以所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設以=也，則PH=AH=BH=T,

所以4(0,0,0),A(1,0,0),8(0,1,0),「(0,0』),

所以辦=(-1,0,1),通=(0,1,-1),AH=(-1,0,0).

設平面B48的一個法向量為”=（.，yi,zi）,

ivAP=0—xi+zi=0

則1_得'

,yi-zi=0

jiPB=0

令為=1,則yi=zi=l,所以

設平面PBC的一個法向量為機=（及，”，Z2）,

m-AH=0J一及=0

則1.得■I

mPB=0[y2~Z2=0

令>2=1,則Z2=l,X2=0,所以，〃=(0,1,1).

mn2___亞

所以cos(m,n)

~\m\\n\~y[2Xy[?>~3>

故平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值為乎.

3.（2022?浙江金色聯(lián)盟百校聯(lián)考）如圖，平面48coJ_平面。BNM,且菱形ABC。與菱形

DBNM全等,且/MDB=ND4B,G為MC中點.

（1）求證：平面GB。〃平面AMN；

（2）求直線AD與平面AMN的所成角的正弦值.

I解析］⑴連接AC交QB于E,連接GE,易知GE〃AM.

因為GE4平面AMN,AMU平面AMN,

所以GE〃平面AMN.

又MN//BE,同理可證BE〃平面AMM

又因為BEQGE=E,所以平面G8￡>〃平面AMN.

(2)(幾何法)連接ME,由菱形ABCD與菱形DBNM全等且/D4B,

可得出AD=AB=8￡),DM=BD=MB.

所以ME_L8。，又平面ABC。_L平面。BMW且相交于BQ,

所以ME_L平面ABCD.

由ME_L8。，又AC_LB。且ACCME=E,

所以BD_L平面AMC,平面GBO_L平面4MC,

過C作CF_LGE,所以CF_L平面GB。，

連接BF,由AO〃BC,

所以NCBF即為直線A。與平面GB。的所成角.

由(1)平面GBE〃平面AMN,

NCBF即為直線AD與平面4WV的所成角.

由題意有A￡)=AB=B。，ND48=60。.

在直角三角形M4E中，ME=AE,

所以NMAE=45。，則NGEC=45。

所以CF=^CE,又在直角三角形OEC中，ZEDC=60°,

所以CE^-BC,

易知CF=*CE=*BC,

所以sinNCBF="^=乎.

則直線AO與平面AMN的所成角的正弦值為乎.

(2)(坐標法)連接ME,由菱形ABCD與菱形DBNM全等且NMDB=NDAB,

可得出A￡>=AB=8O,DM=BD=MB.

所以ME_L8。，又平面A8CD_L平面MN8O且相交于3￡>,

所以MEJ_平面ABCD.

則可以以CA為x軸，03為y軸，EM為z軸，建立空間直角坐標系，令AB=2,

z

N

則A(小，0,0),0(0,-1,0),"(0,0,■),8(0,1,0),MO,2,小)，從而俞=(一小，0,

小)，病=(一小，2,