新北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊同步培優(yōu)練習(xí)全冊全集

第一章勾股定理1探索勾股定理第1課時勾股定理知識點一認識勾股定理精練版P1我們可以通過求網(wǎng)格中大正方形的面積來探索勾股定理．在求正方形網(wǎng)格中大正方形的面積時，一般采用數(shù)格子和圖形割補兩種方法：數(shù)格子時，直接數(shù)出大正方形內(nèi)部所包含的完整的小方格的個數(shù)，將不足一個方格的部分進行適當(dāng)拼湊，拼出若干個完整的小方格，將它們相加即可；圖形割補時，通常是將圖形分割成幾個格點三角形和幾個網(wǎng)格正方形，再將所分割成的各三角形和網(wǎng)格正方形的面積求出來相加即可．勾股定理的定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.例1如圖①，在直角三角形外部作出3個正方形．(1)正方形A中含有________個小方格，即A的面積是________；(2)正方形B中含有________個小方格，即B的面積是________；(3)正方形C中含有________個小方格，即C的面積是________；(4)如果用SA，SB，SC分別表示正方形A，B，C的面積，那么它們之間的關(guān)系是：______________；(5)如圖②中是否仍然存在著這樣的關(guān)系？解析：通過觀察、拼湊可以直接得出圖中A，B，C三個正方形的面積及它們之間的關(guān)系，再按照同樣的方法計算圖②中幾個正方形的面積，發(fā)現(xiàn)同樣滿足這個關(guān)系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)SA＋SB＝SC(5)圖②中，SA′＝1，SB′＝9，SC′＝10，所以仍然有SA′＋SB′＝SC′.知識點二勾股定理的簡單應(yīng)用精練版P11．已知直角三角形的兩邊求第三邊．2．已知直角三角形的一邊，確定另兩邊的關(guān)系．3．證明線段的平方關(guān)系．例2如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了________米的路，卻踩傷了花草．解析：根據(jù)勾股定理求得AB的長，再進一步求得少走的路的米數(shù)，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5米，所以他們僅僅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2課時勾股定理的驗證及其應(yīng)用知識點一勾股定理的驗證精練版P2勾股定理的證明方法較多，中外數(shù)學(xué)史上關(guān)于勾股定理的證明一般是用拼圖法來驗證的．一般步驟如下：拼出圖形→找出圖形面積的表達式→建立等量關(guān)系→恒等變形→推導(dǎo)出勾股定理．如圖(1)．因為S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×eq\f(1,2)ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如圖(2)．因為S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×eq\f(1,2)ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如圖(3)．因為S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以eq\f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝2×eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2，整理，得a2＋b2＝c2.知識點二勾股定理的應(yīng)用精練版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三邊之間的關(guān)系．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，則斜邊AB稱為弦，較短直角邊BC稱為勾，較長直角邊AC稱為股，BC2＋AC2＝AB2.這就是勾股定理．2．應(yīng)用勾股定理時要注意：(1)勾股定理成立的前提條件是“直角三角形”，在銳角三角形和鈍角三角形中不存在這一結(jié)論．(2)應(yīng)用勾股定理時應(yīng)分清直角邊與斜邊．在一些Rt△ABC中，斜邊未必是c.(3)應(yīng)用勾股定理進行計算時，若沒有明確直角邊與斜邊，應(yīng)分類討論．例1“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為()A．3 B．4C．5 D．6解析：觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積－4個直角三角形的面積，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．因為(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因為大正方形的面積為13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面積為13－8＝5.故選C.答案：C易錯點沒有明確直角邊和斜邊用勾股定理時，若題目沒有指明誰是斜邊，應(yīng)按未知邊是斜邊或是直角邊兩種情況分類討論．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：當(dāng)AB為斜邊時，AB2＝AC2＋BC2＝225；當(dāng)AB為直角邊時，AB2＝BC2－AC2＝63.所以AB2為225或63.注意：此題易錯誤地認為AB2＝225.原因是沒有分清AB邊是直角邊還是斜邊，只是模糊地記住了勾股定理的原形，而沒有注意到題目中并沒有給出明確的條件．因此，對于此類問題我們應(yīng)該分情況討論．2一定是直角三角形嗎知識點一勾股定理的逆定理精練版P3如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．(此判別條件也稱為勾股定理的逆定理)利用三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是不是直角三角形，把數(shù)與形有效地統(tǒng)一起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．溫馨提示：(1)在判別一個三角形是不是直角三角形時，a2＋b2是否等于c2需通過計算說明，不能直接寫成a2＋b2＝c2.(2)驗證一個三角形是不是直角三角形的方法是：當(dāng)(較小邊長)2＋(較大邊長)2＝(最大邊長)2時，此三角形為直角三角形；否則，此三角形不是直角三角形．例1判斷由線段a，b，c組成的三角形是否為直角三角形．(1)a＝4，b＝5，c＝6；(2)a∶b∶c＝3∶4∶5.解：(1)因為a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝36，a2＋b2≠c2，所以由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形．(2)設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k(k≠0)．因為a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，所以a2＋b2＝c2，所以由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形．知識點二勾股數(shù)精練版P3滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股數(shù)有無數(shù)組．一組勾股數(shù)中，各數(shù)的相同整數(shù)倍得到一組新的勾股數(shù)，如：3，4，5是勾股數(shù)，9，12，15也是勾股數(shù)．溫馨提示：勾股數(shù)必須都是正整數(shù)，如：0.3，0.4，0.5，盡管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它們都是小數(shù)，因而不是勾股數(shù)．例2判斷下列各組數(shù)是不是勾股數(shù)：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)；(4)3，－4，5.解析：判斷的時候，要緊扣兩個條件：(1)是否符合a2＋b2＝c2，即兩個較小數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方；(2)它們是不是正整數(shù)．解：(1)因為32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股數(shù)．(2)因為52＋122＝132，所以5，12，13是勾股數(shù)．(3)中的各數(shù)都不是正整數(shù)，所以這組數(shù)不是勾股數(shù)．(4)雖然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整數(shù)，所以這組數(shù)不是勾股數(shù)．注意：判斷勾股數(shù)的方法步驟：(1)確定三個數(shù)是正整數(shù)；(2)確定出最大數(shù)；(3)計算較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．易錯點運用邊的關(guān)系識別直角三角形時，忽視最大邊，從而造成判斷錯誤運用直角三角形的判別條件判斷一個三角形是否為直角三角形時，首先要確定最長邊，不能盲目地計算或想當(dāng)然地認為某一邊為最長邊．例3已知三角形的三邊長分別是m2－1，2m，m2＋1(m為大于1的自然數(shù))，試判斷這個三角形的形狀．解：因為(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形為直角三角形．注意：此題易認為2m為最大邊，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，從而得出三角形不是直角三角形的錯誤結(jié)論．在做此類題時，一定要找準(zhǔn)最大邊．3勾股定理的應(yīng)用知識點一確定幾何體上的最短路線精練版P5柱體和長方體的展開圖是一個長方形．求柱體或長方體上兩點之間最短距離，需要把柱體或長方體展開成平面圖形，依據(jù)兩點之間線段最短，以最短路線為邊構(gòu)造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一個圓柱形油罐，如圖所示，要從A點環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點的正上方B點，問梯子最短需要多長？(已知油罐的底面周長是12m，高AB是5m)解：將圓柱形油罐的側(cè)面沿AB剪開展成一個平面圖形，如圖所示，沿AB′建梯子最節(jié)省材料(兩點之間，線段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要繞著曲面建，因此最短路線應(yīng)將曲面展成平面后，再依據(jù)“兩點之間，線段最短”來確定．知識點二利用勾股定理解決生活中的長度問題精練版P5由勾股定理的知識，可以解決與直角三角形相關(guān)的一些實際問題．在解決實際問題時，應(yīng)具體問題具體分析，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理加以解決．勾股定理的逆定理主要用來說明一個三角形為直角三角形．在實際問題中，有些線段的求解、角的求解在很大程度上轉(zhuǎn)化為在直角三角形內(nèi)求解．因此，熟練地判斷一個三角形是否為直角三角形是首先要解決的問題．例2小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度．解析：根據(jù)題意尋找出繩子長度與旗桿高度之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程．解方程求得結(jié)論．解：設(shè)旗桿高x米，則繩長(x＋1)米．依題意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗桿的高度為12米．易錯點將長方體展開時，忽視展開方式不唯一對長方體來說，由于一般情況下，長、寬、高不相等，則展開得到的距離也不相同，故對此問題應(yīng)把可能出現(xiàn)的情況考慮全，分別計算，經(jīng)過比較求出最短距離．例3有一個長方體紙盒，如圖所示，小明所在數(shù)學(xué)小組研究由長方體的底面A點到長方體中與A點相對的B點的最短距離，若長方體的底面長為12，寬為9，高為5，請幫助該小組求出由A點到B點的最短距離．(參考數(shù)據(jù)：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：將四邊形ACDF與四邊形DCEB展開在同一平面，如圖(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由圖(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由圖(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因為340＜370＜466，所以最短距離為圖(2)所示線段AB的長度，AB≈18.44.注意：解決長方體相對頂點表面最短距離問題，要全面考慮，先將所有路線都找出來，避免出現(xiàn)漏解，再通過計算找到最短路線．章末知識匯總類型一勾股定理與面積的綜合應(yīng)用例1已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰直角三角形ADE，…，依此類推，第7個等腰直角三角形的面積是________，第n個等腰直角三角形的面積為________．解析：要求等腰直角三角形的面積，只需求腰長的平方即可．S1＝eq\f(1,2)·AB·BC＝eq\f(1,2)，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝eq\f(1,2)·AC2＝1，S3＝eq\f(1,2)·AD2＝2，S4＝eq\f(1,2)·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，Sn＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面積是腰長平方的一半，利用整體代換解決．整體代換是數(shù)學(xué)一種重要方法．類型二直角三角形判定方法的實際應(yīng)用例2如圖所示，點A是一個半徑為400m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B，C兩個村莊，現(xiàn)要在B，C兩村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連通，經(jīng)測量得AB＝600m，AC＝800m，問此公路是否會穿過該森林公園？請通過計算說明．解：因為AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.過點A作AD⊥BC，垂足為D.如圖所示．因為S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×AC＝eq\f(1,2)×AD×BC，所以AD＝eq\f(AB×AC,BC)＝eq\f(600×800,1000)＝480(m)．因為480m＞400m，所以此公路不會穿過該森林公園．注意：(1)根據(jù)“垂線段最短”只需計算最短距離．(2)求直角三角形斜邊上的高經(jīng)常用“等面積法”．類型三利用勾股定理解決實際生活中的最值問題例3如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河流l的同側(cè)，到河的距離分別為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A，B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬元，請你在河流l上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？解：如圖所示，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，交CD于點M，點M即為所求．連接AM，則MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延長線于點E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的費用為50×3＝150(萬元)．注意：(1)解決實際問題時，應(yīng)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(2)費用最少即要求管道最短，問題便轉(zhuǎn)化為“在直線CD同側(cè)有兩點A，B，試在CD上找一點M，使MA＋MB最小”．探究中要把握問題的實質(zhì)，注意問題的轉(zhuǎn)化．第二章實數(shù)1認識無理數(shù)知識點一非有理數(shù)的存在精練版P9整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了不是有理數(shù)的數(shù)，比如面積為5的正方形的邊長，設(shè)該正方形的邊長為x，則x2＝5，這里x既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，也就是說沒有一個有理數(shù)的平方是5，現(xiàn)實生活中存在著大量的不是有理數(shù)的數(shù)．例1以下各正方形的邊長不是有理數(shù)的是()A．面積為49的正方形B．面積為eq\f(9,16)的正方形C．面積為8的正方形D．面積為1.21的正方形解析：可設(shè)邊長為a(a＞0)，由A項得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B項得a2＝eq\f(9,16)，而eq\f(9,16)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)，所以a＝eq\f(3,4)；由D項得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C項得a2＝8，8不能寫成一個整數(shù)或分數(shù)的平方．答案：C知識點二估計數(shù)值的大小精練版P9用x表示正方形的邊長，若x2＝2，則x既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，我們可以用無限逼近的方法估計x的值，從而求出x的近似值．方法：因為1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整數(shù)位是1.又因為1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42與1.52之間，所以x的十分位上的數(shù)是4，用同樣的方法可以確定其他數(shù)位上的數(shù)．例2已知直角三角形的兩直角邊長分別是9cm和5cm，斜邊長是xcm.(1)估計x在哪兩個整數(shù)之間．(2)如果把x的結(jié)果精確到十分位，估計x的值．如果精確到百分位呢？用計算器驗證你的估計值．解析：此題首先根據(jù)勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪兩個完全平方數(shù)之間，其他數(shù)位依次類推．解：根據(jù)條件，得x2＝92＋52＝106.(1)因為100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整數(shù)10和11之間．(2)因為10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精確到十分位時，x≈10.3.又因為10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精確到百分位時，x≈10.30.注意：本題采用了無限逼近的方法，即將x的范圍逐漸縮小，使得x2越來越接近某個數(shù)，滲透了用有理數(shù)近似地表示無理數(shù)的思想．知識點三無理數(shù)的概念精練版P9無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．例如，圓周率π＝3.14159265…是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此它是一個無理數(shù)．再如，0.989889888988889…(相鄰兩個9之間8的個數(shù)逐次加1)也是無理數(shù)．溫馨提示：(1)無理數(shù)是一種與有理數(shù)不同的數(shù)，要區(qū)分“無限不循環(huán)小數(shù)”與“無限循環(huán)小數(shù)”的差別，前者不能化為分數(shù)，后者可以化為分數(shù)．事實上，有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示．反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)．(2)小數(shù)的分類：小數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(有限小數(shù),無限循環(huán)小數(shù)))有理數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)——無理數(shù)))例3eq\f(22,7)，0.eq\o(2,\s\up6(·))0eq\o(3,\s\up6(·))，－eq\f(π,7)，2.3131131113，－0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)中無理數(shù)的個數(shù)是()A．2個 B．3個C．4個 D．5個解析：－eq\f(π,7)，－0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)是無理數(shù)，eq\f(22,7)，0.eq\o(2,\s\up6(·))0eq\o(3,\s\up6(·))，2.3131131113是有理數(shù)．答案：A注意：π是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，－eq\f(π,7)不是分數(shù)，是一個無理數(shù)．易錯點錯把π當(dāng)成有理數(shù)，把無限循環(huán)小數(shù)當(dāng)成無理數(shù)π是無理數(shù)，無理數(shù)除以非零有理數(shù)仍是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，區(qū)別有理數(shù)與無理數(shù)時，應(yīng)注意觀察所給的數(shù)據(jù)．例4下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？0．1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)，－eq\f(119,180)，345.20eq\o(2,\s\up6(·))，eq\f(π,2).解：有理數(shù)：－eq\f(119,180)，345.20eq\o(2,\s\up6(·))；無理數(shù)：0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)，eq\f(π,2).注意：學(xué)生很容易把eq\f(π,2)看成有理數(shù)，以為它是分數(shù)，事實上，它是一個無理數(shù)．也很容易把345.20eq\o(2,\s\up6(·))看成無理數(shù)，錯誤原因是對無理數(shù)的概念認識不清，誤以為無限小數(shù)都是無理數(shù)，事實上，只有無限小數(shù)中的無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)．2平方根知識點一算術(shù)平方根的概念與性質(zhì)精練版P11定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為eq\r(a)，讀作“根號a”．溫馨提示：(1)特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，即eq\r(0)＝0.(2)負數(shù)沒有算術(shù)平方根，也就是說，當(dāng)式子eq\r(a)有意義時，a一定表示一個非負數(shù)．(3)eq\r(a)(a≥0)是一個非負數(shù)．例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：(1)400；(2)eq\f(25,36)；(3)13.解析：因為求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的運算與正數(shù)的平方運算是互逆的，所以我們可以借助平方運算來求這些數(shù)的算術(shù)平方根．解：(1)因為202＝400，所以400的算術(shù)平方根是20.(2)因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,36)，所以eq\f(25,36)的算術(shù)平方根是eq\f(5,6).(3)13的算術(shù)平方根是eq\r(13).注意：(1)在求a的算術(shù)平方根時，若a是有理數(shù)的平方，a的算術(shù)平方根就不帶根號；若a不是有理數(shù)的平方，a的算術(shù)平方根就帶有根號，如eq\r(13).(2)由于求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根常借助于平方運算，所以熟記常用完全平方數(shù)對求一個數(shù)的算術(shù)平方根有著事半功倍的效果．知識點二平方根的概念與性質(zhì)精練版P111．定義：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．2．性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根．溫馨提示：一個正數(shù)a必有兩個平方根，一個是a的算術(shù)平方根eq\r(a)，另一個是－eq\r(a)，它們互為相反數(shù)，這兩個平方根合起來可以記作±eq\r(a)，讀作“正、負根號a”．例2判斷下列各數(shù)是否有平方根．若有，求出其平方根；若沒有，請說明理由．(1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根據(jù)平方根的性質(zhì)判斷一個數(shù)是否有平方根；根據(jù)平方根的定義可直接化簡求值．解：(1)因為169＞0，所以169有平方根．因為(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±eq\r(169)＝±13.(2)因為(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因為(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±eq\r(（－1）2)＝±1.(3)因為(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3沒有平方根．注意：判斷一個數(shù)有沒有平方根，就是確定該數(shù)的性質(zhì)符號(是正數(shù)、負數(shù)或零)．知識點三開平方精練版P11定義：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)．溫馨提示：(1)開平方時，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)．(2)平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；而開平方是一種運算，是求平方根的過程．(3)平方和開平方的關(guān)系是它們互為逆運算，可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確．例3(1)(eq\r(16))2等于多少？(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(9,25))))eq\s\up12(2)等于多少？(3)eq\r(5.52)等于多少？(4)eq\r(（－2）2)等于多少？解析：從算術(shù)平方根的定義出發(fā)，可直接推出結(jié)果．解：(1)(eq\r(16))2＝42＝16.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(9,25))))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,25).(3)eq\r(5.52)＝eq\r(30.25)＝5.5.(4)eq\r(（－2）2)＝eq\r(4)＝2.知識點四eq\r(a2)與(eq\r(a))2(a≥0)的性質(zhì)精練版P111.eq\r(a2)＝|a|，即當(dāng)a≥0時，eq\r(a2)＝a，當(dāng)a＜0時，eq\r(a2)＝－a.2．(eq\r(a))2＝a(a≥0)．溫馨提示：(1)a的取值范圍不同，公式(1)中a的取值可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非負數(shù)．(2)運算順序不同，公式(1)中a先平方再開平方，而公式(2)中a先開平方再平方．例4求下列各式的值：(1)(eq\r(7))2；(2)eq\r(（－7）2)；(3)eq\r(（2－x）2)(x＞2)．解析：對于eq\r(a2)與(eq\r(a))2(a≥0)這兩種形式要注意區(qū)分．解：(1)(eq\r(7))2＝7.(2)eq\r(（－7）2)＝|－7|＝7.(3)因為x＞2，所以2－x＜0，所以eq\r(（2－x）2)＝|2－x|＝－(2－x)＝x－2.注意：運用eq\r(a2)＝|a|化簡時，一定要先判斷出a的符號，然后才能化簡．易錯點不完全理解題意而出錯若“算術(shù)平方根”和“平方根”兩個概念出現(xiàn)在一個題中，或在同一題中兩次出現(xiàn)同一概念，應(yīng)注意進行兩步運算．如：求eq\r(16)的平方根時，先要計算eq\r(16)＝4，再求4的平方根．例5eq\r(36)的算術(shù)平方根是________．解析：eq\r(36)＝6，6的算術(shù)平方根是eq\r(6)，所以eq\r(36)的算術(shù)平方根是eq\r(6).答案：eq\r(6)注意：本題易將eq\r(36)的算術(shù)平方根誤認為是36的算術(shù)平方根，而得到錯誤答案6.本題實際上是求6的算術(shù)平方根．3立方根知識點一立方根的概念與性質(zhì)精練版P131．立方根的概念：一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根或三次方根，例如：53＝125，則5是125的立方根．2．表示方法：數(shù)a的立方根用符號eq\r(3,a)表示，讀作“三次根號a”，其中a叫做被開方數(shù)，3是根指數(shù)．注意根指數(shù)“3”不能省略．3．立方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個正的立方根；負數(shù)有一個負的立方根；0的立方根是0.例1下列說法正確的是()A．eq\r(64)的立方根是2B．eq\f(125,216)的立方根是±eq\f(5,6)C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因為eq\r(64)＝8，所以eq\r(64)的立方根是2，故A選項正確．任何數(shù)只有一個立方根，排除B選項．正數(shù)的立方根為正數(shù)，故排除C，D選項．答案：A知識點二開立方精練版P131．定義：求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方，a叫做被開方數(shù)．開立方與立方互為逆運算．2．重要公式：①(eq\r(3,a))3＝eq\r(3,a3)＝a；②eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a).運用這兩個公式求負數(shù)的立方根時，可先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)即可，即三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面．例如：eq\r(3,－125)＝－eq\r(3,125)＝－5.例2求下列各數(shù)的立方根：(1)eq\r(3,0.064)；(2)eq\r(3,－27).解：(1)eq\r(3,0.064)＝eq\r(3,0.43)＝0.4.(2)eq\r(3,－27)＝eq\r(3,（－3）3)＝－3.知識點三立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系精練版P131．區(qū)別：(1)平方根的根指數(shù)是2，能省略，立方根的根指數(shù)是3，不能省略．(2)平方根只有對非負數(shù)才有意義，而立方根對任何數(shù)都有意義，且每個數(shù)都只有一個立方根．(3)正數(shù)的平方根有兩個，而正數(shù)的立方根只有一個．2．聯(lián)系：(1)都與相應(yīng)的乘方運算互為逆運算．(2)都可歸結(jié)為非負數(shù)的非負方根來研究，平方根主要通過算術(shù)平方根來研究，而負數(shù)的立方根也可轉(zhuǎn)化為正數(shù)的立方根來研究，即eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a).例3一個數(shù)的平方等于64，則這個數(shù)的立方根是________．解析：因為(±8)2＝64，所以這個數(shù)為±8，eq\r(3,±8)＝±2.答案：±2易錯點錯把eq\r(3,a)的立方根當(dāng)成a的立方根做開方運算時要認準(zhǔn)被開方數(shù)，如求eq\r(81)的立方根，被開方數(shù)是eq\r(81)，而不是81.例4eq\r(3,64)的立方根是________．解析：因為eq\r(3,64)＝4，所以eq\r(3,64)的立方根是eq\r(3,4).答案：eq\r(3,4)注意：本題容易把eq\r(3,64)的立方根誤以為是64的立方根，從而得錯解為4，解題時應(yīng)先求出eq\r(3,64)＝4，再求4的立方根．4估算知識點一估算法確定無理數(shù)的大小精練版P171．估算是現(xiàn)實生活中一種常用的解決問題的方法．很多情況下需要去估算無理數(shù)的近似值，估算無理數(shù)經(jīng)常用到“夾逼法”，即通過平方運算或立方運算，通過兩邊無限逼近，逐漸夾逼，確定其所在范圍．2．“精確到”與“誤差小于”的意義的區(qū)別：如精確到1m，是指四舍五入到個位，答案唯一；誤差小于1m，答案在其值左右1m都符合題意，答案不唯一．一般情況下，誤差小于1m就是估算到個位，誤差小于10m就是估算到十位．例1eq\r(870)≈40正確嗎？說明你的理由．解：因為402＝1600＞870，所以40＞eq\r(870)，且差別太大，所以eq\r(870)≈40不正確．知識點二比較兩個無理數(shù)的大小的方法精練版P171．估算法：用估算法比較兩個數(shù)的大小，一般至少有一個是無理數(shù)，在比較大小時，一般先采用分析的方法，估算出無理數(shù)的大致范圍，再作具體比較．例2比較eq\f(\r(10)－3,4)與eq\f(1,4)的大?。猓阂驗?＜eq\r(10)＜4，所以0＜eq\r(10)－3＜1，所以0＜eq\f(\r(10)－3,4)＜eq\f(1,4).2．求差法：若eq\r(a)－eq\r(b)＞0，則eq\r(a)＞eq\r(b)；若eq\r(a)－eq\r(b)＜0，則eq\r(a)＜eq\r(b).對于上例：因為eq\f(\r(10)－3,4)－eq\f(1,4)＝eq\f(\r(10)－4,4)＜0(因為3＜eq\r(10)＜4)，所以eq\f(\r(10)－3,4)＜eq\f(1,4).3．平方法(或立方法)：當(dāng)比較兩個帶根號的無理數(shù)的大小時可用如下結(jié)論：若a＞b≥0，則eq\r(a)＞eq\r(b)；若a＞b，則eq\r(3,a)＞eq\r(3,b).例3比較2eq\r(6)和3eq\r(3)的大小．解：因為(2eq\r(6))2＝24，(3eq\r(3))2＝27，所以2eq\r(6)＜3eq\r(3).易錯點比較兩個含根號的無理數(shù)的大小時，誤認為只比較被開方數(shù)的大小比較兩個含根號的無理數(shù)的大小，可以先確定它們的整數(shù)部分，進行比較，若無法比較，則再估計十分位后比較，直到得出結(jié)論為止．也可將兩數(shù)同時平方，比較平方后的數(shù)的大小即可得出結(jié)果．例4比較大?。?eq\r(7)與7eq\r(2).解：因為2＜eq\r(7)＜3，所以4＜2eq\r(7)＜6.因為7eq\r(2)＞7，所以2eq\r(7)＜7eq\r(2).[或(2eq\r(7))2＝28，(7eq\r(2))2＝98，28＜98，即2eq\r(7)＜7eq\r(2)]注意：解本題時易認為被開方數(shù)7大于2，而得到錯誤的答案2eq\r(7)＞7eq\r(2)，因為2＜eq\r(7)＜3，1＜eq\r(2)＜2，所以2eq\r(7)＜6，7eq\r(2)＞7，即2eq\r(7)＜7eq\r(2).因此比較兩個無理數(shù)的大小時要比較它們結(jié)果的大小，不能僅比較被開方數(shù)的大?。硗獗绢}中2與eq\r(7)，7與eq\r(2)之間是乘積的關(guān)系．5用計算器開方知識點一利用計算器開方精練版P18利用計算器開方按鍵順序：用計算器開方eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(開平方\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(先按“\r(□)”鍵,再輸入被開方數(shù),再按“＝”鍵)),最后按“eq\x(S?D)”鍵,開立方\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(先按“eq\x(SHIFT)”鍵,再按“\r(□)”鍵,再輸入被開方數(shù),最后按“＝”鍵))))例1用計算器求下列各式的值(結(jié)果精確到千分位)．(1)eq\r(3.1)；(2)eq\r(3,5).解：(1)按鍵順序：eq\x(\r(□))eq\x(3)eq\x(·)eq\x(1)eq\x(＝)eq\x(S?D)，顯示1.760681…因為結(jié)果精確到千分位，所以答案為1.761.(2)按鍵順序：eq\x(SHIFT)eq\x(\r(□))eq\x(5)eq\x(＝)，顯示1.709976…因為結(jié)果精確到千分位，所以答案為1.710.知識點二利用計算器進行較復(fù)雜的計算精練版P18此類問題要注意根號下相乘除(或相加減)的按鍵順序，切記“π”值的按鍵順序．例2求eq\r(5×6)－π的值．解：按照教材中型號的計算器的按鍵順序為eq\x(\r(□))eq\x(5)eq\x(×)eq\x(6)eq\x(?)eq\x(－)eq\x(SHIFT)eq\x(×)eq\x(10x)eq\x(＝)，則eq\r(5×6)－π的值顯示的結(jié)果為2.335632921.注意：使用計算器進行混合運算時，在運算過程中，要按照算式的書寫順序從左到右按鍵輸入算式，不同的計算器按鍵順序有所不同，如有的計算器按照eq\x(\r(□))eq\x(（)eq\x(5)eq\x(×)eq\x(6)eq\x(）)eq\x(－)eq\x(SHIFT)eq\x(EXP)eq\x(＝)的按鍵順序顯示2.335632921，按此方法按鍵要注意該加括號時加括號．易錯點在求和、差、積、商的算術(shù)平方根或立方根時易出錯在用計算器求和、差、積、商的算術(shù)平方根或立方根時，要注意按鍵順序，在不同型號的計算器中按鍵順序有所不同，有的要注意括號的作用，按鍵時要加括號．例3用計算器求eq\r(7＋1)的值．(精確到千分位)解：按鍵：eq\x(\r(□))eq\x(（)eq\x(7)eq\x(＋)eq\x(1)eq\x(）)eq\x(＝)eq\x(S?D)，顯示2.828427125，精確到千分位是2.828.注意：在求“和、差、積、商”的算術(shù)平方根、立方根時，特別容易出現(xiàn)錯誤，不同型號的計算器使用時按鍵順序不同，有的容易漏掉括號等導(dǎo)致答案錯誤．6實數(shù)知識點一實數(shù)的概念及分類精練版P191．實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2.實數(shù),的分類))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(按,定,義,分))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理數(shù)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(整數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正整數(shù),0,負整數(shù))),分數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正分數(shù),負分數(shù)))))\b\lc\(\a\vs4\al\co1(有限小數(shù),和無限循,環(huán)小數(shù))),無理數(shù)→無限不循環(huán)小數(shù))),按大小分\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正實數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正整數(shù),正分數(shù))),正無理數(shù))),零,負實數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(負有理數(shù)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(負整數(shù),負分數(shù))),負無理數(shù)))))))例1有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，當(dāng)輸入的x為64時，輸出的y是()A．8 B．eq\r(8)C．eq\r(64) D．eq\r(3)解析：輸入64，則輸出eq\r(64)＝8，8是有理數(shù)，第二次輸入8.輸出eq\r(8)，eq\r(8)是無理數(shù)．故選B.答案：B知識點二實數(shù)的相關(guān)概念精練版P19在實數(shù)范圍內(nèi)，一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣，即這些有理數(shù)中的概念在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用．因此可以類比理解：(1)a表示一個正實數(shù)，－a就表示一個負實數(shù)，a與－a互為相反數(shù)；(2)非零實數(shù)a一定有倒數(shù)，它的倒數(shù)為eq\f(1,a)，負倒數(shù)為－eq\f(1,a)；(3)如果a表示實數(shù)，那么|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))例2－eq\r(2)的相反數(shù)是________，絕對值是________，倒數(shù)是________．解析：－eq\r(2)的相反數(shù)為－(－eq\r(2))＝eq\r(2)，絕對值為eq\r(2)，倒數(shù)為eq\f(1,－\r(2))＝－eq\f(1,\r(2)).答案：eq\r(2)eq\r(2)－eq\f(1,\r(2))知識點三實數(shù)的運算與比較精練版P19實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用．如：eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(3)×eq\r(2)，eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)×\f(1,\r(2))))＝eq\r(3)，2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝(2＋3)eq\r(2)＝5eq\r(2).正數(shù)大于負數(shù)；正數(shù)大于0；0大于負數(shù)；兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而?。?比較下列各組數(shù)的大小：(1)－eq\r(3)＋1與－eq\r(5)＋1；(2)3eq\r(5)與2eq\r(11)；(3)eq\r(11)－eq\r(13)與eq\r(10)－eq\r(14).解析：(1)用作差法；(2)(3)用平方法．解：(1)因為(－eq\r(3)＋1)－(－eq\r(5)＋1)＝eq\r(5)－eq\r(3)＞0，所以－eq\r(3)＋1＞－eq\r(5)＋1.(2)因為(3eq\r(5))2＝45，(2eq\r(11))2＝44，所以3eq\r(5)＞2eq\r(11).(3)因為(eq\r(11)－eq\r(13))2＝24－2eq\r(143)，(eq\r(10)－eq\r(14))2＝24－2eq\r(140)，24－2eq\r(143)＜24－2eq\r(140)，所以eq\r(11)－eq\r(13)＜eq\r(10)－eq\r(14).知識點四實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系精練版P19實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系．也就是說，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)也都可以用數(shù)軸上的一個點來表示．在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大．例4在數(shù)軸上作出表示eq\r(13)的點．解析：作無理數(shù)eq\r(a)，通常需作直角三角形(或矩形)，應(yīng)用勾股定理求得斜邊為eq\r(a).解：因為eq\r(13)＝eq\r(32＋22)，所以兩直角邊分別為3和2.如圖中的點A.易錯點對實數(shù)的分類方法、概念不清楚導(dǎo)致錯誤無理數(shù)有三種表現(xiàn)形式：(1)含有根號且被開方數(shù)開方開不盡；(2)圓周率π及一些含有π的數(shù)；(3)無限不循環(huán)小數(shù)．例5在實數(shù)eq\r(3)，－eq\f(5π,4)，0，－3，－3.14，eq\r(25)中，無理數(shù)有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：eq\r(3)，－eq\f(5π,4)是無理數(shù)，故有2個無理數(shù)．答案：B注意：易將其中的－3.14和eq\r(25)誤認為是無理數(shù)而錯選C或D.或把－eq\f(5π,4)誤認為是分數(shù)而錯選A.實際上只有eq\r(3)和－eq\f(5π,4)是無理數(shù)．7二次根式第1課時二次根式的概念及性質(zhì)知識點一二次根式的概念及性質(zhì)精練版P211．定義：一般地，形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)．2．性質(zhì)：(1)eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))(2)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積．(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商．例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式．eq\r(2)，eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(x)(x＞0)，eq\r(4,2)，－eq\r(2)，eq\f(1,x＋y)(x≥0，y≥0)．解析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：①有根號“eq\r()”；②被開方數(shù)是正數(shù)或0(非負)．解：二次根式有：eq\r(2)，eq\r(x)(x＞0)，eq\r(0)，－eq\r(2)，eq\r(x＋y)(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：eq\r(3,3)，eq\f(1,x)，eq\r(4,2)，eq\f(1,x＋y).知識點二最簡二次根式的概念及其化簡精練版P211．最簡二次根式的概念一般地，被開方數(shù)不含分母，也不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式．2．化簡二次根式的方法在二次根式的計算中，如果一個二次根式不是最簡二次根式，應(yīng)根據(jù)有關(guān)的運算性質(zhì)將二次根式化為最簡二次根式．在化二次根式為最簡二次根式時有以下方法：①當(dāng)被開方數(shù)是整數(shù)時，應(yīng)先將它分解因數(shù)，再進行開方運算．②當(dāng)被開方數(shù)是小數(shù)或帶分數(shù)時，應(yīng)先將小數(shù)化為分數(shù)的形式或?qū)Х謹?shù)化為假分數(shù)的形式，再進行開方運算．例2化簡：(1)eq\r(32)；(2)eq\r(\f(3,8)).解：(1)eq\r(32)＝eq\r(16×2)＝eq\r(16)×eq\r(2)＝4eq\r(2).(2)eq\r(\f(3,8))＝eq\r(\f(3×2,8×2))＝eq\r(\f(6,16))＝eq\f(\r(6),\r(16))＝eq\f(\r(6),4).易錯點不理解二次根式的概念而出錯在二次根式eq\r(a)中，a應(yīng)為大于或等于0的數(shù)或式，即具有非負性，在化簡時，往往因忽略a的取值范圍出現(xiàn)錯誤．例3化簡：eq\r(（a－5）2).解：eq\r(（a－5）2)＝|a－5|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－5（a≥5），,5－a（a＜5）.))注意：要化簡eq\r(（a－5）2)，關(guān)鍵在于確定a－5的符號，由于已知條件未作說明，因此需對a－5的符號加以分類討論，再進一步化簡．第2課時二次根式的運算知識點一二次根式的乘除精練版P22二次根式的乘法法則：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．二次根式相乘時，要注意以下幾點：(1)如果根號前有系數(shù)，就把各個系數(shù)相乘，仍作為二次根號前的系數(shù)；(2)計算的結(jié)果必須化成符合要求的二次根式；(3)被開方數(shù)相乘的時候，往往不是直接求出乘積，而是考慮先化簡，再求值．二次根式的除法法則：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)．二次根式相除時，要注意以下幾點：(1)如果根號前面有系數(shù)，就把各個系數(shù)相乘，仍作為二次根號前的系數(shù)；(2)二次根式除法的兩種情況：①當(dāng)被除式與除式的被開方數(shù)恰好能整除的時候，我們直接運用二次根式的除法法則進行運算；②當(dāng)被除式與除式的被開方不能整除時，我們就要采用分母有理化的方法來進行．例1計算：(1)eq\r(6)×eq\r(15)×eq\r(10)；(2)eq\r(2\f(1,2))÷3eq\r(28)×(－5eq\r(2\f(2,7)))．解析：(1)直接運用二次根式的乘法法則進行計算；(2)先把除法化為乘法，再運用二次根式的乘法法則進行計算．解：(1)原式＝eq\r(6×15×10)＝eq\r(900)＝30.(2)原式＝eq\r(\f(5,2))×eq\f(1,3\r(28))×(－5eq\r(\f(16,7)))＝－eq\f(5,3)eq\r(\f(5,2)×\f(1,28)×\f(16,7))＝－eq\f(5,3)eq\r(\f(10,49))＝－eq\f(5,3)×eq\f(\r(10),7)＝－eq\f(5,21)eq\r(10).知識點二二次根式的加減及混合運算精練版P22二次根式的加減運算，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．二次根式的混合運算：實質(zhì)上就是有理數(shù)的混合運算與無理數(shù)的混合運算，是對前面學(xué)過的二次根式的乘除法及加減法的運算法則的綜合運用．例2計算：(1)－2eq\r(3)－3eq\r(2)＋5eq\r(3)＋4eq\r(2)；(2)(eq\r(108)－eq\r(45))－8eq\r(\f(1,3))－(eq\f(4,\r(3))＋6eq\r(\f(4,3)))．解析：(1)每個二次根式都是最簡二次根式，可直接進行合并；(2)先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式．解：(1)原式＝(－2＋5)eq\r(3)＋(－3＋4)eq\r(2)＝3eq\r(3)＋eq\r(2).(2)原式＝6eq\r(3)－3eq\r(5)－eq\f(8\r(3),3)－eq\f(4\r(3),3)－4eq\r(3)＝6eq\r(3)－4eq\r(3)－(eq\f(8\r(3),3)＋eq\f(4\r(3),3))－3eq\r(5)＝2eq\r(3)－4eq\r(3)－3eq\r(5)＝－2eq\r(3)－3eq\r(5).易錯點分配律使用不恰當(dāng)，從而導(dǎo)致錯誤只有乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律，在運算中易片面追求簡便而誤用分配律．例3計算：eq\r(6)÷(eq\r(3)＋eq\r(2))．解：eq\r(6)÷(eq\r(3)＋eq\r(2))＝eq\f(\r(6),\r(3)＋\r(2))＝eq\f(\r(6)（\r(3)－\r(2)）,（\r(3)＋\r(2)）（\r(3)－\r(2)）)＝eq\r(18)－eq\r(12)＝3eq\r(2)－2eq\r(3).注意：乘法對加法的分配律可表示為a(b＋c)＝ab＋ac，在運用乘法對加法的分配律時，可將除法轉(zhuǎn)化為乘法，如：(a＋b)÷d＝(a＋b)·eq\f(1,d)＝eq\f(a,d)＋eq\f(b,d)，而例題不屬于(a＋b)÷d這種類型，故不能隨意套用運算律．章末知識匯總類型一實數(shù)的應(yīng)用例1如圖所示，一架梯子AB長25米，斜靠在一面墻上，梯子的底端與墻的距離BC長6米，那么這個梯子的頂端與地面的距離可能是有理數(shù)嗎？解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝252－62＝589.由于斜邊的長為25米，故AC的長一定小于25米，由于242＝576，232＝529，…，越來越小，故不存在小于25的整數(shù)使其平方為589，所以AC不是整數(shù)．又因為一個最簡分數(shù)的平方仍為分數(shù)，故AC不可能為分數(shù)．綜上所述，AC不是有理數(shù)，但AC的長度卻是客觀存在的．注意：任何有限小數(shù)都可以化成分數(shù)(兩個整數(shù)的比)，無限循環(huán)小數(shù)也可以化成分數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)不可能化成分數(shù)，故有理數(shù)都可以化成分數(shù)，無理數(shù)都不能化成分數(shù)．類型二利用平方根的性質(zhì)求代數(shù)式的值例2已知(1－2a)2＋eq\r(b－2)＝0，則(ab)b的值為________．解析：由題意知：1－2a＝0且b－2＝0，所以a＝eq\f(1,2)，b＝2.(ab)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2))eq\s\up12(2)＝1.答案：1注意：若干個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)均為0.類型三立方根的實際應(yīng)用例3現(xiàn)有一塊正方體木塊，體積是125cm3，因需要，現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的正方體小木塊，求每個小正方體木塊的表面積．解：設(shè)每個小正方體木塊的棱長為xcm.因為大正方體的體積是125cm3，把它鋸成8塊后，則每塊小木塊的體積為125÷8＝eq\f(125,8)(cm3)．由題意可得x3＝eq\f(125,8)，所以x＝eq\r(3,\f(125,8))＝eq\f(5,2).所以小正方體木塊的表面積應(yīng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)×6＝eq\f(75,2)(cm2)．答：每個小正方體木塊的表面積為eq\f(75,2)cm2.類型四二次根式的計算例4計算：(1)2eq\r(12)－4eq\r(\f(1,27))＋3eq\r(48)；(2)(eq\r(2)＋eq\r(3))2(2eq\r(6)－5)．解：(1)原式＝2eq\r(4×3)－4eq\r(\f(3,81))＋3eq\r(16×3)＝4eq\r(3)－eq\f(4,9)eq\r(3)＋12eq\r(3)＝eq\f(140,9)eq\r(3).(2)原式＝[(eq\r(2))2＋2eq\r(2)·eq\r(3)＋(eq\r(3))2](2eq\r(6)－5)＝(2＋2eq\r(6)＋3)(2eq\r(6)－5)＝(2eq\r(6)＋5)(2eq\r(6)－5)＝(2eq\r(6))2－25＝－1.注意：乘法公式如平方差公式、完全平方公式等，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．第三章位置與坐標(biāo)1確定位置知識點一位置的確定精練版P25要確定平面內(nèi)一個物體的位置，一般需要兩個獨立的數(shù)據(jù)，常見的表示方法有：1．行列定位法：行列定位常把平面分成若干行、列，然后利用行號和列號表示平面上點的位置．如：小明在教室的座位是第四行第三列．2．經(jīng)緯定位法：利用經(jīng)度和緯度確定物體的位置．這種方法在地理上經(jīng)常用．3．區(qū)域定位法：某些市區(qū)地圖常用的方法．如圖所示是某市地圖簡圖的一部分．公園在A1區(qū)，汽車站在A3區(qū)，火車站在C1區(qū)，醫(yī)院在B2區(qū)．知識點二有序數(shù)對定位法和方位角加距離定位法精練版P251．有順序的兩個數(shù)a，b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．如圖，若O點的位置記為(0，0)，則②的位置可記為(2，5)，③的位置可記為(3，1)，①的位置可記為(6，2)．2．方位角加距離定位法方位角加距離定位法是常見的確定位置的方法，此法必須具備兩個數(shù)據(jù)，一是“方位角”，二是“距離”，兩者缺一不可．如：A點在北偏東30°的方向，距離O點3km，如圖．例1氣象臺為了預(yù)報臺風(fēng)，首先要確定臺風(fēng)中心的位置，則下列說法能確定臺風(fēng)中心位置的是()A．西太平洋B．距電臺500海里C．北緯28°，東經(jīng)36°D．湛江附近解析：北緯28°，東經(jīng)36°，即為經(jīng)偉定義法，可以確定臺風(fēng)的中心位置．答案：C易錯點確定“路徑”位置時易漏掉某些點正確描述物體的運動情況，需將路線上的所有點都描述出來，而不應(yīng)間斷或“跳躍”．例2如圖所示，如果用(2，5)來表示B點的位置，用(4，7)來表示A點的位置，寫出由B點到A點的路徑．解：(2，5)→(2，6)→(2，7)→(3，7)→(4，7)．(答案不唯一)注意：方格紙上的“路徑”問題，點與點一定要連貫，不能出現(xiàn)“跳躍”，如(2，5)→(3，6)之間沒有現(xiàn)成的路徑，所以不能“跳躍”過去．2平面直角坐標(biāo)系第1課時平面直角坐標(biāo)系知識點一平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念精練版P271．在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系．如圖所示．2．橫軸(或x軸)，縱軸(或y軸)：通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向．水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，它們的公共原點O稱為直角坐標(biāo)系的原點．3．象限：在平面直角坐標(biāo)系中，兩條坐標(biāo)軸將坐標(biāo)平面分成了四部分．右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．坐標(biāo)軸上的點不在任何一個象限內(nèi)．如圖所示的四個象限，各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．例1下列各點中在第二象限的是()A．(3，2) B．(－3，－2)C．(－3，2) D．(3，－2)解析：(3，2)在第一象限，故選項A錯誤；(－3，－2)在第三象限，故選項B錯誤；(－3，2)在第二象限，故選項C正確；(3，－2)在第四象限，故選項D錯誤．故選C.答案：C知識點二平面內(nèi)點的坐標(biāo)精練版P271．定義：如圖，對于平面內(nèi)任意一點P，作PM⊥x軸，PN⊥y軸．M，N點對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(a，b)叫做點P的坐標(biāo)．2．點P(a，b)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(到x軸的距離為|b|；,到y(tǒng)軸的距離為|a|；,到原點的距離為\r(a2＋b2).))例2已知第二象限內(nèi)的點P到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，則P點的坐標(biāo)一定是()A．(3，4) B．(－3，4)C．(4，3) D．(－4，3)解析：由第二象限內(nèi)的坐標(biāo)特征及點P到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，得點P的橫坐標(biāo)為負，縱坐標(biāo)為正，即P(－3，4)．故選B.答案：B知識點三平面直角坐標(biāo)系與有序?qū)崝?shù)對之間的關(guān)系精練版P27在直角坐標(biāo)系中，對于平面上的任意一點，都有唯一的一個有序?qū)崝?shù)對(即點的坐標(biāo))與它對應(yīng)；反過來，對于任意一個有序?qū)崝?shù)對，都有平面上唯一的一點與它對應(yīng)．溫馨提示：(1)點的坐標(biāo)(a，b)的順序不能顛倒，數(shù)對(a，b)與(b，a)表示的是不同點的坐標(biāo)．(2)字母a，b表示由點向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂足在相應(yīng)坐標(biāo)軸上對應(yīng)的實數(shù)，它們可正可負．(3)一個點可以用一個實數(shù)對表示，反之，一對有序?qū)崝?shù)對與平面內(nèi)唯一點對應(yīng)，即坐標(biāo)平面上的點與一對有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)關(guān)系．易錯點求點的坐標(biāo)時，易忽略確定坐標(biāo)的符號從而導(dǎo)致錯誤例3若點(6－2x，x＋6)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則該點的坐標(biāo)為________．解析：因為點到兩坐標(biāo)軸的距離相等，所以|6－2x|＝|x＋6|，所以6－2x＝x＋6或6－2x＝－(x＋6)，所以x＝0或x＝12，所以該點的坐標(biāo)為(6，6)或(－18，18)．答案：(6，6)或(－18，18)注意：坐標(biāo)有正負之分，距離則是一個長度．因此，此題距離相等的意思是(a，b)中的|a|＝|b|.本題易只考慮其中一種情況，而丟掉解(－18，18)，錯得(6，6)．第2課時點的坐標(biāo)知識點一平面直角坐標(biāo)系中由點的坐標(biāo)確定點的位置精練版P28找點的方法：先分別找出該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)在兩條數(shù)軸上的點，再分別作對應(yīng)坐標(biāo)軸的垂線，交點即為所要找的點的位置．例1在直角坐標(biāo)系中描出下列各組點，并將各組內(nèi)的點用線段依次連接起來．(1)(2，0)，(4，0)，(2，2)，(2，0)；(2)(0，2)，(0，4)，(－2，2)，(0，2)；(3)(－4，0)，(－2，－2)，(－2，0)，(－4，0)；(4)(0，－2)，(2，－2)，(0，－4)，(0，－2)．觀察所得的圖形，你覺得它像什么？解：由點的坐標(biāo)確定點在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，然后依次用線段連接起來，從而得到一個正確的圖形．如圖，它像一個繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)的四葉風(fēng)車．知識點二點的坐標(biāo)特征精練版P281．坐標(biāo)軸上點P(a，b)的坐標(biāo)特征：坐標(biāo)軸上的點點P在x軸上，a為一切實數(shù)，b＝0點P在x軸的正半軸上，a＞0，b＝0點P在x軸的負半軸上，a＜0，b＝0點P在y軸上，b為一切實數(shù)，a＝0點P在y軸的正半軸上，b＞0，a＝0點P在y軸的負半軸上，b＜0，a＝0點P在原點a＝0，b＝02.與坐標(biāo)軸平行的直線上的點的坐標(biāo)特征：點的坐標(biāo)特征eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(與x軸平行\(zhòng)b\lc\{(\a\vs4\al\co1(橫坐標(biāo)不同,縱坐標(biāo)相同)),與y軸平行\(zhòng)b\lc\{(\a\vs4\al\co1(橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)不同))))3．兩坐標(biāo)軸夾角平分線上的點的坐標(biāo)特征：eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸,夾角平,分線))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(第一、三象限))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(點的坐標(biāo)特征：橫、縱坐標(biāo)相同,表示法：（a，a）)),\b\lc\(\a\vs4\al\co1(第二、,四象限))\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(點的坐標(biāo)特征：橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù),表示法：（a，－a）))))例2已知P(a＋2，b－3)，Q(2，3)兩點．(1)若點P在x軸上，則b＝________；(2)若點P在y軸上，則a＝________；(3)若點P在第二象限，則a________，b________；(4)若點P在第一、三象限的角平分線上，則a＝________；(用含b的代數(shù)式表示)(5)若點P到x軸的距離為2，則b＝________；(6)若PQ∥x軸，則a________，b________．解析：(1)由x軸上點的縱坐標(biāo)為零，得b－3＝0，故b＝3.(2)由y軸上點的橫坐標(biāo)為零，得a＋2＝0，故a＝－2.(3)由第二象限內(nèi)點的符號特征，得a＋2＜0，b－3＞0，故a＜－2，b＞3.(4)由第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標(biāo)相等，得a＋2＝b－3，故a＝b－5.(5)由已知得|b－3|＝2，b－3＝±2，b＝5或1.(6)由PQ∥x軸，則b－3＝3.又因為P，Q不重合，所以a＋2≠2，故b＝6，a≠0.答案：(1)3(2)－2(3)＜－2＞3(4)b－5(5)5或1(6)≠0＝6第3課時建立直角坐標(biāo)系知識點建立直角坐標(biāo)系求點的坐標(biāo)精練版P291．建立直角坐標(biāo)系的基本思路：(1)分析條件，選擇適當(dāng)?shù)狞c作為坐標(biāo)原點；(2)過原點在兩個互相垂直的方向上分別作出x軸與y軸；(3)確定正方向、單位長度等．2．建立平面直角坐標(biāo)系方法不唯一，其原則是：(1)應(yīng)使盡量多的點在坐標(biāo)軸上；(2)應(yīng)使盡量多的點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱；(3)應(yīng)使盡量多的點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為非負值．例如圖，是游樂城的平面示意圖，請建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系表示各景點的位置．解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則海底世界(0，0)，太空秋千(－4，1)，夢幻藝館(1，3)，童趣花園(4，2)，入口處(4，－1)，激光戰(zhàn)車(－2，－3)，球幕電影(2，－4)．3軸對稱與坐標(biāo)變化知識點一圖形的坐標(biāo)變化與軸對稱精練版P301．圖形的坐標(biāo)變化與軸對稱的關(guān)系：(1)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)分別乘－1，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸成軸對稱；(2)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)分別乘－1，所得圖形與原圖形關(guān)于y軸成軸對稱．2．在坐標(biāo)系中作成軸對稱的圖形的方法：(1)確定對稱點的坐標(biāo)；(2)根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點；(3)依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形．例1把圖1中的“魚”的頂點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘－1，畫出圖形并說明它與原圖形的關(guān)系．圖1解：縱坐標(biāo)乘－1后各頂點的坐標(biāo)分別為(0，0)，(5，－4)，(3，0)，(5，－1)，(5，1)，(3，0)，(4，2)，(0，0)．描點、連線如圖2所示，所得圖形與原圖形關(guān)于x軸成軸對稱．圖2知識點二直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)的關(guān)系精練版P30關(guān)于x軸對稱的兩個點的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．關(guān)于y軸對稱的兩個點的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．拓展：關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩個點的坐標(biāo)，橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．溫馨提示：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個點都存在著關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點．例2在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，兩面小旗ABCD與A1B1C1D1關(guān)于y軸對稱．(1)對應(yīng)點A與A1的坐標(biāo)有什么共同特點？其他對應(yīng)的點，也有這個特點嗎？(2)在這個坐標(biāo)系里畫出小旗ABCD關(guān)于x軸的對稱圖形A2B2C2D2，它的各個頂點的坐標(biāo)與原來對應(yīng)頂點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？解：(1)對應(yīng)點A與A1的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，其他對應(yīng)點也有這個特點．(2)描點、連線如圖所示，所得圖形的各個頂點的坐標(biāo)與原來對應(yīng)頂點的坐標(biāo)都具有橫坐標(biāo)相同、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的特點．注意：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b)：(1)如果點P1與點P關(guān)于x軸對稱，那么點P1的坐標(biāo)是(a，－b)；(2)如果點P2與點P關(guān)于y軸對稱，那么點P2的坐標(biāo)是(－a，b)；(3)如果點P3與點P關(guān)于原點對稱，那么點P3的坐標(biāo)是(－a，－b)．易錯點混淆對稱點與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系而致錯在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的變化與點的坐標(biāo)的變化關(guān)系易弄錯．誤以為圖形關(guān)于x軸對稱，點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；圖形關(guān)于y軸對稱，點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．例3點P(2，－3)與點Q(2，3)的位置關(guān)系是________，若點P與點N關(guān)于y軸對稱，那么點N的坐標(biāo)是________．解析：若兩點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則兩點關(guān)于x軸對稱．若兩點關(guān)于y軸對稱，則兩點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．答案：關(guān)于x軸對稱(－2，－3)注意：此題易混淆圖形的變化與點的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系，出現(xiàn)以下錯解：關(guān)于y軸對稱，點N的坐標(biāo)是(2，3)．解決此類問題時，熟記圖形的變化與點的坐標(biāo)變化的關(guān)系是關(guān)鍵，最好是數(shù)形結(jié)合解答此類問題．章末知識匯總類型一實際生活中的位置確定例1如圖是某市的部分建筑物的平面圖(每個小方格的邊長均為1cm)，借助圖形，回答下列問題：(1)圖書館相對于醫(yī)院的方位角是________．圖上距離是________cm；(2)如果用(2，4)表示醫(yī)院的位置，則文化宮的位置表示為________，(6，10)表示________的位置，(2，7)表示________的位置．解析：(1)醫(yī)院和圖書館在一個4×4正方形的對角線頂點上，夾角為45°.(2)位置的數(shù)對表示中，先由已知醫(yī)院位置確定文化宮的位置表示為(7，1)，(6，10)表示陽光中學(xué)，(2，7)表示體育場．解：(1)北偏東45°4eq\r(2)(2)(7，1)陽光中學(xué)體育場注意：確定方位角一般以南北作為主方向，網(wǎng)格中求兩點間的距離一般轉(zhuǎn)化為直角三角形，然后由勾股定理解決．類型二利用平面直角坐標(biāo)系解決幾何問題中的面積問題例2如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點的坐標(biāo)分別是A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)．試確定這個四邊形ABCD的面積．解：分別過點D，C向x軸作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形ABCD被分割成△DAE和△CBF及梯形DEFC.由各點的坐標(biāo)可得AE＝2，DE＝7，EF＝AF－AE＝7－2＝5，F(xiàn)B＝AB－AF＝9－7＝2，CF＝5，所以S四邊形ABCD＝S△DAE＋S梯形DEFC＋S△CBF＝eq\f(1,2)×2×7＋eq\f(1,2)×(7＋5)×5＋eq\f(1,2)×2×5＝7＋30＋5＝42.注意：在利用“分割法”時，往往要構(gòu)造“邊在坐標(biāo)軸上的三角形”．類型三探究性問題例3如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此變換規(guī)律再次將△OA3B3變換成△OA4B4，則A4的坐標(biāo)是________，B4的坐標(biāo)是________；(2)若按(1)找到的規(guī)律，將△OAB進行了n次變換，得到△OAnBn，推測An的坐標(biāo)是________，Bn的坐標(biāo)是________．解析：觀察圖形，分別分析、對比各點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，可知An的橫坐標(biāo)是按2n變化的，而Bn的橫坐標(biāo)是按2n＋1變化的．答案：(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)第四章一次函數(shù)1函數(shù)知識點一函數(shù)的概念精練版P34一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量．對函數(shù)概念的理解應(yīng)抓住以下四點：(1)有兩個變量；(2)一個變量變化，另一個變量隨之變化；(3)對于自變量x確定的每一個值，函數(shù)y僅有一個值與之對應(yīng)；(4)函數(shù)不是數(shù)，它是指在一個變化過程中兩個變量之間的關(guān)系．例1下列變化過程中得出的函數(shù)關(guān)系式是否正確？如果錯誤，請寫出正確的結(jié)果；如果正確，請寫出式子中的自變量．(1)小俊計劃用20元購買本子，所能購買的總數(shù)n(本)與單價a(元)之間的關(guān)系式為n＝eq\f(20,a)；(2)小茜用總長為60cm的鐵絲圍成一個長方形，長方形的面積S(cm2)與一邊長l(cm)之間的關(guān)系式為S＝l(60－l)．解析：對于(1)，問題中存在兩個變量a，n，且任意確定一個a的值，n都有唯一的值與它對應(yīng)，故(1)正確．(2)也用類似的方法判斷．解：(1)正確，a是自變量．(2)錯誤，應(yīng)為S＝l(30－l)，其中l(wèi)是自變量．知識點二函數(shù)的三種表示形式精練版P34列表法；關(guān)系式法；圖象法．例2星期天晚飯后，小紅從家里