專題13 一元一次不等式(組)的應(yīng)用壓軸題二種模型全攻略（解析版）

專題13一元一次不等式(組)的應(yīng)用壓軸題二種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一一元一次不等式(組)的應(yīng)用--方案問題】 1【類型二一元一次不等式(組)的應(yīng)用--銷售、利潤(rùn)問題】 4【過關(guān)檢測(cè)】 9【典型例題】【類型一一元一次不等式(組)的應(yīng)用--方案問題】例題：（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為舉辦漢字聽寫大賽，某校計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的小黑板，經(jīng)洽談，購(gòu)買一塊A型小黑板比購(gòu)買一塊B型小黑板多用20元，且購(gòu)買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元．(1)求購(gòu)買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需多少元？(2)根據(jù)實(shí)際情況，購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的小黑板共60塊，要求購(gòu)買A、B兩種型號(hào)小黑板的總費(fèi)用不超過5240元，并且購(gòu)買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)不小于購(gòu)買A、B兩種型號(hào)黑板總數(shù)量的，則購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的小黑板有哪幾種方案？【答案】(1)一塊A型小黑板100元，一塊B型小黑板80元(2)共有三種購(gòu)買方案，分別是：方案一：購(gòu)買A型小黑板20塊，購(gòu)買B型小黑板40塊；方案二：購(gòu)買A型小黑板21塊，購(gòu)買B型小黑板39塊；方案三：購(gòu)買A型小黑板22塊，購(gòu)買B型小黑板38塊．【分析】（1）設(shè)一塊A型小黑板x元，一塊B型小黑板y元，根據(jù)購(gòu)買一塊A型小黑板比購(gòu)買一塊B型小黑板多用20元，且購(gòu)買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買A型小黑板m塊，則購(gòu)買B型小黑板塊，根據(jù)題意，列出不等式組進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)一塊A型小黑板x元，一塊B型小黑板y元，則，解得答：一塊A型小黑板100元，一塊B型小黑板80元．（2）設(shè)購(gòu)買A型小黑板m塊，則購(gòu)買B型小黑板塊，根據(jù)題意：解得又∵m為正整數(shù)，∴20，21，22，∴共有三種購(gòu)買方案，分別是：方案一：購(gòu)買A型小黑板20塊，購(gòu)買B型小黑板40塊；方案二：購(gòu)買A型小黑板21塊，購(gòu)買B型小黑板39塊；方案三：購(gòu)買A型小黑板22塊，購(gòu)買B型小黑板38塊．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的列出方程組和不等式組．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）某超市計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種商品，若購(gòu)進(jìn)甲商品件和乙商品件，共需要資金元；若購(gòu)進(jìn)甲商品件和乙商品件，共需要資金元．(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種商品共件，而可用于購(gòu)買這兩種商品的資金不超過元，根據(jù)市場(chǎng)行情，甲商品的售價(jià)為元，乙商品的售價(jià)為元，該超市希望銷售完這兩種商品所獲利潤(rùn)不少于元．則該超市有幾種進(jìn)貨方案？【答案】(1)甲商品每件的進(jìn)價(jià)是元，乙商品每件的進(jìn)價(jià)是元(2)有三種進(jìn)貨方案【分析】（1）設(shè)甲商品每件的進(jìn)價(jià)是元，乙商品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解，（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品件，則購(gòu)進(jìn)乙商品件，根據(jù)題意列出不等式組，根據(jù)整數(shù)解，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲商品每件的進(jìn)價(jià)是元，乙商品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意得，，解得：，答：甲商品每件的進(jìn)價(jià)是元，乙商品每件的進(jìn)價(jià)是元：（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品件，則購(gòu)進(jìn)乙商品件，根據(jù)題意得，解得：，∵為正整數(shù)，∴，，∴有三種進(jìn)貨方案，【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了更好治理流溪河水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，市治污公司決定購(gòu)買臺(tái)污水處理設(shè)備．現(xiàn)有，兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如表：型型價(jià)格（萬元/臺(tái)）處理污水量（噸/月）經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)型設(shè)備多萬元，購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備比購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備少萬元．(1)求，的值．(2)經(jīng)預(yù)算：市治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過萬元，又要保證月污水處理量不低于噸，你認(rèn)為該公司有哪幾種購(gòu)買方案．【答案】(1)，(2)方案一：型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備為臺(tái)；方案二：型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備為臺(tái)【分析】（1）根據(jù)“購(gòu)買一臺(tái)型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)型設(shè)備多萬元，購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備比購(gòu)買臺(tái)型設(shè)備少萬元”即可列出方程組，繼而進(jìn)行求解；（2）設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)“購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過萬元，又要保證月污水處理量不低于噸”即可列出一元一次不等式組，解之確定的值，即可確定方案.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，解得：，∴，的值為：，．（2）設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意，得：，解得：，又∵為整數(shù)，∴或，∴該公司有以下兩種方案：方案一：型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備為臺(tái)；方案二：型設(shè)備臺(tái)，型設(shè)備為臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系，同時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用．【類型二一元一次不等式(組)的應(yīng)用--銷售、利潤(rùn)問題】例題：（2023春·四川眉山·七年級(jí)壩達(dá)初級(jí)中學(xué)校考期中）為迎接暑假旅游高峰的到來，某旅游紀(jì)念品商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品7件，B種紀(jì)念品4件，需要760元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品8件，需要800元．(1)求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？(2)若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，這100件紀(jì)念品的資金不少于7100元，但不超過7200元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？(3)若銷售A種紀(jì)念品每件可獲利潤(rùn)30元，B種紀(jì)念品每件可獲利潤(rùn)20元，用（2）中的進(jìn)貨方案，哪一種方案可獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需80元、50元(2)故該商店共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品70件，B種紀(jì)念品30件；方案二：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品71件，B種紀(jì)念品29件；方案三：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品72件，B種紀(jì)念品28件；方案四：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品73件，B種紀(jì)念品27件；(3)方案四可獲利最大，最大利潤(rùn)是2730元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品每件x元，B種紀(jì)念品每件y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品a件，則購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品件，根據(jù)題意列一元一次不等式組求解即可；（3）分別求出每個(gè)方案的利潤(rùn)，然后比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品每件x元，B種紀(jì)念品每件y元，根據(jù)題意，得，解得：，答：購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需80元、50元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品a件，則購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品件，根據(jù)題意，得，解得，∵a為正整數(shù)，∴a的值為70或71或72或73，故該商店共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品70件，B種紀(jì)念品30件；方案二：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品71件，B種紀(jì)念品29件；方案三：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品72件，B種紀(jì)念品28件；方案四：購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品73件，B種紀(jì)念品27件；（3）解：方案一的利潤(rùn)為（元），方案二的利潤(rùn)為（元），方案三的利潤(rùn)為（元），方案四的利潤(rùn)為（元），故方案四可獲利最大，最大利潤(rùn)是2730元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程組和不等式組是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？计谥校┠呈胁糠值貐^(qū)遭受了罕見的旱災(zāi)，某單位給某鄉(xiāng)中小學(xué)捐獻(xiàn)一批飲用水和蔬菜共310件，其中飲用水比蔬菜多90件．(1)求飲用水和蔬菜各有多少件？(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛，一次性將這批飲用水和蔬菜全部運(yùn)往該鄉(xiāng)中小學(xué)，已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件，每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件，則運(yùn)輸部門安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來；(3)在（2）的條件下，如果甲種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)500元，乙種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)450元，運(yùn)輸部門應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？【答案】(1)飲用水有200件，蔬菜有110件(2)有4種方案，方案1：安排2輛甲種貨車，6輛乙種貨車；方案2：安排3輛甲種貨車，5輛乙種貨車；方案3：安排4輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案4：安排5輛甲種貨車，3輛乙種貨車；(3)選擇方案1可使運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是3700元【分析】（1）設(shè)飲用水有件，則蔬菜有件，根據(jù)飲用水比蔬菜多90件，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排輛甲種貨車，則安排輛乙種貨車，根據(jù)8輛貨車一次性可運(yùn)送飲用水不少于200件、蔬菜不少于110件，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可得出各安排方案；（3）利用總運(yùn)費(fèi)每輛甲種貨車的運(yùn)費(fèi)租用甲種貨車的數(shù)量每輛乙種貨車的運(yùn)費(fèi)租用乙種貨車的數(shù)量，即可分別求出4個(gè)安排方案所需總運(yùn)費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)飲用水有件，則蔬菜有件，依題意得：，解得：，．答：飲用水有200件，蔬菜有110件．（2）設(shè)安排輛甲種貨車，則安排輛乙種貨車，依題意得：，解得：，又為整數(shù)，可以為2，3，4，5，共有4種安排方案，方案1：安排2輛甲種貨車，6輛乙種貨車；方案2：安排3輛甲種貨車，5輛乙種貨車；方案3：安排4輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案4：安排5輛甲種貨車，3輛乙種貨車；（3）選擇方案1所需運(yùn)費(fèi)為（元），選擇方案2所需運(yùn)費(fèi)為（元），選擇方案3所需運(yùn)費(fèi)為（元），選擇方案4所需運(yùn)費(fèi)為（元）．，選擇方案1可使運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是3700元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）利用總運(yùn)費(fèi)每輛甲種貨車的運(yùn)費(fèi)租用甲種貨車的數(shù)量每輛乙種貨車的運(yùn)費(fèi)租用乙種貨車的數(shù)量，求出各安排方案所需總運(yùn)費(fèi)．2．（2023春·云南大理·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用方程（組）或不等式（組）解決問題：“四書五經(jīng)”是《大學(xué)》、《中庸》、《論語》和《孟子》（四書）及《詩(shī)經(jīng)》、《尚書》、《易經(jīng)》、《禮記》、《春秋》（五經(jīng)）的總稱，這是一部被中國(guó)人讀了幾千年的教科書，包含了中國(guó)古代的政治理想和治國(guó)之道，是我們了解中國(guó)古代社會(huì)的一把鑰匙．某學(xué)校計(jì)劃分階段引導(dǎo)學(xué)生讀這些書，先購(gòu)買《論語》和《孟子》供學(xué)生閱讀．已知購(gòu)買3本《論語》和2本《孟子》共需要170元，購(gòu)買5本《論語》和3本《孟子》共需要275元．(1)求購(gòu)買《論語》和《孟子》這兩種書的單價(jià)各是多少元？(2)學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，舉行“書香閱讀”活動(dòng)，根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)兩種書共50本，正逢書店“優(yōu)惠促銷”活動(dòng)，《孟子》單價(jià)優(yōu)惠4元，《論語》的單價(jià)打8折．如果此次學(xué)校購(gòu)買書的總費(fèi)用不超過1500元，且購(gòu)買《論語》不少于38本，則有幾種購(gòu)買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？為什么？【答案】(1)《論語》的單價(jià)為元，《孟子》的單價(jià)為元(2)有種購(gòu)買方案；為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇購(gòu)買《論語》本，《孟子》本；理由見解析【分析】（1）設(shè)《論語》的單價(jià)為x元，《孟子》的單價(jià)為y元，根據(jù)“3本《論語》和2本《孟子》共需要170元，購(gòu)買5本《論語》和3本《孟子》共需要275元”列出方程組，求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買《論語》m本，則購(gòu)買《孟子》本，根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍，由m為整數(shù)可得共有種購(gòu)買方案，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)《論語》的單價(jià)為x元，《孟子》的單價(jià)為y元，依題意得：，解得：，答：《論語》的單價(jià)為元，《孟子》的單價(jià)為元；（2）解：設(shè)購(gòu)買《論語》m本，則購(gòu)買《孟子》本，依題意得：，解得：，∵m為整數(shù)，∴m可以為，∴共有種購(gòu)買方案：方案：購(gòu)買《論語》本，《孟子》本，購(gòu)書的總費(fèi)用為：（元）；方案：購(gòu)買《論語》本，《孟子》本，購(gòu)書的總費(fèi)用為：（元）；方案：購(gòu)買《論語》本，《孟子》本，購(gòu)書的總費(fèi)用為：（元）；∵，為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇方案：購(gòu)買《論語》本，《孟子》本．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，正確理解題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確列出方程組和不等式組是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、解答題1．（2023春·江西九江·八年級(jí)?？计谥校楸Ｗo(hù)環(huán)境，我市某公交公司計(jì)劃購(gòu)買型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購(gòu)買型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購(gòu)買型公交車3輛，型公交車2輛，共需600萬元．(1)求購(gòu)買型和型公交車每輛各需多少萬元．(2)經(jīng)測(cè)算，在兩種公交車均購(gòu)買的前提下，該公司購(gòu)買公交車的總費(fèi)用不得超過1150萬元，則該公司有哪幾種購(gòu)車方案？(3)在（2）的條件下，哪種購(gòu)車方案總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用是多少萬元？【答案】(1)購(gòu)買型公交車每輛需100萬元，購(gòu)買型公交車每輛需150萬元(2)三種購(gòu)車方案：購(gòu)買型公交車7輛，購(gòu)買型公交車3輛；購(gòu)買型公交車8輛，購(gòu)買型公交車2輛；購(gòu)買型公交車9輛，購(gòu)買型公交車1輛(3)購(gòu)買型公交車9輛，購(gòu)買型公交車1輛總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是1050萬元【分析】（1）設(shè)購(gòu)買型公交車每輛需萬元，購(gòu)買型公交車每輛需萬元，根據(jù)題意列二元一次方程組并求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買型公交車輛，則購(gòu)買型公交車輛，根據(jù)題意“總費(fèi)用不得超過1150萬元”可得，求解并討論即可；（3）分別求出各種購(gòu)車方案總費(fèi)用，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買型公交車每輛需萬元，購(gòu)買型公交車每輛需萬元，根據(jù)題意，可得，解得，所以，購(gòu)買型公交車每輛需100萬元，購(gòu)買型公交車每輛需150萬元；（2）在兩種公交車均購(gòu)買的前提下，可設(shè)購(gòu)買型公交車輛，則購(gòu)買型公交車輛，則有，解得，又且m為整數(shù)，所以，8，9，則，2，1，所以，可有三種方案：購(gòu)買型公交車7輛，購(gòu)買型公交車3輛；購(gòu)買型公交車8輛，購(gòu)買型公交車2輛；購(gòu)買型公交車9輛，購(gòu)買型公交車1輛；（3）方案①：購(gòu)買型公交車7輛，購(gòu)買型公交車3輛，總費(fèi)用萬元；方案②：購(gòu)買型公交車8輛，購(gòu)買型公交車2輛，總費(fèi)用萬元；方案③：購(gòu)買型公交車9輛，購(gòu)買型公交車1輛，總費(fèi)用萬元．所以，購(gòu)買型公交車9輛，購(gòu)買型公交車1輛總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是1050萬元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組以及一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023春·河北保定·八年級(jí)?？计谥校┟磕甑?月5日為世界環(huán)保日，為了提倡低碳環(huán)保，某公司決定購(gòu)買10臺(tái)節(jié)省能源的新設(shè)備，現(xiàn)有甲乙兩種型號(hào)的設(shè)備可供選購(gòu)，經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買4臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買4臺(tái)乙型設(shè)備多花8萬元，購(gòu)買2臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)乙型設(shè)備少花4萬元；1臺(tái)甲型設(shè)備可以滿足8萬用戶需求，1臺(tái)乙型設(shè)備可以滿足6萬用戶需求(1)求甲、乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為多少萬元；(2)若該公司共有76萬戶，該公司經(jīng)預(yù)算決定購(gòu)買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過100萬元，你認(rèn)為該公司有幾種購(gòu)買方案，哪種方案最省錢．【答案】(1)甲，乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為10萬元和8萬元(2)該公司有3種購(gòu)買方案；當(dāng)購(gòu)買甲型設(shè)備8臺(tái)，乙型設(shè)備2臺(tái)時(shí)，最省錢【分析】（1）設(shè)甲，乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為x萬元和y萬元，根據(jù)購(gòu)買4臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買4臺(tái)乙型設(shè)備多花8萬元，購(gòu)買2臺(tái)甲型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)乙型設(shè)備少花4萬元，列出方程組，然后求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲型設(shè)備m臺(tái)，乙型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)公司經(jīng)預(yù)算決定購(gòu)買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過100萬元，列出不等式，然后求解即可得出購(gòu)買方案．【詳解】（1）解：設(shè)甲，乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為x萬元和y萬元，由題意得：，解得：，

答：甲，乙兩種型號(hào)設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為10萬元和8萬元．（2）解：設(shè)購(gòu)買甲型設(shè)備m臺(tái)，乙型設(shè)備臺(tái)，根據(jù)題意得：，解得：，∵m取整數(shù)∴，9，10，∴有3種購(gòu)買方案，分別為：購(gòu)買甲型設(shè)備8臺(tái)，乙型設(shè)備2臺(tái)；購(gòu)買甲型設(shè)備9臺(tái)，乙型設(shè)備1臺(tái)；購(gòu)買甲型設(shè)備10臺(tái)；當(dāng)購(gòu)買甲型設(shè)備8臺(tái)，乙型設(shè)備2臺(tái)時(shí)，所花費(fèi)用為（萬元）；當(dāng)購(gòu)買甲型設(shè)備9臺(tái)，乙型設(shè)備1臺(tái)時(shí)，所花費(fèi)用為（萬元）；當(dāng)購(gòu)買甲型設(shè)備10臺(tái)，所花費(fèi)用為（萬元）；∴當(dāng)購(gòu)買甲型設(shè)備8臺(tái)，乙型設(shè)備2臺(tái)時(shí)，最省錢．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系，列出方程組和不等式組．3．（2023春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谥校┠侈r(nóng)谷生態(tài)園響應(yīng)國(guó)家發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機(jī)蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機(jī)蔬菜的市場(chǎng)價(jià)值，經(jīng)調(diào)查甲種蔬菜進(jìn)價(jià)每千克m元，售價(jià)每千克16元；乙種蔬菜進(jìn)價(jià)每千克n元，售價(jià)每千克18元．(1)該超市購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜15千克和乙種蔬菜20千克需要430元；購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100千克，且投入資金不少于1160元又不多于1168元，設(shè)購(gòu)買甲種蔬菜x千克（x為正整數(shù)），求有哪幾種購(gòu)買方案．(3)在（2）的條件下，超市何時(shí)獲得的利潤(rùn)最大？【答案】(1)的值為10，的值為14(2)方案1：購(gòu)進(jìn)58千克甲種蔬菜，42千克乙種蔬菜；方案2：購(gòu)進(jìn)59千克甲種蔬菜，41千克乙種蔬菜；方案3：購(gòu)進(jìn)60千克甲種蔬菜，40千克乙種蔬菜．(3)方案3：購(gòu)進(jìn)60千克甲種蔬菜，40千克乙種蔬菜獲利最大【分析】（1）根據(jù)“購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜15千克和乙種蔬菜20千克需要430元；購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜8千克需要212元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可求出，的值；（2）由該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100千克及購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜的數(shù)量，即可得出每天購(gòu)進(jìn)乙種蔬菜千克，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不少于1160元又不多于1168元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案；（3）分別計(jì)算（2）中每種方案的獲利，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意得：，解得：．答：的值為10，的值為14．（2）該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共100千克，購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜千克正整數(shù)），每天購(gòu)進(jìn)乙種蔬菜千克．依題意得：，解得：．又為正整數(shù)，可以為58，59，60，共有3種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)58千克甲種蔬菜，42千克乙種蔬菜；方案2：購(gòu)進(jìn)59千克甲種蔬菜，41千克乙種蔬菜；方案3：購(gòu)進(jìn)60千克甲種蔬菜，40千克乙種蔬菜．（3）方案1獲利：元；方案2獲利：元；方案3獲利：．∵，∴方案3：購(gòu)進(jìn)60千克甲種蔬菜，40千克乙種蔬菜獲利最大【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．4．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)?？计谥校┛苹秒娪啊读骼说厍颉返某晒?biāo)志著中國(guó)電影工業(yè)化邁向了新的臺(tái)階．某企業(yè)眼光獨(dú)到，準(zhǔn)備生產(chǎn)一批樂高模型投放市場(chǎng)，計(jì)劃生產(chǎn)“笨笨”、“”兩種產(chǎn)品共件，需購(gòu)買價(jià)格為元/千克的A種材料和價(jià)格為元/千克的B種材料．通過調(diào)研，獲得以下信息：信息1：生產(chǎn)一件“笨笨”需A種材料4千克，B種材料1千克；信息2：生產(chǎn)一件“”需A種材料3千克，B種材料4千克．根據(jù)以上信息，解決下列問題：

(1)現(xiàn)工廠用于購(gòu)買A、B兩種材料的資金不能超過元，且生產(chǎn)“”不少于件，請(qǐng)問有哪幾種符合條件的生產(chǎn)方案？(2)在（1）的條件下，若生產(chǎn)一件“笨笨”需加工費(fèi)元，生產(chǎn)一件“”需加工費(fèi)元，應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案，才能使生產(chǎn)這批產(chǎn)品的成本最低？【答案】(1)方案1：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，方案2：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，方案3：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，方案4：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件；(2)選擇方案4：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件最劃算；【分析】（1）設(shè)生產(chǎn)“笨笨”x件，則生產(chǎn)“”件，根據(jù)資金及“”不少于件列不等式組列式求解即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的方案，求出費(fèi)用比較即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)“笨笨”x件，則生產(chǎn)“”件，由題意可得，，解得：（取整數(shù)），故x可?。?，，，，∴有4種方案如下：①方案1：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，②方案2：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，③方案3：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件，④方案4：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件；（2）解：由（1）得，方案1費(fèi)用：（元），方案2費(fèi)用：（元），方案3費(fèi)用：（元），方案4費(fèi)用：（元），∵，∴選擇方案4：生產(chǎn)“笨笨”件，“”件最劃算；【點(diǎn)睛】本題考查不等式的實(shí)際應(yīng)用及擇優(yōu)方案問題，解題的關(guān)鍵是正確找到不等關(guān)系列不等式組．5．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“食博會(huì)”期間某零食店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)，兩種網(wǎng)紅零食共包，其中種零食的進(jìn)價(jià)為每包元，種零食的進(jìn)價(jià)為每包元．已知在出售時(shí)，包種零食和包種零食的價(jià)格一共為元，包種零食和包種零食的價(jià)格一共為元．(1)A，B兩種零食每包的售價(jià)分別是多少元？(2)該零食店為了限制進(jìn)貨投入，計(jì)劃種零食的進(jìn)貨不超過包，且銷售完后總利潤(rùn)不低于元，則進(jìn)貨方案有多少種？(3)在（2）的條件下，哪種進(jìn)貨方案可獲最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)種零食每包的售價(jià)是元，種零食每包的售價(jià)是元(2)進(jìn)貨方案有種；方案一、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包；方案二、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包；方案三、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包(3)購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是元【分析】（1）設(shè)種零食每件的售價(jià)是元，種零食每件的售價(jià)是元，根據(jù)“包種零食和包種零食共付款元，買了包種零食和包種零食共付款元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)包種零食，則購(gòu)進(jìn)包種零食，根據(jù)“種零食的進(jìn)貨不超過包，且銷售完后總利潤(rùn)不低于元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)，即可得出進(jìn)貨方案的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)進(jìn)貨方案分別計(jì)算出每種方案的利潤(rùn)，再進(jìn)行比較即可得出答．【詳解】（1）設(shè)種零食每包的售價(jià)是元，種零食每包的售價(jià)是元，根據(jù)題意得，，解得，，答：種零食每包的售價(jià)是元，種零食每包的售價(jià)是元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)種零食包，則購(gòu)進(jìn)種零食包．由題意得，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以可取，，．所以進(jìn)貨方案有種；方案一、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包；方案二、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包；方案三、購(gòu)進(jìn)種零食包，種零食包．（3）方案：購(gòu)進(jìn)種零食包，購(gòu)進(jìn)種零食包，獲利元；方案：購(gòu)進(jìn)種零食包，購(gòu)進(jìn)種零食包，獲利元；方案：購(gòu)進(jìn)種零食包，購(gòu)進(jìn)種零食包，獲利元；∵，∴購(gòu)進(jìn)種零食包，購(gòu)進(jìn)種零食包，獲利最大，最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組以及根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．6．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）第三屆中非經(jīng)貿(mào)博覽會(huì)近期在長(zhǎng)沙舉辦，某飲料店欲在展會(huì)上購(gòu)買，兩種咖啡豆．已知袋品種咖啡豆的總價(jià)與袋品種咖啡豆的總價(jià)相等，購(gòu)買袋品種和袋品種共需元．(1)求、兩個(gè)品種咖啡豆的單價(jià)各是多少元？(2)現(xiàn)計(jì)劃用元資金，在不超過預(yù)算的情況下，購(gòu)買這兩種咖啡豆共袋，且品種的數(shù)量不少于品種數(shù)量的，求兩種咖啡豆共有多少種選購(gòu)方案？品種咖啡豆選購(gòu)多少袋時(shí)總費(fèi)用最少？【答案】(1)品種咖啡豆的單價(jià)是元，品種咖啡豆的單價(jià)是元(2)兩種咖啡豆共有種選購(gòu)方案，品種咖啡豆選購(gòu)袋時(shí)總費(fèi)用最少．【分析】（1）設(shè)品種咖啡豆的單價(jià)是元，則品種咖啡豆的單價(jià)是元，結(jié)合購(gòu)買袋品種和袋品種共需元，再列方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買袋品種咖啡豆，則購(gòu)買袋品種咖啡豆，結(jié)合計(jì)劃用19220元資金，在不超過預(yù)算的情況下，購(gòu)買這兩種咖啡豆共袋，且品種的數(shù)量不少于品種數(shù)量的，再列不等式組即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)品種咖啡豆的單價(jià)是元，則品種咖啡豆的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：，∴．答：品種咖啡豆的單價(jià)是元，品種咖啡豆的單價(jià)是元；（2）解：設(shè)購(gòu)買袋品種咖啡豆，則購(gòu)買袋品種咖啡豆，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，兩種咖啡豆共有種選購(gòu)方案，方案：購(gòu)買478袋品種咖啡豆，袋品種咖啡豆，總費(fèi)用為（元）；方案：購(gòu)買袋品種咖啡豆，袋品種咖啡豆，總費(fèi)用為（元）；方案：購(gòu)買袋品種咖啡豆，袋品種咖啡豆，總費(fèi)用為（元）．∵，品種咖啡豆選購(gòu)袋時(shí)總費(fèi)用最少．答：兩種咖啡豆共有種選購(gòu)方案，品種咖啡豆選購(gòu)袋時(shí)總費(fèi)用最少．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系建立方程與不等式組是解本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·安徽·八年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共件，其生產(chǎn)成本和利潤(rùn)如表：甲種產(chǎn)品乙種產(chǎn)品成本（萬元/件）25利潤(rùn)（萬元/件）12(1)若工廠計(jì)劃獲得利潤(rùn)萬元，問甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？(2)若工廠計(jì)劃投入資金不多于萬元，且獲得利潤(rùn)多于萬元，問工廠有幾種生產(chǎn)方案？獲得的最多利潤(rùn)是多少萬元？【答案】(1)甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)8件，乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)2件(2)工廠有3種生產(chǎn)方案，獲得的最多利潤(rùn)是萬元【分析】（1）設(shè)甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，則乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，根據(jù)利潤(rùn)萬元列式求解即可得到答案；（2）設(shè)甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，則乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，根據(jù)資金不多于萬元，且獲得利潤(rùn)多于萬元列不等式組求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，則乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件．由題意，得，解得，所以，答：甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)8件，乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)2件；（2）解：設(shè)甲種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，則乙種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，由題意，得，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以可以取2或3或4，所以工廠有3種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)甲種產(chǎn)品2件，乙種產(chǎn)品8件，獲得的利潤(rùn)為（萬元）；②生產(chǎn)甲種產(chǎn)品3件，乙種產(chǎn)品7件，獲得的利潤(rùn)為（萬元）；③生產(chǎn)甲種產(chǎn)品4件，乙種產(chǎn)品6件，獲得的利潤(rùn)為（萬元）．因?yàn)?，所以獲得的最多利潤(rùn)為萬元，答：工廠有3種生產(chǎn)方案，獲得的最多利潤(rùn)是萬元；【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組擇優(yōu)方案問題及一元一次方程解決實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到等量關(guān)系式與不等關(guān)系式．8．（2023春·甘肅定西·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）益群文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種筆，若購(gòu)進(jìn)甲種筆100支，乙種筆50支，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)甲種筆50支，乙種筆30支，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種筆每支各需多少元？(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出一筆資金購(gòu)進(jìn)這兩種筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種筆的數(shù)量不少于乙種筆數(shù)量的6倍，且不超過乙種筆數(shù)量的8倍，共用去了1000元，那么該文具店共有幾種進(jìn)貨方案？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆每支各需5元和10元(2)共有6種進(jìn)貨方案【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆每支需a元，乙種鋼筆每支需b元，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）根據(jù)題意列不等式組進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆每支各需a元和b元，根據(jù)題意得．解得．答：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆每支各需5元和10元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)乙種筆x支，甲種筆支，根據(jù)題意可得．解得，∵x為整數(shù)，∴共六種方案，∴該文具店共有6種進(jìn)貨方案．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意準(zhǔn)確的列出方程組和不等式組是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）端午節(jié)期間，某商場(chǎng)打算購(gòu)入A，B兩種粽子禮盒共100件，A種粽子禮盒的進(jìn)價(jià)為每件22元，B種粽子禮盒的進(jìn)價(jià)為每件15元，在銷售過程中，顧客甲買3件A和1件B共付款150元，顧客乙買1件A和2件B共付款100元．(1)請(qǐng)問A，B兩種粽子禮盒的售價(jià)各是多少？(2)若該商店計(jì)劃A，B兩種禮盒的進(jìn)貨總投入不超過1755元，且全部銷售完后總利潤(rùn)不低于1600元，則購(gòu)進(jìn)A，B兩種禮盒時(shí)，共有哪幾種進(jìn)貨方案．【答案】(1)A，B兩種粽子禮盒的售價(jià)各是40元，30元(2)該商店共有三種進(jìn)貨方案：方案一：購(gòu)進(jìn)A種禮盒34件，B種禮盒66件；方案二：購(gòu)進(jìn)A種禮盒35件，B種禮盒65件；方案三：購(gòu)進(jìn)A種禮盒36件，B種禮盒64件【分析】（1）設(shè)A，B兩種粽子禮盒的售價(jià)各是x元，y元，根據(jù)題中等量關(guān)系列二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)題中不等量關(guān)系列不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種粽子禮盒的售價(jià)各是x元，y元，根據(jù)題意，得，解得，答：A，B兩種粽子禮盒的售價(jià)各是40元，30元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種禮盒a件，則B種禮盒件，根據(jù)題意，得，解得，∵a為整數(shù)，∴a的值為34、35、36，故該商店共有三種進(jìn)貨方案：方案一：購(gòu)進(jìn)A種禮盒34件，B種禮盒66件；方案二：購(gòu)進(jìn)A種禮盒35件，B種禮盒65件；方案三：購(gòu)進(jìn)A種禮盒36件，B種禮盒64件．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．10．（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，我區(qū)某中學(xué)組織全體學(xué)生前往某勞動(dòng)實(shí)踐基地開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．在此次活動(dòng)中，若每位老師帶隊(duì)30名學(xué)生，則還剩8名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)32名學(xué)生，就有一位老師少帶4名學(xué)生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學(xué)校計(jì)劃此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過2320元．請(qǐng)解決下列問題：(1)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？(2)每位老師負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，請(qǐng)問有哪幾種租車方案？(3)學(xué)校租車總費(fèi)用最少是多少元？【答案】(1)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有6人，學(xué)生有188人(2)見解析(3)2160元【分析】（1）設(shè)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有x人，學(xué)生有y人，根據(jù)“若每位老師帶隊(duì)30名學(xué)生，則還剩8名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)32名學(xué)生，就有一位老師少帶4名學(xué)生”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租用m輛甲型客車，則租用輛乙型客車，根據(jù)租用的6輛客車載客量不少于人，學(xué)校計(jì)劃此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過2320元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，結(jié)合m為非負(fù)整數(shù)，即可得出各租車方案；（3）利用租車總費(fèi)用=每輛甲型客車的租金×租用甲型客車的數(shù)量+每輛乙型客車的租金×租用乙型客車的數(shù)量，可分別求出選擇各租車方案所需租車總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有x人，學(xué)生有y人，根據(jù)題意得：解得：∴參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有6人，學(xué)生有188人；（2）設(shè)租用m輛甲型客車，則租用輛乙型客車，根據(jù)題意得：，解得：又∵m為非負(fù)整數(shù)，∴m可以為3，4，5，∴學(xué)校共有3種租車方案，方案1：租用3輛甲型客車，3輛乙型客車；方案2：租用4輛甲型客車，2輛乙型客車；方案3：租用5輛甲型客車，1輛乙型客車；（3）選擇方案1所需租車總費(fèi)用為400×3+320×3=2160（元）；選擇方案2所需租車總費(fèi)用為400×4+320×2=2240（元）；選擇方案3所需租車總費(fèi)用為400×5+320×1=2320（元）；∵2160＜2240＜2320，∴學(xué)校租車總費(fèi)用最少是2160元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算以及一元一次