新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步過(guò)關(guān)檢測(cè)訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章過(guò)關(guān)檢測(cè)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()①存在斜四棱柱,其底面為正方形;②存在棱錐,其所有面均為直角三角形;③任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直;④矩形繞任意一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周都可以形成圓柱.A.1 B.2 C.3 D.4解析①正確.②正確,如圖所示.③不正確,當(dāng)圓錐軸截面的頂角小于90°時(shí)不存在.④正確.答案C2.已知一個(gè)四邊形的直觀圖如圖所示,A'B'=2,A'D'=2B'C'=4,則原四邊形的面積為()A.43 B.83C.12 D.10解析由題意可知,在原四邊形中,AD=4,AB=4,BC=2,故原四邊形的面積為S=AD+BC2·答案C3.已知圓錐的底面半徑為1,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的體積為()A.33π B.3C.53π D.5解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為R,高為h,則2πr=πR,因?yàn)閞=1,所以R=2,所以h=R2-r2=3,所以圓錐的體積V=13π答案A4.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.122π B.12πC.82π D.10π解析過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設(shè)底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l,因?yàn)檩S截面是面積為8的正方形,所以2r=l=22,即r=2,所以圓柱的表面積為2πrl+2πr2=8π+4π=12π.答案B5.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為()A.8 B.62C.82 D.83解析如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,連接BC1,則∠AC1B為AC1與平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30°,所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC1B=23,又BC=2,所以在Rt△BCC1中,CC1=(23)2-22=2答案C6.若球的表面積為16π,則用與球心距離為3的平面截球所得的圓的面積為()A.4π B.3π C.2π D.π解析如圖,由球的表面積為16π,可得球的半徑R=2.設(shè)截面圓的半徑為r,球心到截面的距離為h,則r2=R2-h2=4-3=1.故截面圓的面積為S=πr2=π.答案D7.已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若α⊥γ,α⊥β,則γ∥βB.若m∥n,m?α,n?β,則α∥βC.若m∥n,m∥α,則n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥β解析對(duì)于A,β與γ也可能相交,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,α與β也可能相交,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,n也可能在α內(nèi),故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β,故D正確.答案D8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.CC1與B1E是異面直線B.AC⊥平面ABB1A1C.AE與B1C1是異面直線,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析對(duì)于A,顯然CC1與B1E都在平面BCC1B1內(nèi),故CC1與B1E不是異面直線,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,若AC⊥平面ABB1A1,則AC⊥AB,而由題意可知,△ABC是正三角形,矛盾,故AC不可能垂直于平面ABB1A1,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,顯然AE與B1C1不同在任一平面內(nèi),故AE與B1C1是異面直線,又易知AE⊥平面BCC1B1,故AE⊥B1C1,故C正確.對(duì)于D,延長(zhǎng)C1A1到點(diǎn)D,使C1A1=A1D,連接B1D,AD(圖略),易證AE∥B1D,則平面AB1E即是平面ADB1E,而C1D與平面ADB1E相交于點(diǎn)D,故A1C1與平面AB1E不平行,故D錯(cuò)誤.答案C9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1上的一點(diǎn),則直線CE一定垂直于()A.AC B.BDC.A1D D.A1D1解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面A1ACC1,而CE?平面A1ACC1,故BD⊥CE.答案B10.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙,外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱,從外表上看,六根等長(zhǎng)的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來(lái).如圖,若正四棱柱的高為6,底面正方形的邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)(容器壁的厚度忽略不計(jì)),則該球形容器的表面積的最小值為()A.36π B.40πC.41π D.44π解析由題意知,當(dāng)該球?yàn)殚L(zhǎng)、寬、高分別為2,1,6的長(zhǎng)方體的外接球時(shí),球的半徑取最小值,即該球形容器的半徑的最小值為124+1+36=412,故該球形容器的表面積的最小值為4π×答案C二、填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.11.若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為163,則a=,正三棱柱的表面積為.

答案448+8312.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑及高都與一個(gè)球的直徑相等,則該圓柱,圓錐,球的體積之比為.

解析設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為r,則圓柱和圓錐的高h(yuǎn)=2r,球的半徑為r,故V圓柱=πr2·2r=2πr3,V圓錐=13πr2·2r=23πr3,V球=43πr3,故V圓柱∶V圓錐∶V球=3∶1答案3∶1∶213.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

解析由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4×6-4×12×2×3=12(cm2),點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=13×12×3=12(cm3又長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144(cm3),則該模型的體積為V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).答案118.814.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為,體積為.

解析如圖,因?yàn)槿庵睦忾L(zhǎng)都為a,所以△ABC與△A'B'C'都為正三角形,設(shè)O1,O'分別為△ABC,△A'B'C'的中心,則O1O'的中點(diǎn)O即為所求球的球心.連接OB,O1B,設(shè)所求球的半徑為R,則OB=R,OO1=a2,O1B=33又OB2=OO12+O1B故R2=a22+故所求球的表面積為S球=4πR2=4π×712a2=73πa2,體積為V球=4π3R3=答案7π3a2715.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=12,AC與BE的位置關(guān)系為,三棱錐A-BEF的體積為.解析∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,∴AC⊥B1B,又AC⊥BD,BD∩B1B=B,∴AC⊥平面BDD1B1,又BE?平面BDD1B1,∴AC⊥BE.V三棱錐A-BEF=13×12EF×BB1×答案垂直216.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論正確的是.(填序號(hào))

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直線PD與平面ABC所成的角為45°.解析對(duì)于①,若PB⊥AD,而PA⊥AD,則AD⊥平面PAB,從而AD⊥AB,顯然不成立,故①錯(cuò)誤.對(duì)于②,易證AB⊥AE,AB⊥PA,從而AB⊥平面PAE,又因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故②正確.對(duì)于③,若BC∥平面PAE,則BC∥AE,顯然不成立,故③錯(cuò)誤.對(duì)于④,易知∠PDA為直線PD與平面ABC所成的角,在Rt△PAD中,因?yàn)镻A=2AB,AD=2BC=2AB,所以PA=AD,所以∠PDA=45°,即直線PD與平面ABC所成的角為45°,故④正確.答案②④17.如圖(單位:cm),圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為cm2,體積為cm3.

解析由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面.S半球=8π,S圓臺(tái)側(cè)=35π,S圓臺(tái)底=25π.故所求幾何體的表面積為68πcm2.由V圓臺(tái)=13×(π×22+π×22×π×52+π×V半球=43π×23×12故所求幾何體的體積為V圓臺(tái)-V半球=52π-163π=1403π(cm3答案68π140三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.18.(14分)在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥SB,垂足為F,E,G分別為棱SA,SC的中點(diǎn).求證:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.證明(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F為SB的中點(diǎn).又E,G分別為棱SA,SC的中點(diǎn),∴EF∥AB,FG∥BC.又EF?平面ABC,FG?平面ABC,AB?平面ABC,BC?平面ABC,∴EF∥平面ABC,FG∥平面ABC,又EF∩FG=F,∴平面EFG∥平面ABC.(2)∵平面SAB⊥平面SBC,AF⊥SB,平面SAB∩平面SBC=SB,∴AF⊥平面SBC,∴AF⊥BC.又BC⊥AB,AF∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.又SA?平面SAB,∴BC⊥SA.19.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.(1)證明由已知得AM=23AD=2如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN.∵N為PC的中點(diǎn),∴TN∥BC,TN=12BC=2又AD∥BC,∴TNAM,∴四邊形AMNT為平行四邊形,∴MN∥AT.又AT?平面PAB,MN?平面PAB,∴MN∥平面PAB.(2)解∵PA⊥平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),∴點(diǎn)N到平面ABCD的距離為12PA=2如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.∵AB=AC=3,∴AE⊥BC,AE=AB又AM∥BC,∴點(diǎn)M到BC的距離為5,∴S△BCM=12×4×5=25∴VN-BCM=13×25×2=420.(15分)如圖①,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中點(diǎn).現(xiàn)沿AD將平面PAD折起,使得PA⊥AB,如圖②,E,F分別為BC,AB的中點(diǎn).(1)求證:PA⊥平面ABCD;(2)求證:平面PAE⊥平面PDE;(3)試在PA上找一點(diǎn)G,使得FG∥平面PDE,并證明你的結(jié)論.(1)證明在直角梯形PBCD中,∵PB∥CD,CD⊥BC,PB=2CD,A是PB的中點(diǎn),∴四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥PA.又PA⊥AB,AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)證明∵PA⊥平面ABCD,ED?平面ABCD,∴PA⊥ED.在矩形ABCD中,∵BC=2CD=2AB=2BE=2EC,∴∠BEA=45°,∠CED=45°,∴∠AED=90°,即AE⊥ED.又PA∩AE=A,∴ED⊥平面PAE.又ED?平面PDE,∴平面PAE⊥平面PDE.(3)解在PA上取一點(diǎn)G,使PG=3GA,則FG∥平面PDE.證明如下:取ED的中點(diǎn)M,在PD上取一點(diǎn)N,使PN=3ND,連接FM,MN,GN(圖略),則FM∥AD,GN∥AD,FM=12(BE+AD)=34AD,GN=3∴FMGN,∴四邊形FMNG為平行四邊形,∴FG∥MN.又MN?平面PDE,FG?平面PDE.∴FG∥平面PDE.21.(15分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1,B'C∩BC'=O,求:(1)AO與A'C'所成角的度數(shù);(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù).解(1)∵A'C'∥AC,∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC.∵在正方體中,AB⊥平面BC',OC?平面BC',∴OC⊥AB.又OC⊥OB,且AB∩OB=B,∴OC⊥平面ABO.∵OA?平面ABO,∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=22,AC=2,sin∠OAC=OCAC=12,∴即AO與A'C'所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖所示,作OE⊥BC于點(diǎn)E,連接AE.∵平面BC'⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,∠OAE為OA與平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中,OE=12,AE=1∴tan∠OAE=OEAE(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,∴OC⊥平面AOB.又OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90