新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

4．2.1指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義．2．理解指數(shù)函數(shù)的概念．核心素養(yǎng)1．通過(guò)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)函數(shù)_y＝ax(a>0，且a≠1)_叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R_.[拓展]指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定a>0，且a≠1的原因：(1)如果a＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，ax恒等于0，沒(méi)有研究的必要；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無(wú)意義．(2)如果a＜0，例如y＝(－4)x，這時(shí)對(duì)于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，該函數(shù)無(wú)意義．(3)如果a＝1，則y＝1x是一個(gè)常量，沒(méi)有研究的價(jià)值．提醒：指數(shù)函數(shù)解析式的特征：(1)a>0，且a≠1；(2)ax的系數(shù)為1；(3)自變量x的系數(shù)為1的函數(shù)．練一練：1．下列函數(shù)中一定是指數(shù)函數(shù)的是(C)A．y＝2x＋1 B．y＝x2C．y＝3－x D．y＝－2·3x[解析]只有y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x符合指數(shù)函數(shù)的概念，A，B，D選項(xiàng)中函數(shù)都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．2．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝2，則f(x)＝(eq\r(2))x_.[解析]設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍去)．∴f(x)＝(eq\r(2))x.知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)型函數(shù)模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)模型．想一想：設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)量為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則x，y之間滿足的關(guān)系式是什么？提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．練一練：按復(fù)利計(jì)算利率的儲(chǔ)蓄，存入銀行2萬(wàn)元，如果年息3%,5年后支取，本利和為人民幣(B)A．2(1＋0.3)5萬(wàn)元 B．2(1＋0.03)5萬(wàn)元C．2(1＋0.3)4萬(wàn)元 D．2(1＋0.03)4萬(wàn)元題型探究題型一指數(shù)函數(shù)的概念典例1(1)(多選題)下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(AB)A．y＝(eq\r(3)＋1)xB．y＝πxC．y＝－4xD．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是(C)A．a(chǎn)＞0且a≠1 B．a(chǎn)≥0且a≠1C．a(chǎn)＞eq\f(1,2)且a≠1 D．a(chǎn)≥eq\f(1,2)[分析]利用指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．[解析](1)函數(shù)y＝(eq\r(3)＋1)x的底數(shù)eq\r(3)＋1>0，系數(shù)為1，故A中函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝πx的系數(shù)為1，底數(shù)π>1，故B中函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝－4x的系數(shù)為－1，故C中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝ax＋2＝a2·ax的系數(shù)為a2，故D 中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，故選B.(2)函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1))，解得a＞eq\f(1,2)且a≠1.[歸納提升]1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)．(2)指數(shù)位置是自變量x.(3)ax的系數(shù)是1.2．求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是(D)A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\f(1,x) D．y＝eq\f(1,2x)(2)若函數(shù)y＝a2(2－a)x是指數(shù)函數(shù)，則(C)A．a(chǎn)＝1或－1 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)>0且a≠1[解析](1)由指數(shù)函數(shù)定義可知，函數(shù)y＝eq\f(1,2x)＝是指數(shù)函數(shù)，故選D.(2)由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.題型二指數(shù)函數(shù)解析式典例2(1)指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π，eq\r(2))，則f(－π)＝eq\f(\r(2),2)_；(2)指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)＝_64_.[解析](1)設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則aπ＝eq\r(2)，∴f(－π)＝a－π＝eq\f(1,aπ)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則a－2＝eq\f(1,4)，∴a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64.[歸納提升]求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．(2)利用已知條件求底數(shù)a.(3)寫(xiě)出指數(shù)函數(shù)的解析式．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(1)若點(diǎn)(a,27)在函數(shù)y＝(eq\r(3))x的圖象上，則eq\r(a)的值為(A)A.eq\r(6) B．1C．2eq\r(2) D．0(2)若指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,16)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,8)_.題型三指數(shù)型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用角度1增長(zhǎng)型指數(shù)函數(shù)模型典例3隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為(B)A．3000×1.06×7元B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元D．3000×1.068元[解析]由題意知，2021年底該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3000×(1＋6%)7＝3000×1.067，故選B.角度2衰減型指數(shù)函數(shù)模型典例4調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超過(guò)0.2mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度減少，則他至少要經(jīng)過(guò)________小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車．(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設(shè)n小時(shí)后才可以駕車，據(jù)題意得0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq\f(1,4)，∴n≥2，即至少要經(jīng)過(guò)2小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車，故選B.[歸納提升]關(guān)于指數(shù)型函數(shù)模型設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)(衰減)率為p，經(jīng)過(guò)x次增長(zhǎng)(衰減)，該量增長(zhǎng)到y(tǒng)，則y＝N(1±p)x(x∈N)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?已知某種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本每年降低25%.若該產(chǎn)品2017年底的生產(chǎn)成本為6400元/件，那么2020年底的生產(chǎn)成本為_(kāi)2_700_元/件．[解析]2020年底生產(chǎn)成本6400×(1－25%)3＝2700元．1．下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(D)A．y＝(－8)xB．y＝2x2－1C．y＝axD．y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，且a≠1))2．若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,8)，則f(x)的解析式為(B)A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2xC．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．f(x)＝3．指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(3)＝_8_.[解析]設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由題意，得4＝a2，∴a＝2.∴