第03講 勾股定理的應(yīng)用（原卷版）

第03講勾股定理的應(yīng)用1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題（梯子滑動(dòng)、風(fēng)吹蓮動(dòng)、折竹抵地、臺(tái)風(fēng)和爆破、航行和信號(hào)塔、速度等問(wèn)題）.2.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要善于構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．題型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一架長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，，這時(shí)，梯子的底端到墻底的距離為．

(1)求此時(shí)梯子的頂端距地面的高度．(2)如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端外移嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的結(jié)論．【變式1】（2023春·寧夏吳忠·八年級(jí)校考期中）如圖，將長(zhǎng)為25米長(zhǎng)的云梯斜靠在建筑物的側(cè)墻上，長(zhǎng)7米．(1)求梯子上端到墻的底端E的距離的長(zhǎng)；(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，則梯腳B將外移多少米？【變式2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖梯子斜靠在豎直的墻，長(zhǎng)為，為．(1)求梯子的長(zhǎng)．(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點(diǎn)C，梯子底端B外移到點(diǎn)D，求的長(zhǎng)．題型02求旗桿高度【典例1】（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時(shí)比墻高多出了米，教練把繩子的下端拉開(kāi)米后，發(fā)現(xiàn)其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．【變式1】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）思源中學(xué)八（3）班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得下圖風(fēng)箏的高度，他們進(jìn)行了如下操作：（1）測(cè)得的長(zhǎng)度為米；（2）根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為米；（3）牽線放風(fēng)箏的小明身高米，求風(fēng)箏的高度．【變式2】（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米，高為3米的矮臺(tái)B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．題型03求小鳥(niǎo)飛行距離【典例1】（2023春·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有兩棵樹(shù)，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹(shù)相距4米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，至少飛了多少米？【變式1】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一只小鳥(niǎo)從小樹(shù)頂飛到大樹(shù)頂上，它飛行的最短路程是________．【變式2】（2023春·廣西防城港·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高AC是10米，另一棵樹(shù)高BD是4米，兩樹(shù)相距8米（即CD=8米），一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B點(diǎn)處，則小鳥(niǎo)至少要飛行多少米？題型04求大樹(shù)折斷前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？

【變式1】（2023春·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中在離地某處折斷倒下，樹(shù)尖落在離樹(shù)底部12米處，已知原樹(shù)高是18米，你能求出大樹(shù)在離地多少米的位置折斷嗎？

【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．(1)求旗桿折斷處點(diǎn)距離地面的高度；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)的下方的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)處吹斷，旗桿的頂點(diǎn)落在水平地面上的處，形成一個(gè)直角，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．題型05解決水杯中筷子問(wèn)題【典例1】（2023春·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)的直吸管露在罐外部分的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍?，適與岸齊．問(wèn)水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【變式2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是，則h的取值范圍是________．題型06解決航海問(wèn)題【典例1】（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到處測(cè)得小島位于北偏東方向上，繼續(xù)向東航行海里到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得小島在輪船的北偏東方向上，此時(shí)輪船與小島的距離為_(kāi)___海里．【變式1】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)珠海市前山中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某港口O位于東西方向的海岸線上，有甲，乙兩艘輪船同時(shí)離港，各自沿著一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小時(shí)30海里，乙船沿北偏東方向航行，每小時(shí)40海里，2小時(shí)后，兩船分別到達(dá)A，B處，此時(shí)兩船相距多少海里？

【變式2】（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東的方向航行到達(dá)B港口，然后再沿北偏西方向航行到達(dá)C港口．(1)求A，C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)C港口在A港口的什么方向．題型07求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度【典例1】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設(shè)防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．150【變式1】（2023春·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長(zhǎng)是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長(zhǎng)度為（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【變式2】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道需要_______________元．題型08判斷汽車是否超速【典例1】（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方的C處，過(guò)了，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．

(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？【變式1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一輛小汽車在一條限速的街路上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面車速檢測(cè)儀A的正前方處的C點(diǎn)，過(guò)了后，測(cè)得小汽車所在的B點(diǎn)與車速檢測(cè)儀A之間的距離為．(1)求B，C間的距離．(2)這輛小汽車超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方50米處，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時(shí)所走的路程，并判定小汽車是否超速？題型09判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響【典例1】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為，，又，經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向的B處有一臺(tái)風(fēng)中心正以的速度向方向移動(dòng)，已知城市A到的距離，那么：(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都有受到臺(tái)風(fēng)破壞的危險(xiǎn)，為讓D點(diǎn)的游人脫離危險(xiǎn)，游人必須在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離（撤離速度為）最好選擇什么方向？【變式2】（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一輛環(huán)衛(wèi)車沿公路由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線上兩點(diǎn)A，B的距離分別為200m和150m，，環(huán)衛(wèi)車周圍以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域.(1)學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？(2)若環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2min，求環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為多少？題型10求最短路徑【典例1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一圓柱形油罐，如圖，要從點(diǎn)A環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B，問(wèn)梯子最短要多少米？（已知油罐底面周長(zhǎng)是12米，高是5米）【變式1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，已知cm，cm，cm．一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面到E點(diǎn)處覓食，求小蟲爬行的最短距離．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長(zhǎng)為80cm，寬為50cm的長(zhǎng)方形地毛毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于場(chǎng)地寬，木塊從正面看是一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm的等邊三角形．求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過(guò)的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”．請(qǐng)?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開(kāi)圖，并用實(shí)線連接．(2)線段的長(zhǎng)即螞蟻從點(diǎn)處到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程，依據(jù)是_____．(3)問(wèn)題解決：如圖②，展開(kāi)圖中_____，_____．(4)這只螞蟻從點(diǎn)處到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程是_____．題型11選址使到兩地距離相等【典例1】（2023春·江西贛州·八年級(jí)校考期中）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校，分別在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知，問(wèn)：圖書室E應(yīng)建在距點(diǎn)A多少千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

【變式1】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，筆直公路上、兩點(diǎn)相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應(yīng)建在離處多遠(yuǎn)處．【變式2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)和點(diǎn)處，于，于，已知，，，，試問(wèn)，圖書室應(yīng)該建在距點(diǎn)多少知處．才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）海洋熱浪對(duì)全球生態(tài)帶來(lái)了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長(zhǎng)、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺(tái)風(fēng)減少，但是北上的臺(tái)風(fēng)增多．如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面處折斷，倒下后樹(shù)頂端著地點(diǎn)A距樹(shù)底端B的距離為，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，點(diǎn)P為觀測(cè)站，一艘巡航船位于觀測(cè)站P的南偏西方向的點(diǎn)A處，一艘漁船在觀測(cè)站P的南偏東方向的點(diǎn)B處，巡航船和漁船與觀測(cè)站P的距離分別為45海里、60海里．現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無(wú)法移動(dòng)，巡航船以30海里/小時(shí)的速度前去救助，至少需要的時(shí)間是（

）

A．小時(shí) B．2小時(shí) C．小時(shí) D．4小時(shí)3．（2023春·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體筆筒，底面的長(zhǎng)、寬分別為和，高為，將一支長(zhǎng)為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長(zhǎng)度最少為（

）

A． B． C． D．4．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE=1m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離CD=6m），踏板離地的垂直高度CF=4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長(zhǎng)是（

）

A．m B．m C．6m D．m5．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，點(diǎn)M在上，且，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·天津?yàn)I海新·八年級(jí)校考期中）如圖，從電桿上離地面的處向地面拉一條長(zhǎng)為的鋼纜，則地面鋼纜到電線桿底部的距離是______．7．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高米，另一棵高米，兩樹(shù)相距米一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行______米

8．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處40m，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多10m．該河的寬度BC為_(kāi)____米．9．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，，公路上處距離點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，處受到噪音影響的時(shí)間為_(kāi)_______秒．10．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為_(kāi)__________．（杯壁厚度不計(jì)）

三、解答題11．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？12．（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，鐵路上，兩點(diǎn)相距，，為兩村莊，于點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站，使得，兩村到站的距離相等，則站應(yīng)建在離站多少處？

13．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？14．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．15．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一架長(zhǎng)10米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻6米(1)此時(shí)梯子頂端A離地面多少