2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案5.2《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》 (原卷版)

頁(yè)第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的線性運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量共線，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，則3a－2b＝()A．(－7,7)B．(－3，－2)C．(6,2)D．(4，－3)3．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1.如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．1D．－12．已知A(－5,8)，B(7,3)，則與向量eq\o(AB,\s\up7(→))反向的單位向量為_(kāi)_______．3．給出下列三個(gè)向量：a＝(－2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，c＝(－1,1)，在這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為_(kāi)_______．考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用[典例](1)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(EC,\s\up7(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))(2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2[方法技巧]平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．[針對(duì)訓(xùn)練]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則λ＋μ等于()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)2．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up7(→))＝teq\o(CP,\s\up7(→))，則t的值為_(kāi)_______．考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[典例](1)已知在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up7(→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))(2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1B．2C．3D．4[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知點(diǎn)A(4,6)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，與向量eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量的坐標(biāo)可以是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，3))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(9,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(14,3)，－3))D．(7,9)2．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，若向量a，b，c滿足c＝xa＋yb，且(ka－b)·c＝0，則eq\f(x＋y,k)＝________.考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示[典例](1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為_(kāi)_______．[方法技巧](1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則m＋n的最大值為()A．－3B．－2C．2D．32．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標(biāo)．一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法數(shù)形結(jié)合——建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)需要選擇一個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩條互相垂直的直線為x軸、y軸，使題目中的其他點(diǎn)都便于表達(dá)，這樣將向量運(yùn)算坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．[典例]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2[名師微點(diǎn)]本題先通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)勢(shì)．[應(yīng)用體驗(yàn)]1.如圖所示，原點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝3，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(μ,λ)＝()A．－eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)2.如圖，在正方形ABCD中，P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(DB,\s\up7(→))＋μeq\o(AP,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為_(kāi)_______．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)2.如圖，將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對(duì)的直角邊重合，若eq\o(DB,\s\up7(→))＝xeq\o(DC,\s\up7(→))＋yeq\o(DA,\s\up7(→))，則x，y等于()A．x＝eq\r(3)，y＝1B．x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3)C．x＝2，y＝eq\r(3)D．x＝eq\r(3)，y＝1＋eq\r(3)3．(多選)如圖1，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)A，B是“六芒星”(如圖2)的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界)，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，則x＋y的取值可能是()A．－6B．1C．5D．9eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)2．已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與eq\o(AB,\s\up7(→))同方向的單位向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件4．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，則銳角θ＝()A.eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b二、綜合練——練思維敏銳度1．已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，則eq\f(m,n)＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－2D．22．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)3.如圖，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))＝3eq\o(CE,\s\up7(→))，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)aB.eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)bD.eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝60°，設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A.eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(\r(3),3)C．3D．2eq\r(3)5．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))－neq\o(OB,\s\up7(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，則|eq\o(OC,\s\up7(→))|的最小值為()A.eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5)D．eq\r(10)6．在△OAB中，若點(diǎn)C滿足eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝()A.eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9)D．eq\f(9,2)7.如圖，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(BD,\s\up7(→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(4,3)B．eq\f(5,3)C.eq\f(15,8)D．28．在△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝4eq\o(AD,\s\up7(→))，P為BD上一點(diǎn)，向量eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ>0，μ>0)，則eq\f(4,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值為()A．16B．8C．4D．29.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的一點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，則m＋n的取值范圍是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若滿足a∥b，且方向相同，則x＝________.11．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成45°角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量eq\o(OP,\s\up7(→))＝xe1＋ye2，則把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量eq\o(OP,\s\up7(→))在坐標(biāo)系xOy中