2022年高三數(shù)學(xué) 專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列

2022年高三數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列

知識(shí)框架：

數(shù)列

-1-

典型例題:

1、等差數(shù)列、等比數(shù)列：

例題1、根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第"個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn)。

(1)(2)(3)(4)(5)

例題2、等差數(shù)列｛%｝中，若。3+。4+“5+。6+“7=450，則。2+=

例題3、在等差數(shù)列｛2｝中，3(%+々5)+2(%+6()+%3)=24,則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為

例題4、以S“，7；分別表示等差數(shù)列｛q｝,｛2｝的前〃項(xiàng)和，若亍=舄，則今的值為

例題5、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是

例題6、在-9與3之間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，則公差d為

例題7、已知等差數(shù)列｛%｝中，%+的=16,%=1，貝卜12的值是

例題8、已知數(shù)列｛怎｝是等比數(shù)列，且。“>0,n&N*,a3a5+2。4a6+。5a7=81，則%+4=

例題9、在等比數(shù)列｛%｝中，an>Q,(〃髭M)且03a6%=8,則

log2a2+log2a4+log2a6+log2a8+log2ai0=

例題10、已知數(shù)列｛a,J是非零等差數(shù)列，又為、由、旬組成一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則1+%+%

Clj+4+。］()

-2-

例題11、已知x>0,y>0,且x,a,b,>成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則讓土史■的最小值

cd

為。

例題12、已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)和為170,則這個(gè)數(shù)列的公比等

于—，項(xiàng)數(shù)等于

例題13、等比數(shù)列｛a?｝的前5項(xiàng)和是30,前10項(xiàng)和是90,則前15項(xiàng)和為

例題14、設(shè)｛4｝為公比4>1的等比數(shù)列，若為)04和。2005是方程4/一8工+3=0的兩根，則的加+4007=_

=3

例題15、正數(shù)組成的等比數(shù)列的公比q=2,a/。？....?302°>則43也6國(guó)9....?30=

例題16、一個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)的和為48,前2〃項(xiàng)的和為60,則前3〃項(xiàng)的和為

例題17、已知｛凡｝為等差數(shù)列，且。2+4+4+%=48,則$9=

例題18、若數(shù)列｛4,｝(〃eN*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列a=&*%…+%.(〃eN*)也是等差數(shù)列,類(lèi)比上述

n

性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列｛%｝(〃€N*)是等比數(shù)列，且%〉0(〃eN*),則有d“=(〃eN*)也是等

比數(shù)列。

例題19、等差數(shù)列｛%｝中,0o〈O，aii>O且Gi>@o|,S“為其前"項(xiàng)和，則()

AS，A，…,Sio都小于0,511，Si2，…都大于0B.Si，A，…,矯9都小于0,S20，S21，…都大于0

C.Si，S2，…，S5都小于0,$6，S7,…都大于0D.S,So都小于0,Si,5，…都大于0

例題20、已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和5“=3"+%(4為常數(shù))，那么下述結(jié)論正確的是()

A.Z為任意實(shí)數(shù)時(shí)，｛%｝是等比數(shù)列B.k=-1時(shí)，｛%｝是等比數(shù)列

C.%=0時(shí)，｛6｝是等比數(shù)列D.｛4,,｝不可能是等比數(shù)列

-3-

例題21、已知｛2｝為等差數(shù)列，物,｝為等比數(shù)列，其公比qrl,且e>0(i=1,2,3,…,〃)，若q=*,即=仿］,

則()

A.a6=b6B,即>%C。6<%D.a6><h6

例題22、在等比數(shù)列｛/｝中，/+在+…+。,=2"-1,則才+4+…+4的值是()

A.(2〃-1)2B.J"一C.4"—1D.1(4,!-1)

例題23、等比數(shù)列｛4｝中，《、。99為方程/-10x+16=0的兩根，則。20以50480的值為()

A.32B.64C.256D.±64

例題24、設(shè)｛4｝(〃eN*)是等差數(shù)列，S“是前〃項(xiàng)和，S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.d<0B%=°C.S9>S5DS$與S?均為S“的最大項(xiàng)

例題25、已知下列各數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和S”的公式，求｛%｝的通項(xiàng)公式。

(1)S“=2〃2一3〃；⑵S“=3”-2

例題26、

(1)求數(shù)列｛-2河+9〃+3｝中的最大項(xiàng);

(2)已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式4=(〃+1)(白)，求〃為何值時(shí)，a“取最大值.

-4-

例題27、已知數(shù)列｛%｝中，S,,是它的前幾項(xiàng)和，且S“+I=4a“+2(〃=l,2-)，q=l.

(1)設(shè)a=。付一2%(“=1,2,…)，求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)c.=2(〃=1,2,…),求證：匕｝是等差數(shù)列;

〃+2

例題28、數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和記為5?,已知q=1,a?S(n=l,2,3,---)

+1nn

證明：(1)數(shù)列邑是等比數(shù)列，(2)S“+|=4a“

n

2、數(shù)學(xué)歸納法

例題29、已知/,(?)=12+22+---+rt2+(/?+1)2+/?2+---+22+12,則/(I)=o

例題30、設(shè)/(〃)=」一+」一+…+」一，那么/(Z+1)—/(%)=

72+1〃+23〃+1

例題31、設(shè)/(〃)=l?〃+2?(〃-l)+3?(〃-2)d-----b〃?l,則+=

例題32、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+,+-+—!—<〃(〃€27*,〃>1)時(shí)，第一步驗(yàn)證不等式_________成立；在

232"-1

證明過(guò)程的第二步從〃=%到〃=4+1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是

-5-

例題33、從1=『，2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,中找出規(guī)律，寫(xiě)出其一般的形式(不需證明)

例題34、設(shè)/是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且/(X)滿足：“當(dāng)/(口》/成立時(shí)，總可推出了a+1)2收+])2

成立”.那么，下列命題總成立的是()

A若/(3)》9成立，則當(dāng)人21時(shí)，均有，(&)》二成立

R若/(5)、25成立，則當(dāng)ZW5時(shí)，均有/(《)》公成立

C?若/(7)<49成立，則當(dāng)人28時(shí)，均有/(左)<%2成立

。.若/(4)=25成立，則當(dāng)上24時(shí)，均有/(我)》公成立

例題35、若命題P(n)對(duì)一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推證P(k+2)也成立，則一定有()

A、P(n)對(duì)所有正整數(shù)都成立B、P(n)對(duì)所有大于等于2的正整數(shù)都成立

C、P(n)對(duì)所有正偶數(shù)都成立D、P(n)對(duì)所有正奇數(shù)都成立

例題36、已知數(shù)列｛。,,｝中，“=■!■,/用=0山。

33-%

(1)求々，“3,4的值；(2)猜想明的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

-6-

3、求通項(xiàng)公式:

例題37、已知數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和S“=4—%-白，求通項(xiàng)公式生。

例題38、在數(shù)列｛4｝中，己知q=l,當(dāng)“22時(shí)，有=4_]+2〃-1（〃22）,求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式。

例題39、在數(shù)列｛4｝中，已知4=1,有nan_｛=（般+1）?！?（〃之2）求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式。

例題40、在數(shù)列｛%｝中，已知q=l當(dāng)“22時(shí)，有%=3q_1+2,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

例題41、己知q=4,an+l求見(jiàn)。

2??+1

-7-

例題42、已知數(shù)列｛a,,｝滿足4=1,4=2,4a“+2=4a?+1-an(neN*),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)a?。

),+1

例題43、在數(shù)列｛4,｝中，a1=2,??=2a?_1+2(n>2))求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式。

2??,(0

=)26

例題44、數(shù)列｛4｝滿足。1J八若4=一，則。20的值為

例題45、已知數(shù)列｛《,｝滿足凡制=4+QV；；\；+3)2‘0=''求數(shù)列僅”｝的通項(xiàng)公式。

例題46、已知數(shù)列｛%｝滿足％=3,4求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式。

-8-

4、求和方法:

-1，*

例題47（利用求和公式求和）已知1083犬=-----，求+/+…+%”的前n項(xiàng)和。

log,3

246In

例題48（利用錯(cuò)位相減求和）求數(shù)歹金■，營(yíng)，…，簽前n項(xiàng)的和。

例題49（用倒序相加法求和）求C；+3C；+5C,；+…+（2〃+1）￡；

例題50（分組法求和）

(1)求數(shù)列1+1,—I-4,--+----+3/?—2,,,,的前n項(xiàng)和。

aa24i

-9-

(2)數(shù)列｛a,｝：q=1,。2=3,%=2,a,+2=a“+i，求S234

(3)數(shù)列數(shù),｝中,q=8,%=2且滿足%+2=24+「%5GN*),設(shè)S“=|q|+|%I+…I，求S“

例題51(利用裂項(xiàng)法求和)

等差數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為工，且％,生,。9成等差數(shù)列，8=d。

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝,仍〃｝滿足々二十",求數(shù)列｛么｝的前99項(xiàng)的和。

-10-

5、綜合題型：

例題52、數(shù)列｛。.｝的通項(xiàng)/=〃?sin曾，前〃項(xiàng)和為S,,，則S|3=

例題53、設(shè)=log“+1(〃+2)(〃eN*),稱(chēng)。陷2a3…4為整數(shù)的左為“希望數(shù)”，則在。，2013)內(nèi)所有“希

望數(shù)”的個(gè)數(shù)為

C2

例題54、設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若不等式片+-2〃皿：對(duì)任意等差數(shù)列｛4｝及任意正整數(shù)”都成立，則

n

實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為

例題55、設(shè)數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=2,%=6,若自然數(shù)”，…滿

3<<n2<...<nk<...,且。］,。3，4.一〃怎，…是等比數(shù)列，則名=

例題56、公差為d,各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列｛4｝中，若6=1,牝=65,則〃+d的最小值等于.

例題57、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S,,若｛4｝和｛向｝都是等差數(shù)列，且公差相等，則q+d=.

例題58、數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S,,,已知q=(,且對(duì)任意正整數(shù)nun,都有am+n=am-an,若S“<。恒成立,

則實(shí)數(shù)。的最小值為()

134

(A)-(B)-(C)-(D)4

443

例題59、下列命題：①"0<a?L是"存在〃eN*,使得山"=a成立"的充分條件；②"a>0"是"存在,

22

使得(』)"<a成立"的必要條件；③是"不等式(工)“<a對(duì)一切〃eN*

222

恒成立”的充要條件.其中所以真命題的序號(hào)是()

A.③B.②③C.①②D.①③

-11-

例題60、設(shè)王，龍2,…，/為1，2,…，10的一個(gè)排列，則滿足對(duì)任意正整數(shù)〃?，〃，且14加<〃410,都有

與+機(jī)V怎+〃成立的不同排列的個(gè)數(shù)為()

(A)512(B)256(C)255(D)64

例題61、給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)/(x)=2|x+c+41Tx+c|.數(shù)列q,4，/，…滿足4+i=/(4)，nd

(1)若q=-c-2,求生及4；

(2)求證：對(duì)任意〃eN*,an+l-an>c；

(3)是否存在4,使得q,%，…,可，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的q；若不存在，說(shuō)明理由.

例題62、己知數(shù)列｛??｝與色｝滿足an+l-an=2s向一2),〃eN*.

(1)若=3〃+5,且q=1,求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛怎｝的第％項(xiàng)是最大項(xiàng)，即a”.>an(neN*),求證:也｝的第傳項(xiàng)是最大項(xiàng);

⑶設(shè)％=4<0,2=/T(〃eN*),求4的取值范圍，使得｛q｝有最大值M和最小值相，且使得一e(—2,2).

m

-12-

例題63、若無(wú)窮數(shù)列｛叫滿足：只要%,=4(p,”N"),必有則稱(chēng)｛叫具有性質(zhì)P.

(1)若｛%｝具有性質(zhì)P.且4=1,/=2,%=3,《=2,紇+/+4=21,求生；

(2)若無(wú)窮數(shù)列也｝是等差數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列｛%｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，々=。5=1，々=9=81,

4=〃,+1，判斷｛《,｝是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)也｝是無(wú)窮數(shù)列，已知〃向=〃,+sin%(〃eN.),求證：“對(duì)任意q,｛〃“｝都具有性質(zhì)P”的充要條

件為“也｝是常數(shù)列”.

例題64、已知數(shù)列｛q｝滿足;a“4a,,+143a“，”eN*,=1.

⑴若生=2,%=工，。4=9，求x的取值范圍；

(2)設(shè)｛%｝是公比為夕的等比數(shù)列，S“=/+4+…+4-若;S,〈S,用＜3S“，〃GN”,求q的取值范圍；

⑶若4,外,…，外成等差數(shù)列，且4+4+…+4=100°，求正整數(shù)&的最大值，以及女取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列

%,?2,???，4的公差.

-13-

例題65、設(shè)二次函數(shù)，制=（憶-4）/+依（kg對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/（x）W6x+2恒成立；數(shù)列｛七｝滿足

%+1=/（.“）?

（1）求函數(shù)/（幻的解析式和值域；

（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a,〃），使得當(dāng)為仁（4人）時(shí)，數(shù)列｛%｝在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（3）已知/=!，是否存在非零整數(shù)X,使得對(duì)任意〃eN*,都有

3

（\（\（\

1n

log3J—+log31'一+--+log3-p—>-l+（-l）-'2/l+Mlog32恒成立，若存在，求之；若不存在,

不一巧;一生不一可

說(shuō)明理由.

例題66、對(duì)于項(xiàng)數(shù)為〃?的有窮數(shù)列｛6,｝,記％.=max｛4,4,（k=1,2,…，㈤，即為為中的最

大值，并稱(chēng)數(shù)列稱(chēng)“｝是｛%｝是控制數(shù)列,如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.

（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列｛a?｝的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫(xiě)出所有的｛a,,｝；

（2）設(shè)｛"｝是｛4｝的控制數(shù)列，滿足見(jiàn)+>z+i=C（C為常數(shù),左=1,2,…,加）.求證：4=幺（％=1,2,…,〃。；

?“5+1）

（3）設(shè)m=100,常數(shù)若見(jiàn)=。/一（―1）〒.4｛2｝是｛凡｝的控制數(shù)列，

求S]-Q]）+（Z72-。2）+…+（400-。100）

-14-

例67、已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，。2=1，前〃項(xiàng)和為S",且S,,=幽尹.

(1)求01，03；

(2)求證：數(shù)列｛〃｝為等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)1g2=$,試問(wèn)是否存在正整數(shù)p,q(其中使優(yōu)，bp,為成等比數(shù)列？若存在，求出所有

滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在，說(shuō)明理由.

例題68、已知數(shù)列｛%｝(〃GN*)的前〃項(xiàng)和為Sn,數(shù)列是首項(xiàng)為0,公差為;的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛qj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=2?(一2戶(女”)，對(duì)任意的正整數(shù)3將集合｛怎_]也%句｝中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增

的等差數(shù)列，其公差為“，求證：數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

(3)對(duì)(2)題中的“，求集合｛x[4<x<&+1,xeZ｝的元素個(gè)數(shù).

-15-

例題69、已知定義在7?上的函數(shù)/(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)苞，/都有/(內(nèi)+々)=1+/(%)+/(>2)，且/⑴=L

(1)若對(duì)任意正整數(shù)〃，有為求/、%的值，并證明｛4,｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)對(duì)任意正整數(shù)〃，有2=」一.若不等式內(nèi)用+仇+2+…+風(fēng),>91og,(x+l)對(duì)任意不小于2的正整數(shù)〃

/(?)35

都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

例題70、現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下:

第一行：1

第二行：12

第三行：1123

第四行11211234

第五行1121123112112345

第女行：先抄寫(xiě)第1行，接著按原序抄寫(xiě)第2行，然后按原序抄寫(xiě)第3行，…,直至按原序抄寫(xiě)第％-1行，最后添上數(shù)h

(如第四行，先抄寫(xiě)第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫(xiě)第二行的數(shù)1,2,接著按原序抄寫(xiě)第三行的數(shù)1,1,2,3,最

后添上數(shù)4).將按照上述方式寫(xiě)下的第〃個(gè)數(shù)記作可(如4=1,4=1,4=2,g=1，…，%=3，…，

?,4=3,卬5=4,…).

(1)用〃表示數(shù)表第左行的數(shù)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛4｝的前左項(xiàng)和￡；

(2)第8行中的數(shù)是否超過(guò)73個(gè)？若是，用4。表示第8行中的第73個(gè)數(shù)，試求〃。和耳。的值；若不是,請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)令S.=%+,+/"*----卜°.，求S20D的值.