2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 6-4-3余弦定理正弦定理第2課時(shí)正弦定理 學(xué)案

第2課時(shí)正弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)了解正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程．(2)掌握正弦定理并會(huì)解三角形、判斷三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．【問(wèn)題探究】如圖，在Rt△ABC中，A＝30°，斜邊c＝2.(1)試求△ABC其他的邊和角，計(jì)算asin(2)對(duì)于其他的直角三角形，此結(jié)論是否成立呢？是否能夠猜測(cè)，此結(jié)論對(duì)于銳角和鈍角三角形是否都成立呢？題型1已知兩角及一邊解三角形例1在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．學(xué)霸筆記：已知三角形的兩角和任意一邊解三角形時(shí)，可以先由三角形的內(nèi)角和定理，計(jì)算出三角形的第三角，然后由正弦定理求出另外兩邊．跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若a＝2，A＝π6，B＝π4，則實(shí)數(shù)b的值等于(A．2B．2C．22D．4題型2已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例2在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，解這個(gè)三角形．題后師說(shuō)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形的步驟跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝43，b＝12，B＝60°，則A＝()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°題型3三角形解的個(gè)數(shù)的判斷例3不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)b＝72，c＝50，C＝135°.學(xué)霸筆記：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法(1)應(yīng)用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個(gè)數(shù)；(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點(diǎn)C為圓心，以邊長(zhǎng)a為半徑畫(huà)弧，此弧與除去頂點(diǎn)A的射線(xiàn)AB的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表：A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a＝b無(wú)解無(wú)解一解a<b無(wú)解無(wú)解a>bsinA兩解a＝bsinA一解a<bsinA無(wú)解跟蹤訓(xùn)練3(多選)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是()A．若A＝60°，a＝9，b＝8，則△ABC有一解B．若A＝30°，a＝3，b＝43，則△ABC有一解C．若A＝60°，a＝15，b＝16，則△ABC有兩解D．若A＝45°，a＝2，b＝3，則△ABC有兩解題型4判斷三角形的形狀例4在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanAtanB＝a2學(xué)霸筆記：判斷三角形形狀的方法(1)判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷．(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．(3)判斷三角形的形狀，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練4在△ABC中，若acosB＝c，則△ABC的形狀是()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形隨堂練習(xí)1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b＝3，A＝45°，B＝60°，則a＝()A．1B．22C．2D．22．在△ABC中，a＝2，A＝45°，則△ABC外接圓的半徑R等于()A．1B．2C．4D．無(wú)法確定3．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，則此三角形解的情況是()A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定4．在△ABC中，2BC·sinBcosB＝AC·sinA，則B＝________．課堂小結(jié)1.正弦定理的推導(dǎo)．2．利用正弦定理解三角形及三角形解的個(gè)數(shù)的判斷．3．利用正弦定理判斷三角形的形狀．第2課時(shí)正弦定理問(wèn)題探究提示：(1)C＝90°，B＝60°，a＝1，b＝3；asinA＝bsinB＝(2)成立；成立．例1解析：因?yàn)锽＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得asin45°＝4解得a＝4sin45°sin30°＝42，c＝跟蹤訓(xùn)練1解析：因?yàn)閍＝2，A＝π6，B＝π4，由正弦定理asinA＝bsinB可得b＝asinB答案：C例2解析：由正弦定理，得sinC＝csinBb＝2因?yàn)閏＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.于是C＝45°，或C＝135°.(1)當(dāng)C＝45°時(shí)，A＝105°此時(shí)a＝bsinAsinB＝2＝232×2(2)當(dāng)C＝135°時(shí)，A＝15°，此時(shí)a＝bsinAsinB＝2＝222×3跟蹤訓(xùn)練2解析：因?yàn)閍＝43，b＝12，B＝60°，所以由正弦定理可得sinA＝asinBb＝43×3212＝12，因?yàn)樵凇鰽BC中，0°<A<180°，所以A＝30°或150°.又因?yàn)閎>a，所以答案：A例3解析：(1)由正弦定理asinA＝∴sinB＝basinA＝45×∵A＝120°，∴B＝180°－(A＋C)＝60°－C<60°，∴B只有一解，三角形解的個(gè)數(shù)為一解．(2)由正弦定理asinA＝∴sinB＝basinA＝109×∴32<sinB<1∵A＝60°，a<b，∴60°<B<120°，∴B有兩解，三角形解的個(gè)數(shù)為兩解．(3)∵b>c，∴B>C＝135°，∴B＋C>270°，∴B無(wú)解，三角形無(wú)解．跟蹤訓(xùn)練3解析：因?yàn)閟inB＝bsinAa＝439<1，又b<a，所以B只能為銳角，所以因?yàn)閟inB＝basinA＝233>1，所以△ABC因?yàn)閟inB＝basinA＝8315<1，又b>a，所以B可能為銳角，也可能為鈍角，所以△ABC因?yàn)閟inB＝basinA＝32，所以A＝60°或120°，所以△ABC有兩解，D答案：ACD例4解析：由tanAtanB得sinAcosBcosAsinB∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.∴A＝B或A＋B＝90°.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．跟蹤訓(xùn)練4解析：因?yàn)閍cosB＝c，所以sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以cosAsinB＝0.因?yàn)閟inB>0，所以cosA＝0.又因?yàn)?°<A<180°，所以A＝90°，△ABC為直角三角形．故選B.答案：B[隨堂練習(xí)]1．解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsin答案：D2．解析：在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∵a＝2，A＝45°，∴asinA＝2sin答案：A3．解析：∵BCsinC＝4sin30°＝2，∴BC