江西省“三新”協(xié)同教研共同體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023年“三新”協(xié)同教研共同體高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)深黑．如需改動(dòng)、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第五章計(jì)數(shù)原理中的排列組合（不考二項(xiàng)式定理）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．B．C．D．2．已知，若四點(diǎn)共面，則（）A．3B．C．7D．3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，若．則的面積為（）A．B．C．D．4．已知正方體的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離與到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．拋物線B．橢圓C．雙曲線D．圓5．手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．6．某學(xué)校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，其中有一對(duì)教師夫婦參與支教活動(dòng)．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學(xué)校參與支教，并且每所學(xué)校至少有一名教師參與支教，同時(shí)要求教師夫婦必須去同一所學(xué)校支教，則不同的安排方案有（）A．18種B．24種C．36種D．48種7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（）A．B．C．D．8．曲率半徑可用來(lái)描述曲線在某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，已知橢圓上任意一點(diǎn)處的曲率半徑公式為．若橢圓C上任意一點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為,最小值為1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列排列組合數(shù)中，正確的是（）A．B．C．D．10．已知圓,直線,下列說(shuō)法正確的是（）A．無(wú)論a取何值，直線l與圓C相交B．直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4C．若,則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的圓的方程為D．直線l的方程能表示過(guò)點(diǎn)的所有直線的方程11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，兩點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐的體積為定值B．在平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得平面C．E點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線與直線成角，則線段長(zhǎng)度的最小值為D．與平面所成角的正弦值的取值范圍為12．已知拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程可以表示為．直線分別與該拋物線相切于點(diǎn)相交于點(diǎn)D,與分別相交于點(diǎn)P,Q,則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)D落在一條定直線上B．若直線過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，則C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．圓與圓的位置關(guān)系是&&．14．已知空間向量的模長(zhǎng)分別為2,2,3，且兩兩夾角均為，點(diǎn)G為的重心，則&&．15．2023年10月11日，習(xí)近平總書(shū)記在江西省上饒市考察，他來(lái)到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門(mén)自然村了解推進(jìn)鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開(kāi)的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當(dāng)?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣(mài)，更要考慮曬出獨(dú)一無(wú)二的“中國(guó)最美的符號(hào)”．當(dāng)?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個(gè)小區(qū)域中，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為&&．（用數(shù)字作答）16．已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為&&．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．（1）偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)字表示）（2）若數(shù)字1和2之間恰有一個(gè)奇數(shù)，沒(méi)有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)字表示）18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面為線段的中點(diǎn)，已知．（1）證明：平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為,實(shí)軸長(zhǎng)為2．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l與雙曲線C相切，且與雙曲線C的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積．21．（12分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，,，平面．（1）證明：．（2）棱上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（12分）已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，,直線的斜率為．（1）求橢圓C的方程．（2）已知是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線的斜率為,直線的斜率為,且滿足．過(guò)點(diǎn)A作,垂足為H,試問(wèn)平面上是否存在定點(diǎn)T,使得線段的長(zhǎng)度為定值？若存在，求出該定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023年“三新”協(xié)同教研共同體高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案選擇題123456789101112CBBDDACDABACACDAC1．C．2．B由題可得解得．3．B由命題p可得,解得,所以p可以推出q,q推不出p,故p是q的充分不必要條件．4．DA選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不符合；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不符合；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不符合；D選項(xiàng)，，由,可得．5．D圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線,且最大值為．令,可得或．由，可得．6．A由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．7．C由題知的周期為4．又函數(shù)為奇函數(shù)，所以．8．D由題意可設(shè),由,得，則,所以．構(gòu)造函數(shù)則在上單調(diào)遞減．由的圖象（圖略），可得．9．ABA選項(xiàng)，；B選項(xiàng)，由題可得；C選項(xiàng)，；D選項(xiàng)，．10．AC由的圖象（圖略），可知．由，得，故A正確，B錯(cuò)誤；由,可得,故C正確，D錯(cuò)誤．11．ACD當(dāng)時(shí)，可得,故A,D均不可能；設(shè)，由,可得,化簡(jiǎn)可得在R上恒成立，所以故C選項(xiàng)不可能．12．AC在R上任取,且,則．因?yàn)?所以,即,則,所以在R上為增函數(shù)．令,可得,令,可得，同理可得，故在上的值域?yàn)椋?可得,故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由,可得，所以在R上恒成立，則解得．填空題13．30等價(jià)于，所以解得，則，故集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為30．14．原式．15．由題意可得，則．16．由，可得當(dāng)不等式在上恒成立時(shí)，則解得，此時(shí)，所以a的取值范圍是．解答題17．解：．2分（1）∵“”是“”的充分條件，,．5分（2）．7分當(dāng)時(shí)，．8分當(dāng)時(shí)，．9分綜上，或．10分18．解：（1）當(dāng)時(shí)，可設(shè)．由表知，2分．當(dāng)時(shí)，可設(shè)，則4分解得5分．綜上，6分（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，．8分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，．10分又，∴當(dāng)廣告宣傳費(fèi)投入3萬(wàn)元時(shí)，超市的利潤(rùn)最大．12分19．（1）證明：令,2分．4分．6分（2）解：結(jié)合圖象（圖略）可知，方程的根是的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根是的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．又的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，8分解得10分∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以．12分20．解：（1）由題知,方程的兩根為,2，解得2分由，可得，即，4分，∴不等式的解集為．6分（2）．8分，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．10分又在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值2．12分21．解：（1）．①令,得．②聯(lián)立①②，解得．4分（2）∵在上單調(diào)遞增，．5分又．對(duì)，不妨設(shè),則．單調(diào)遞增．又，,即在上單調(diào)遞增，8分．又由題意可知的值域的值域．10分，可得．12分22．解：（1）為奇函數(shù)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，,即，2分．當(dāng)