高中數(shù)學(xué)論文：巧解外接球的問題

PAGEPAGE3DATE\@"M/d/yyyy"12/12/2023巧解外接球問題如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1（2006年廣東高考題）若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______________.解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為.例2一個正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為______________.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對角線，因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對角線是所以球的半徑為.故該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為，則此球的表面積為.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為.例4、（2006年全國卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（）.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，于是等同于例3，故選C.3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑..小結(jié)本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是_______________.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是.(如圖1)例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴把這個三棱錐可以補(bǔ)成一個棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.∴.故其外接球的表面積.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于，，聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因?yàn)椋瑒t此長方體為正方體，所以長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖4圖42、構(gòu)造長方體例9（2008年安徽高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個球面上，，，若，則球的體積是.圖5解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.（如圖5）圖5本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A.B.C.D.解設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.∴.∴這個球的表面積是.選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得.又，∴球心必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.∴.∴是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.解設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為，則由矩形對角線互相平分，可知.∴點(diǎn)到四面體的四個頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示.∴外接球的半徑.故.選C.出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。【例題】：已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，,求球的體積。解：且，，，,因?yàn)樗灾运钥傻脠D形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點(diǎn)，在中