圓與扇形題庫教師版

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁4-3-3圓與扇形題庫 pagePAGE1ofNUMPAGES3圓與扇形圓與扇形例題精講例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過變動圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形來計算它們的面積．圓的面積；扇形的面積；圓的周長；扇形的弧長．跟曲線有關(guān)的圖形元素：①扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分．我們經(jīng)常說的圓、圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾．那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是．比如：扇形的面積所在圓的面積；扇形中的弧長部分所在圓的周長扇形的周長所在圓的周長2半徑(易錯點是把扇形的周長等同于扇形的弧長)②弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積．一般來說，弓形面積扇形面積-三角形面積．(除了半圓)③”彎角”：如圖：彎角的面積正方形-扇形④”谷子”：如圖：“谷子”的面積弓形面積常用的思想方法：①轉(zhuǎn)化思想(復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的)②等積變形(割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等)③借來還去(加減法)④外圍入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”)板塊一平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、對稱在曲線型面積中的應(yīng)用下圖中每一個小正方形的面積是1平方厘米，那么格線部分的面積是多少平方厘米？割補(bǔ)法．如右圖，格線部分的面積是36平方厘米．【鞏固】下圖中每一個小正方形的面積是1平方厘米，那么格線部分的面積是多少平方厘米？割補(bǔ)法．如右圖，格線部分的面積是36平方厘米．如圖，在188的方格紙上，畫有1，9，9，8四個數(shù)字．那么，圖中的陰影面積占整個方格紙面積的幾分之幾？我們數(shù)出陰影部分中完整的小正方形有8+15+15+1654個，其中部分有6+6+820個，部分有6+6+820(個)，而1個和1個正好組成一個完整的小正方形，所以陰影部分共包含54+2074(個)完整小正方形，而整個方格紙包含818144(個)完整小正方形．所以圖中陰影面積占整個方格紙面積的，即．【鞏固】在4×7的方格紙板上面有如陰影所示的”6”字，陰影邊緣是線段或圓?。畣栮幱懊娣e占紙板面積的幾分之幾矩形紙板共28個小正方格，其中弧線都是圓周，非陰影部分有3個完整的小正方形，其余部分可拼成6個小正方格．因此陰影部分共28－6－3=19個小正方格．所以，陰影面積占紙板面積的．(2007年西城實驗考題)在一個邊長為2厘米的正方形內(nèi)，分別以它的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為平方厘米采用割補(bǔ)法．如果將陰影半圓中的2個弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成兩個相同的等腰直角三角形，所以陰影部分的面積等于兩個等腰直角三角形的面積和，即正方形面積的一半，所以陰影部分的面積等于平方厘米．【鞏固】如圖，在一個邊長為4的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓．求陰影部分的面積．陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為．(人大附中分班考試題)如圖，正方形邊長為1，正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分面積．(取)把中間正方形里面的4個小陰影向外平移，得到如右圖所示的圖形，可見，陰影部分的面積等于四個正方形面積與四個的扇形的面積之和，所以，．圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心．如果每個圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米如下圖所示：可以將每個圓內(nèi)的陰影部分拼成一個正方形，每個正方形的面積為（平方厘米），所以陰影部分的總面積為（平方厘米）．【鞏固】如圖所示，四個全等的圓每個半徑均為2m，陰影部分的面積是或我們雖沒有學(xué)過圓或者圓弧的面積公式，但做一定的割補(bǔ)后我們發(fā)現(xiàn)其實我們并不需要知道這些公式也可以求出陰影部分面積．如圖，割補(bǔ)后陰影部分的面積與正方形的面積相等，等于．如右圖，有8個半徑為1厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心．則花瓣圖形的面積是多少平方厘米？(取3)本題直接計算不方便，可以利用分割移動湊成規(guī)則圖形來求解．如右上圖，連接頂角上的4個圓心，可得到一個邊長為4的正方形．可以看出，與原圖相比，正方形的每一條邊上都多了一個半圓，所以可以把原花瓣圖形的每個角上分割出一個半圓來補(bǔ)在這些地方，這樣得到一個正方形，還剩下4個圓，合起來恰好是一個圓，所以花瓣圖形的面積為(平方厘米)．【總結(jié)】在求不規(guī)則圖形的面積時，我們一般要對原圖進(jìn)行切割、移動、補(bǔ)齊，使原圖變成一個規(guī)則的圖形，從而利用面積公式進(jìn)行求解．這個切割、移動、補(bǔ)齊的過程實際上是整個解題過程的關(guān)鍵，我們需要多多練習(xí)，這樣才能快速找到切割拼補(bǔ)的方法、如圖中三個圓的半徑都是5，三個圓兩兩相交于圓心．求陰影部分的面積和．(圓周率取)將原圖割補(bǔ)成如圖，陰影部分正好是一個半圓，面積為【鞏固】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那么這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取)如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來，這樣，空白部分就是一個圓的內(nèi)接正方形．設(shè)大圓半徑為，則，，所以．移動圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系．計算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．將右邊的扇形向左平移，如圖所示．兩個陰影部分拼成—個直角梯形．(平方分米)．【鞏固】如圖，陰影部分的面積是多少？首先觀察陰影部分，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分形如一個號角，但是我們并沒有學(xué)習(xí)過如何求號角的面積，那么我們要怎么辦呢？陰影部分我們找不到出路，那么我們不妨考慮下除了陰影部分之外的部分吧！觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分左側(cè)是一個扇形，而陰影部分右邊的空白部分恰好與左邊的扇形構(gòu)成一個邊長為4的正方形，那么陰影部分的面積就等于大的矩形面積減去正方形面積．則陰影部分面積請計算圖中陰影部分的面積．法一：為了求得陰影部分的面積，可以從下圖的整體面積中扣掉一個圓的面積，就是要求的面積了．要扣掉圓的面積，如果按照下圖把圓切成兩半后，從兩端去扣掉也是一樣．如此一來，就會出現(xiàn)一個長方形的面積．因此，所求的面積為．法二：由于原來的月牙形很難直接計算，我們可以嘗試構(gòu)造下面的輔助圖形：如左上圖所示，我們也可以這樣來思考，讓圖形往右側(cè)平移就會得到右上圖中的組合圖形，而這個組合圖形中右端的月牙形正是我們要求的面積．顯然圖中右側(cè)延伸出了多少面積，左側(cè)就會縮進(jìn)多少面積．因此，所求的面積是．求圖中陰影部分的面積．如圖，連接，可知陰影部分的面積與三角形的面積相等，即為．求如圖中陰影部分的面積．(圓周率取)可將左下橄欖型的陰影部分剖開，兩部分分別順逆時針，則陰影部分轉(zhuǎn)化為四分之一圓減去一個等腰直角三角形，所以陰影部分的面積為．【鞏固】如圖，四分之一大圓的半徑為7，求陰影部分的面積，其中圓周率取近似值．原題圖中的左邊部分可以割補(bǔ)至如右上圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面積，再減去其內(nèi)的等腰直角三角形面積即為所求．因為四分之一大圓的半徑為7，所以其面積為：．四分之一大圓內(nèi)的等腰直角三角形的面積為，所以陰影部分的面積為．求下列各圖中陰影部分的面積．在圖(1)中，陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個底為10，高為5的三角形，利用三角形面積公式可以求得；在圖(2)中，陰影部分經(jīng)過切割平移變成了一個長為b，寬為a的長方形，利用長方形面積公式可以求得．【鞏固】求下列各圖中陰影部分的面積(圖中長度單位為，圓周率按3計算)：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶⑷⑸⑹如圖，是正方形，且，求陰影部分的面積．(取)方法一：兩個分割開的陰影部分給我們求面積造成了很大的麻煩，那么我們把它們通過切割、移動、補(bǔ)齊，使兩塊陰影部分連接在一起，這個時候我們再來考慮，可能會有新的發(fā)現(xiàn)．由于對稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)，弓形BMF的面積和弓形BND的面積是相等的，因此，陰影部分面積就等于不規(guī)則圖形BDWC的面積．因為ABCD是正方形，且FAADDE1，則有CDDE．那么四邊形BDEC為平行四邊形，且∠E45°．我們再在平行四邊形BDEC中來討論，可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則圖形BDWC和扇形WDE共同構(gòu)成這個平行四邊形，由此，我們可以知道陰影部分面積平行四邊形BDEC-扇形DEW．方法二：先看總的面積為的圓，加上一個正方形，加上一個等腰直角三角形，在則陰影面積為總面積扣除一個等腰直角三角形，一個圓，一個的扇形．那么最終效果等于一個正方形扣除一個的扇形．面積為．【鞏固】求圖中陰影部分的面積(單位：)．從圖中可以看出，兩部分陰影的面積之和恰好是梯形的面積，所以陰影部分面積為．如圖，長方形的長是，則陰影部分的面積是．()陰影部分的面積實際上是右上圖陰影部分面積的一半，所以求出右上圖中陰影部分面積再除以2即可．長方形的長等于兩個圓直徑，寬等于1個圓直徑，所以右圖的陰影部分的面積等于：所以左圖陰影部分的面積等于平方厘米．(2007年西城實驗期末考試題)如圖所示，在半徑為的圖中有兩條互相垂直的線段，陰影部分面積與其它部分面積之差(大減小)是．如圖，將圓對稱分割后，與中的部分區(qū)域能對應(yīng)，僅比少了一塊矩形，所以兩部分的面積差為：．【鞏固】一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人．但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成如圖所示尺寸的四塊．現(xiàn)甲取②、③兩塊，乙取①、④兩塊．如果這種金屬板每平方厘米價值1000元，問：甲應(yīng)償付給乙多少元？如右上圖所示，④的面積與Ⅰ的面積相等，①的面積等于②與Ⅱ的面積之和．可見甲比乙多拿的部分為中間的長方形，所以甲比乙多拿的面積為：，而原本應(yīng)是兩人平分，所以甲應(yīng)付給乙：(元)．求右圖中陰影部分的面積．(取3)看到這道題，一下就會知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過作差來求出陰影部分面積，因為陰影部分非常不規(guī)則，無法入手．這樣，平移和旋轉(zhuǎn)就成了我們首選的方法．(法1)我們只用將兩個半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，其中①、②面積相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊AB的長度未知．單獨(dú)求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如右下圖所示，則①、②部分變?yōu)橐粋€以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC10．兩個四分之一圓的面積和為150，而①、②部分的面積和為，所以陰影部分的面積為(平方厘米)．(法2)欲求圖①中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖②的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積．所以陰影部分面積為(平方厘米)．(第四屆走美決賽試題)如圖，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧．求陰影部分面積．()根據(jù)題意可知扇形的半徑恰是正方形的對角線，所以，如右圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，板塊二曲線型面積計算如圖，已知扇形的面積是半圓面積的倍，則角的度數(shù)是________．設(shè)半圓的半徑為1，則半圓面積為，扇形的面積為．因為扇形的面積為，所以，，得到，即角的度數(shù)是60度．如下圖，直角三角形的兩條直角邊分別長和，分別以為圓心，為半徑畫圓，已知圖中陰影部分的面積是，那么角是多少度(),三角形內(nèi)兩扇形面積和為，根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為,所以,.如圖，大小兩圓的相交部分(即陰影區(qū)域)的面積是大圓面積的，是小圓面積的．如果量得小圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？小圓的面積為，則大小圓相交部分面積為,那么大圓的面積為，而，所以大圓半徑為厘米．有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆(如圖)，此時橡皮筋的長度是多少厘米？(取3)由右圖知，繩長等于6個線段與6個弧長之和．將圖中與弧相似的6個弧所對的圓心角平移拼補(bǔ)，可得到6個角的和是，所以弧所對的圓心角是，6個弧合起來等于直徑5厘米的圓的周長．而線段等于塑料管的直徑，由此知繩長為：(厘米)．如圖，邊長為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個頂點為圓心，12厘米為半徑作圓弧，請問：中間陰影部分的周長是多少？(如圖，點是在以為中心的扇形上，所以，同理，則是正三角形，同理，有是正三角形．有，正五邊形的一個內(nèi)角是，因此，也就是說圓弧的長度是半徑為12厘米的圓周的一部分，這樣相同的圓弧有5個，所以中間陰影部分的周長是．如圖是一個對稱圖形．比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積________灰色部分面積．圖中四個小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個小圓的面積等于大圓面積的，則4個小圓的面積之和等于大圓的面積．而4個小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為黑色部分，所以這兩部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等．如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那么這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取)如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來，這樣，空白部分就是一個圓的內(nèi)接正方形．設(shè)大圓半徑為，則，，所以．移動圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系．用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個同樣大小的圓鋁板．問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積∶大圓面積，小圓面積，個小圓總面積，邊角料面積(平方厘米)．如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑都是1．求陰影部分的面積．由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來構(gòu)造新圖形．由右圖可見，陰影部分面積等于大圓面積減去一個小圓面積，再加上的小扇形面積(即小圓面積)，所以相當(dāng)于大圓面積減去小圓面積．而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為小圓的倍，那么陰影部分面積為．如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形．(圓周率取)所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正六邊形的面積已知，現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式．可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60°，那么，又知四邊形是平行四邊形，所以，這樣就可求出扇形的面積和為(平方厘米)，陰影部分的面積(平方厘米)．(09年第十四屆華杯賽初賽)如下圖所示，是半圓的直徑，是圓心，，是的中點，是弦的中點．若是上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是平方厘米．如下圖所示，連接、、．本題中由于、是半圓的兩個三等分點，是的中點，是弦的中點，可見這個圖形是對稱的，由對稱性可知與平行．由此可得的面積與的面積相等，所以陰影部分面積等于扇形面積的一半，而扇形的面積又等于半圓面積的，所以陰影部分面積等于半圓面積的，為平方厘米．如圖，連接、、．由于、是半圓的三等分點，所以和都是正三角形，那么與是平行的．所以的面積與的面積相等，那么陰影部分的面積等于扇形的面積，為．如圖，兩個半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部分的面積之差．(取3)本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計算它們的差，但是這樣較為繁瑣．由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與面積較小的陰影相同的圖形，再求剩余圖形的面積．如右圖所示，可知弓形或均與弓形相同，所以不妨割去弓形．剩下的圖形中，容易看出來與是平行的，所以與的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形的面積相等，而扇形的面積為，所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為．如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，那么陰影部分面積是多少？(圓周率取)方法一：設(shè)小正方形的邊長為，則三角形與梯形的面積均為．陰影部分為：大正方形梯形三角形右上角不規(guī)則部分大正方形右上角不規(guī)則部分圓．因此陰影部分面積為：．方法二：連接、，設(shè)與的交點為，由于四邊形是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理有，所以【鞏固】如右圖，兩個正方形邊長分別是10和6，求陰影部分的面積．(取3)(法1)觀察可知陰影部分面積等于三角形的面積減去月牙的面積，那么求出月牙的面積就成了解題的關(guān)鍵．月牙的面積為正方形的面積減去四分之一圓：；則陰影部分的面積為三角形的面積減去月牙的面積，為：．(法2)觀察可知和是平行的，于是連接、、．則與面積相等，那么陰影部分面積等于與小弓形的面積之和，也就等于與扇形的面積之和，為：．如圖，是等腰直角三角形，是半圓周的中點，是半圓的直徑．已知，那么陰影部分的面積是多少？(圓周率取)連接、、，如圖，平行于，則在梯形中，對角線交于點，那么與面積相等，則陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為與圓內(nèi)的小弓形的面積和．的面積為：；弓形面積：；陰影部分面積為：．圖中給出了兩個對齊擺放的正方形，并以小正方形中右上頂點為圓心，邊長為半徑作一個扇形，按圖中所給長度陰影部分面積為；()連接小正方形,有圖可見∵∴同理，∴∴，∴如圖，圖形中的曲線是用半徑長度的比為的6條半圓曲線連成的．問：涂有陰影的部分的面積與未涂有陰影的部分的面積的比是多少？假設(shè)最小圓的半徑為，則三種半圓曲線的半徑分別為，和．陰影部分的面積為：，空白部分的面積為：，則陰影部分面積與空白部分面積的比為．(2008年西城實驗考題)奧運(yùn)會的會徽是五環(huán)圖，一個五環(huán)圖是由內(nèi)圓直徑為6厘米，外圓直徑為8厘米的五個環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等，已知五個圓環(huán)蓋住的面積是平方厘米，求每個小曲邊四邊形的面積．()⑴每個圓環(huán)的面積為：(平方厘米)；⑵五個圓環(huán)的面積和為：(平方厘米)；⑶八個陰影的面積為：(平方厘米)；⑷每個陰影的面積為：(平方厘米)．已知正方形的邊長為10厘米，過它的四個頂點作一個大圓，過它的各邊中點作一個小圓，再將對邊中點用直線連擎起來得右圖．那么，圖中陰影部分的總面積等于______方厘米．()如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．(取3)這道題目是很常見的面積計算問題．陰影部分是一個花瓣狀的不規(guī)則圖形，不能直接通過面積公式求解，觀察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個對稱圖形，我們只需要在陰影部分的對稱軸上作兩條輔助線就明了了．如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個半圓減去三角形，我們可以求得， 【鞏固】如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓．求陰影部分面積．(取3由題可知，圖中陰影部分是兩個扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整體上考慮來求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過作輔助線直接求陰影部分的面積．解法一：把兩個扇形放在一起得到1個正方形的同時還重疊了一塊陰影部分．則陰影部分的面積為；解法二：連接AC，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，所以陰影部分面積．(2008年四中考題)已知三角形是直角三角形，，，求陰影部分的面積．從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個半圓的面積和與直角三角形的面積之差，所以陰影部分的面積為：()．（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個陰影部分的面積的和是平方厘米.根據(jù)容斥原理得，所以（平方厘米）(2008年國際小學(xué)數(shù)學(xué)競賽)如圖所示，是一邊長為的正方形，是的中點，而是的中點．以為圓心、半徑為的四分之一圓的圓弧交于，以為圓心、半徑為的四分之一圓的圓弧交于點，若圖中和兩塊面積之差為(其中、為正整數(shù))，請問之值為何？(法1)，，，而，所以，，．(法)如右上圖，，，所以，，故．【鞏固】在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差．(圓周率取)我們只要看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解．左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長方形．則為：．如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)方法一：觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分屬于一個大的扇形，而這個扇形除了陰影部分之外，還有一個不規(guī)則的空白部分ABFD在左上，求出這個不規(guī)則部分的面積就成了解決這個問題的關(guān)鍵．我們先確定ABFD的面積，因為不規(guī)則部分ABFD與扇形BCF共同構(gòu)成長方形ABCD，所以不規(guī)則部分ABFD的面積為(平方厘米)，再從扇形ABE中考慮，讓扇形ABE減去ABFD的面積，則有陰影部分面積為(平方厘米)．方法二：利用容斥原理(平方厘米)【鞏固】求圖中陰影部分的面積．陰影部分面積半圓面積扇形面積三角形面積．【鞏固】如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是平方厘米，()觀察可知陰影部分是被以為半徑的扇形、以為直徑的半圓形和對角線分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，我們發(fā)現(xiàn)如果能求出左下邊空白部分的面積，就很容易求出陰影部分的面積了，我們再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形的面積減去扇形的面積，那么我們的思路就很清楚了．因為，所以扇形的面積為：(平方厘米)，那么左下邊空白的面積為：(平方厘米)，又因為半圓面積為：(平方厘米)，所以陰影部分面積為：(平方厘米)．如圖所示，陰影部分的面積為多少？(圓周率取)圖中、兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的、的面積．所以．【鞏固】圖中陰影部分的面積是．(取)如右上圖，虛線將陰影部分分成兩部分，分別計算這兩部分的面積，再相加即可得到陰影部分的面積．所分成的弓形的面積為：；另一部分的面積為：；所以陰影部分面積為：．已知右圖中正方形的邊長為20厘米，中間的三段圓弧分別以、、為圓心，求陰影部分的面積．()圖中兩塊陰影部分的面積相等，可以先求出其中一塊的面積．而這一塊的面積，等于大正方形的面積減去一個扇形的面積，再減去角上的小空白部分的面積，為：(平方厘米)，所以陰影部分的面積為(平方厘米)．一個長方形的長為9，寬為6，一個半徑為l的圓在這個長方形內(nèi)任意運(yùn)動，在長方形內(nèi)這圓無法運(yùn)動到的部分，面積的和是_____．(取3)方法一：圓在長方形內(nèi)部無法運(yùn)動到的地方就是長方形的四個角，而圓在角處運(yùn)動時的情況如左下圖，圓無法運(yùn)動到的部分是圖中陰影部分，那么我們可以先求出陰影部分面積，四個角的情況都相似，我們就可以求出總的面積是陰影部分面積的四倍．陰影部分面積是小正方形面積減去扇形面積，所以我們可以得到：每個角陰影部分面積為；那么圓無法運(yùn)動到的部分面積為方法二：如果把四個角拼起來，則陰影如右上圖所示，則陰影面積為已知半圓所在的圓的面積為平方厘米，求陰影部分的面積．()由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來計算．從圖中可以看出，陰影部分的面積是一個的扇形與一個等腰直角三角形的面積差．由于半圓的面積為平方厘米，所以．因此：(平方厘米)．由于是等腰直角三角形，所以．因此：扇形的面積(平方厘米)．所以，陰影部分的面積等于：(平方厘米)．如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；兩個陰影部分的面積相等．求扇形所在的圓面積．題目已經(jīng)明確告訴我們ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似沒有關(guān)系的兩個陰影部分通過空白部分聯(lián)系起來．等腰直角三角形的角A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍．而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即，則圓的面積為如圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7，求BC長．()因為兩塊陰影部分都是不規(guī)則圖形，單獨(dú)對待它們無法運(yùn)用面積公式進(jìn)行處理，而解題的關(guān)鍵就是如何把它們聯(lián)系起來，我們發(fā)現(xiàn)把兩塊陰影加上中間的一塊，則變成1個半圓和1個直角三角形，這個時候我們就可以利用面積公式來求解了．因為陰影甲比陰影乙面積大7，也就是半圓面積比直角三角形面積大7．半圓面積為：，則直角三角形的面積為1577150，可得BC21502015．【鞏固】三角形是直角三角形，陰影的面積比陰影的面積小，，求的長度．由于陰影的面積比陰影的面積小，根據(jù)差不變原理，直角三角形面積減去半圓面積為，則直角三角形面積為()，的長度為()．【鞏固】如圖，三角形是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米，長40厘米．求的長度？(取)圖中半圓的直徑為，所以其面積為．有空白部分③與①的面積和為628，又②-①，所以②、③部分的面積和．有直角三角形的面積為．所以厘米．(2009年十三分入學(xué)測試題)圖中的長方形的長與寬的比為，求陰影部分的面積．如下圖，設(shè)半圓的圓心為，連接．從圖中可以看出，，，根據(jù)勾股定理可得．陰影部分面積等于半圓的面積減去長方形的面積，為：．如圖，求陰影部分的面積．(取3)如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出它們的面積，那么我們應(yīng)該怎么來解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎么產(chǎn)生的，觀察發(fā)現(xiàn)月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那么我們就找到了解決問題的方法了．陰影部分面積小圓面積中圓面積三角形面積大圓面積 6如圖，直角三角形的三條邊長度為，它的內(nèi)部放了一個半圓，圖中陰影部分的面積為多少？，設(shè)半圓半徑為，直角三角形面積用表示為：又因為三角形直角邊都已知，所以它的面積為，所以，所以(華校2005～2006年度第一學(xué)期期中測試第6題)大圓半徑為，小圓半徑為，兩個同心圓構(gòu)成一個環(huán)形．以圓心為頂點，半徑為邊長作一個正方形：再以為頂點，以為邊長作一個小正方形．圖中陰影部分的面積為平方厘米，求環(huán)形面積．(圓周率取)環(huán)形的面積應(yīng)該用大圓的面積減去小圓的面積，但分別求出兩個圓的面積顯然不可能．題中已知陰影部分的面積，也就是平方厘米，那么環(huán)形的面積為：(平方厘米)．【鞏固】圖中陰影部分的面積是，求圓環(huán)的面積．設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，依題有，即．則圓環(huán)面積為：．(2008年101中學(xué)考題)已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個圓的面積之和是．(取)設(shè)圖中大圓的半徑為，正方形的邊長為，則小圓的直徑等于正方形的邊長，所以小圓的半徑為，大圓的直徑等于正方形的對角線長，即，得．所以，大圓的面積與正方形的面積之比為：，所以大圓面積為：；小圓的面積與正方形的面積之比為：，所以小圓的面積為：；兩個圓的面積之和為：(平方厘米)．【鞏固】圖中小圓的面積是30平方厘米，則大圓的面積是平方厘米．(取)設(shè)圖中大圓的半徑為，正方形的邊長為，則小圓的直徑等于正方形的邊長，所以小圓的半徑為，大圓的直徑等于正方形的對角線長，即，得．所以，大圓的面積與小圓的面積之比為：，即大圓的面積是小圓面積的2倍，大圓的面積為(平方厘米)．【鞏固】(2008年四中考題)圖中大正方形邊長為，小正方形的面積是．設(shè)圖中小正方形的邊長為，由于圓的直徑等于大正方形的邊長，所以圓的直徑為，而從圖中可以看出，圓的直徑等于小正方形的對角線長，所以，故，即小正方形的面積為．【鞏固】(2008年中國臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽復(fù)賽)一些正方形內(nèi)接于一些同心圓，如圖所示．已知最小圓的半徑為，請問陰影部分的面積為多少平方厘米？(取)我們將陰影部分的面積分為內(nèi)圈、中圈、外圈三部分來計算．內(nèi)圈等于內(nèi)圓面積減去內(nèi)部正方形的面積，也就是．內(nèi)圓的直徑為中部正方形的邊長，即為，中部正方形的對角線等于中圓的直徑，于是中圈陰影部分面積是．中圓的直徑的平方即為外部正方形的面積，即為，外部正方形的對角線的平方即為外圓的直徑的平方，即為，所以外圈陰影部分的面積是．所以陰影部分的面積是(平方厘米)．圖中大正方形邊長為，將其每條邊進(jìn)行三等分，連出四條虛線，再將虛線的中點連出一個正方形(如圖)，在這個正方形中畫出一個最大的圓，則圓的面積是多少？()圓的直徑也就是外切正方形的邊長，它的長為：∴圓的面積為：如下圖所示，兩個相同的正方形，左圖中陰影部分是9個圓，右圖中陰影部分是16個圓．哪個圖中陰影部分的面積大？為什么？設(shè)正方形的邊長為，每一個圓的半徑為，則正方形的每一條邊上都有個圓，從而正方形內(nèi)部共有個圓，于是這些圓的總面積為：．可見陰影部分的面積與正方形的面積的比是固定的，也就是說陰影部分的面積只與正方形的邊長有關(guān)系，與圓的半徑無關(guān)，無論圓的半徑怎樣變化，只要正方形的邊長不變，那么陰影部分的面積就是一定的．由于上圖中兩個正方形的邊長相同，所以兩圖中陰影部分的面積相等．如圖，在方格表中，分別以、、為圓心，半徑為3、2、1，圓心角都是的三段圓弧與正方形的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比如右圖，仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形的面積等于曲邊三角形的面積減去曲邊三角形的面積，而這兩個曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出．所以，的面積；同理可求得帶形的面積：帶形的面積曲邊三角形的面積曲邊三角形的面積；所以，．如圖中，正方形的邊長是，兩個頂點正好在圓心上，求圖形的總面積是多少？(圓周率取)．如下圖，與是兩條垂直的直徑，圓的半徑為15厘米，是以為圓心，為半徑的圓弧，求陰影部分面積．連接、．陰影部分面積等于半圓的面積減去弓形的面積，而弓形的面積又等于扇形的面積減去的面積．的面積等于以為邊的正方形的面積的，即，那么．那么扇形的面積為，弓形的面積為，所以陰影部分面積為．如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，是以C為圓心，AC為半徑的圓弧．求陰影部分面積．陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果．半圓面積為，三角形ABC面積為，又因為三角形面積也等于，所以，那么扇形ACB的面積為．陰影部分面積 225(平方厘米)如下圖所示，曲線和是兩個半圓．平行于．如果大半圓的半徑是1米，那么陰影部分是多少平方米？(取)如左下圖所示，弓形的面積等于扇形的面積與三角形的面積之差，為(平方米)，半圓的面積為(平方米)，所以陰影部分的面積為(平方米)．在右圖所示的正方形中，對角線長2厘米．扇形是以為圓心，以為半徑的圓的一部分．求陰影部分的面積．如右圖所示，，．因為，所以陰影部分的面積為：(平方厘米)．另解：觀察可知陰影部分面積等于半圓面積與扇形面積之和減去正方形的面積，所以陰影部分的面積為(平方厘米)．某仿古錢幣直徑為厘米，錢幣內(nèi)孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧(如圖)．求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？將古錢幣分成個部分，外部的個弓形的面積和等于大圓減去內(nèi)接正方形，中間的四個扇形的面積恰好等于內(nèi)接正方形內(nèi)的內(nèi)切圓面積，所以總面積等于：．(2006年小學(xué)生數(shù)學(xué)報競賽)傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米．每當(dāng)太陽西下，鐘面就會出現(xiàn)奇妙的陰影(如右圖)．那么，陰影部分的面積是平方米等積變形，對應(yīng)思想將中間的正三角形旋轉(zhuǎn)如右圖，圖中陰影部分的面積與原圖陰影部分的面積相等．由與，與面積相等，推知陰影部分占圓面積的一半．(平方米)．【鞏固】圖中是一個鐘表的圓面，圖中陰影部分甲與陰影部分乙的面積之比是多少？根據(jù)圖形特點，可以把陰影部分甲與乙分別從不同的角度進(jìn)行分解：陰影部分甲的扇形三角形小弓形；陰影部分乙三角形小弓形；由于扇形的面積容易求得，所以問題的關(guān)鍵在于確定弓形與三角形的面積：綜上所述：陰影部分甲的面積圓的面積的圓的面積的．所以甲、乙面積之比為．【鞏固】傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米．每當(dāng)太陽西下，鐘面就會出現(xiàn)奇妙的陰影(如左下圖)．在這個題目中，陰影部分和空白部分都是不規(guī)則圖形，那么我們既無法通過面積公式直接求出陰影部分面積，也無法通過求出空白部分面積，再用大圓面積減去空白部分面積求解，這個時候，我們只能利用整體思想，通過轉(zhuǎn)化，尋找陰影部分與整體圖形的關(guān)系．將原題圖中的等邊三角形旋轉(zhuǎn)30°(注意，只轉(zhuǎn)三角形，圓形不動)，得到右上圖．因為、都是等邊三角形，所以四邊形是菱形，推知與面積相等．又因為弦所對的弓形與弦所對的弓形面積相等，所以扇形中陰影部分面積占一半．同理，在扇形、扇形中，陰影部分面積也占一半．所以，陰影部分面積占圓面積的一半，是(平方米)．【鞏固】如圖，已知三角形是邊長為26厘米的正三角形，圓的半徑為厘米．．求陰影部分的面積．直接解決． 總陰影面積每塊陰影面積(大弓形小弓形)． 關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積， 設(shè)為弧的中點，則可知是菱形，是正三角形， 所以，三角形的面積． 所以大弓形的面積：． 小弓形的面積：．所以，總陰影面積(平方厘米)．如下圖，兩個半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，弦約等于17厘米，半徑為10厘米陰影部分由兩個相等的弓形組成，所以只需要求出一個弓形的面積就可以了．由已知條件，若分別連結(jié)，，，，，如圖所示，就可以得到兩個等邊三角形(各邊長均等于半徑)，則，即．這樣就可以求出以為圓心的扇形的面積，然后再減去三角形的面積，就得到弓形的面積，三角形的面積可采用面積公式直接求出，其中底是弦，高是的一半．所以，陰影部分面積(平方厘米)．下圖中，，陰影部分的面積是如圖可知3，設(shè)大半圓半徑為，小圓半徑為，如右圖，，根據(jù)勾股定理得，故大半圓面積等于小圓面積，由圖可知如圖，是平行四邊形，，，，高，弧、分別以、為半徑，弧、分別以、為半徑，則陰影部分的面積為多少？(精確到)因為四邊形是平行四邊形，，，，所以，．因為平行四邊形的高，所以．由圖中可看出，扇形與的面積之和，減去平行四邊形的面積，等于曲邊四邊形的面積；平行四邊形的面積減去扇形與扇形的面積，等于曲邊四邊形的面積．則．如圖所示，兩條線段相互垂直，全長為30厘米．圓緊貼直線從一端滾動到另一端(沒有離開也沒有滑動)．在圓周上設(shè)一個定點，點從圓開始滾動時是接觸直線的，當(dāng)圓停止?jié)L動時也接觸到直線，而在圓滾動的全部過程中點是不接觸直線的．那么，圓的半徑是多少厘米？(設(shè)圓周率為3．14，除不盡時，請四舍五入保留小數(shù)點后兩位．如有多種答案請全部寫出)如上圖：因為在圓滾動的全部過程中點是不接觸直線的，所以這個圓的運(yùn)動情況有兩種可能．一種是圓滾動了不足一圈，根據(jù)點的初始位置和終止位置，可知圓滾動了270o．另一種是圓在第一條直線上滾動了將近一圈，在第二條直線上又滾動了將近一圈，根據(jù)點的初始位置和終止位置，可知圓滾動了．因為兩條線段共長30厘米，所以270o的弧長或者630o的弧長再加上兩個半徑是30(厘米)，或者(厘米)，所以圓的半徑是厘米或厘米．(第三屆希望杯)將一塊邊長為厘米的有缺損的正方形鐵皮(如圖)剪成一塊無缺損的正方形鐵皮，求剪成的正方形鐵皮的面積的最大值.圖1 圖2 圖3如圖所示，使(厘米)，則正方形的面積為(平方厘米).如圖所示，使(厘米)，則正方形的面積為()(平方厘米).如圖所示，連結(jié)交曲線于點，使.觀察圖可知(厘米).(注：的長度在()厘米之間均可．)于是正方形的面積為(平方厘米).因為，所以剪成的正方形鐵皮的面積最大為平方厘米.板塊三曲線型旋轉(zhuǎn)問題正三角形的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使點再次落在這條直線上，那么點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？(結(jié)果保留)如圖所示，點在翻滾過程中經(jīng)過的路線為兩段的圓弧，所以路線的總長度為：厘米；三角形在滾動過程中掃過的圖形的為兩個的扇形加上一個與其相等的正三角形，面積為：平方厘米．【鞏固】直角三角形放在一條直線上，斜邊長厘米，直角邊長厘米．如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅱ，此時，點分別到達(dá)，點；再繞點轉(zhuǎn)動，到達(dá)位置Ⅲ，此時，點分別到達(dá)，點．求點經(jīng)到走過的路徑的長．由于為的一半，所以，則弧為大圓周長的，弧為小圓周長的，而即為點經(jīng)到的路徑，所以點經(jīng)到走過的路徑的長為(厘米)．【鞏固】如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為和的長方形Ⅰ．它的對角線長恰好是．讓這個長方形繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)長方形Ⅱ的位置，這樣連續(xù)做三次，點到達(dá)點的位置．求點走過的路程的長．因為長方形旋轉(zhuǎn)了三次，所以點在整個運(yùn)動過程中也走了三段路程(如右上圖所示)．這三段路程分別是：第1段是弧，它的長度是()；第2段是弧，它的長度是()；第3段是弧，它的長度是()；所以點走過的路程長為：()．草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊(見如圖)．問：這只羊能夠活動的范圍有多大？(如圖所示，羊活動的范圍可以分為，，三部分，其中是半徑米的個圓，，分別是半徑為米和米的個圓．所以羊活動的范圍是．【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長是，求狗所能到的地方的總面積．(圓周率按計算)如圖所示，羊活動的范圍是一個半徑，圓心角300°的扇形與兩個半徑，圓心角120°的扇形之和．所以答案是．如圖是一個直徑為的半圓，讓這個半圓以點為軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，此時點移動到點，求陰影部分的面積．(圖中長度單位為，圓周率按計算)．面積圓心角為的扇形面積半圓空白部分面積(也是半圓)圓心角為的扇形面積．如圖所示，直角三角形的斜邊長為10厘米，，此時長5厘米．以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，點、分別到達(dá)點、的位置．求邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積．(取3)注意分割、平移、補(bǔ)齊．如圖所示，將圖形⑴移補(bǔ)到圖形⑵的位置，因為，那么，則陰影部分為一圓環(huán)的．所以陰影部分面積為(平方厘米)．【鞏固】如右圖，以為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長10厘米，將它以點為中心旋轉(zhuǎn)，問：三角形掃過的面積是多少？(取3)從圖中可以看出，直角三角形掃過的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個三角形的面積與四分之一圓的面積之和．圓的半徑就是直角三角形的斜邊．因此可以求得，三角形掃過的面積為：(平方厘米)．【鞏固】(2008年“學(xué)而思杯”數(shù)學(xué)試題)如圖，直角三角形中，為直角，且厘米，厘米，則在將繞點順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，邊掃過圖形的面積為．()如右上圖所示，假設(shè)旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置．陰影部分為邊掃過的圖形．從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積等于扇形的面積與的面積之和，空白部分面積等于扇形的面積與的面積，由于的面積與的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形與扇形的面積之差，為(平方厘米)．如圖，是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米．現(xiàn)在以點為圓心，把三角形順時針轉(zhuǎn)90度，那么，邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是平方米．()如圖，順時針旋轉(zhuǎn)后，A點沿弧轉(zhuǎn)到點，B點沿弧轉(zhuǎn)到點，D點沿弧轉(zhuǎn)到點．因為CD是C點到AB的最短線段，所以AB掃過的面積就是圖中的弧與之間的陰影圖形．(平方米)，(平方米)，所以，(平方米)，我們推知 (平方米)．(祖沖之杯競賽試題)如圖，是一個長為，寬為，對角線長為的正方形，它繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別求出四邊掃過圖形的面積．容易發(fā)現(xiàn)，邊和邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如圖：因此DC邊掃過圖形的面積為，邊掃過圖形的面積為．2、研究邊的情況．在整個邊上，距離點最近的點是點，最遠(yuǎn)的點是點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)該介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：下面來求這部分的面積．觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：扇形面積＋三角形面積－三角形面積一扇形面積＝扇形面積一扇形面積3、研究邊掃過的圖形．由于在整條線段上距離點最遠(yuǎn)的點是，最近的點是，所以我們可以畫出邊掃過的圖形，如圖陰影部分所示：用與前面同樣的方法可以求出面積為：旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下”變化過程”，即它是通過什么樣的基本圖形經(jīng)過怎樣的加減次序得到的．先不去考慮具體數(shù)據(jù)，一定要把思路捋清楚．最后你會發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告訴你，要么就”藏”在那兒，一定會有．可以進(jìn)一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問題等等，此類問題的解決對提高解決幾何圖形問題的能力是非常有益的．(2004年第九屆華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50對于這類問題