2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)編輯）(二)

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測(cè)題(根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識(shí)點(diǎn)編輯)_012

單選題(共8個(gè)，分值共：)

1、若直線y=2x是曲線)'=—的切線，貝()

A.—eB.—1C.ID.e

答案：B

解析：

函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是該點(diǎn)的切線的斜率，求出直線和曲線的交點(diǎn)，再求該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

【本題詳解】

?：y-x(e?-a)

y'=(e*-a)+xe'=(1+x)e*-a

y=2x

又'V=x(e,-a)

x(e"-a-2)=0

?'.X=0或e"=a+2>0

又??.y=2x是曲線的切線

當(dāng)x=0或ev=a+2>0時(shí)，都有(l+x)e*_a=2

.?.1-4=2或(l+ln(”2))(a+2)-a=2

:?。二一1或In(a+2)=0

或4+2=1

:.a=-\

所以正確答案為：B

2、設(shè)集合A的最大元素為/W,最小元素為m,記A的特征值為若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定

其特征值為0.已知A,4,、是集合N*的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且

XA+X&+X備+…+XA=12O,則”的最大值為()

A.14B.15C.16D.18

答案：C

解析:

要想”的值大，則特征值要盡可能的小，A,a,A,...,4是集合N*的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子

集，不妨令A(yù)是只有1個(gè)元素的非空真子集，則X”,=°,A是含有兩個(gè)元素的非空真子集，則X&=1時(shí)

能保證。的值最大，同理可得：X.,=2,以此類推X-="-1,利用等差數(shù)列求和公式列出方程，求出〃的

最大值.

【本題詳解】

由題意，要想。的值大，則特征值要盡可能的小，可令X4=°,X-=1,X-=2,L,XA="-1,則

所以正確答案為：C

3、數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思

維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：M+y2=|H+|H就是一

條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：

①曲線C圍成的圖形的面積是2+匹

②曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過2；

17-5&

③若尸(犯")是曲線C上任意一點(diǎn)，則［3,〃+4〃-12|的最小值是一2—.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B,1c.2D.3

答案：c

解析：

結(jié)合已知條件寫出曲線c的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過圖像可知，所求面積為四個(gè)半圓和一個(gè)正

方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷;

對(duì)于③，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去

半徑即可求解.

【本題詳解】

(X---)2+(y—-)2=—

當(dāng)連0且#0時(shí)，曲線c的方程可化為：2-22.

當(dāng)X40且時(shí)，曲線C的方程可化為：222.

*___)2+()，+:)2=:

當(dāng)逢0且”。時(shí)，曲線C的方程可化為：222.

2

(X_|___)2+(y____)2__

當(dāng)作0且”。時(shí)，曲線C的方程可化為：222,

曲線C的圖像如下圖所示：

由上圖可知，曲線c所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長為&的正方形的面積之和,

2

萬4x—^-x—+(>/2)=2+7t

從而曲線C所圍成的面積22,故①正確；

由曲線C的圖像可知，曲線°上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長之和，即

—x2+V2=2x/2>2

2故②錯(cuò)誤;

.13md+—4_〃_一__12__1___13__m_+—4_〃_-__1_2_1______

因?yàn)榈街本€3x+4y-12=0的距離為732+425

所以|3m+4?-12|=5rf(

當(dāng)d最小時(shí)，易知打加，")在曲線C的第一象限內(nèi)的圖像上,

因?yàn)榍€c的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為半徑為〒的半圓,

^13x1.4x1-121_17

所以圓心7?7不io

,7217-5V2―17-572

a.=d----=--------即…-上-54mM―

從而210,故③正確,

所以正確答案為：C.

4、已知函數(shù)/(x)=5_e"Vx€(l,-W>)；f(x)<a\nx+a-ex)則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8,1)B.(5%.S,e)D.(-8?

答案：D

解析：

3

由已知得e'-"+a(lnx+l-x)>(),令*(x)=e'-er+a(lnx+1-x),求導(dǎo)，然后分加°和4>°來研究函數(shù)

°(x)的取值大于零的情況.

【本題詳解】

由已知ci^x+a-ex>ax-ex,得ev-ex4-a(\nx+1-x)>0,

令夕(x)=eX_e￥+a(lnx+l-x),x>\

d(x)=e，_e+“(91),可得"尸0M產(chǎn)0,

則

(1)當(dāng)440時(shí)，,在。，內(nèi))上單調(diào)遞增,

(p(x)>^(1)=0,成立;

〃(x)=e，_e+6t(--1)u(x)=e，一鼻

(2)當(dāng)、>°時(shí),令x則工

心)=e*一=/(x)=e'+?>0

令廠，則

???“'(X)在(1,—)上單調(diào)遞增，:.u'(x)>u'(\)=e-a

①當(dāng)時(shí),w,(x)>w,(l)=e-a>0

?1"(X)在(1，+00)上單調(diào)遞增，，〃(?，"⑴二。

???*(x)在(L+co)上單調(diào)遞增，"(x)>奴1)=0,成立;

uf(^-)=J-e>0

②當(dāng)a>e時(shí)，"'⑴=e-a<0.

???3x0e(l,^),wXxo)=O

當(dāng)xw(l,%)Mx)v°,"(x)在(I，%)上單調(diào)遞減,

即“(X)在(1"°)上單調(diào)遞減，

此時(shí)有夕'(幻<”⑴=0,，(x)在(1"。)上單調(diào)遞減，

“(幻<奴1)=0,矛盾；

綜上“4e.

所以正確答案為：D.

X2y2

萬r?E：—yd-=1(6?>/?>0)AMXrr1-

5、已知石，尸2分別是橢圓?及的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓E上存在點(diǎn)例，使得△“百尸2

的面積等于2〃sin入，則橢圓E的離心率。的取值范圍為()

4

答案：A

解析：

根據(jù)給定條件用/表示出?“丹川”鳥?,再結(jié)合橢圓定義并借助均值不等式計(jì)算作答.

【本題詳解】

依題意，S/Jl岬?|姐曲5叫=2〃sin"M&而s-">0,

則有1用片HMF?1=4〃，由橢圓定義知：2amMF1|+1g|22J|崢|?|螭|=46,

當(dāng)且僅當(dāng)1"片1=1"行1=2〃，即4=?時(shí)取

Ye—=^,旦e<l

于是有。2,則?Va2,又e<l,即有2,

商

所以橢圓E的離心率e的取值范圍為L<

所以正確答案為：A

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見方法：①求出a，c,代入公式；

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b,c的齊次式，結(jié)合從=d-c2轉(zhuǎn)化為0,c的齊次式，然后等式（不等

式）

2

兩邊分別除以a或。一轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

6、已知'eN*,數(shù)列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,1,2,4,…，2',2",...

2,1,…的前”項(xiàng)和為S”，若S.>2（）22,則"的最小值為（）

A.81B.90C.100D.2021

答案：B

解析：

將數(shù)列排成楊輝三角的形式，得到各行所有數(shù)的項(xiàng)及其和的通項(xiàng)公式，再求前/行的數(shù)的和求解.

【本題詳解】

依題意，把數(shù)列排列成如下所示的形式：

第1行1

第2行1,2,1

第3行1,2,4,2,1

第4行1,2,4,8,4,2,1

5

第i+1行1,2,4,2',…，4,2,1

可知此數(shù)列第1行有1項(xiàng)，第2行有3項(xiàng)，第3行有5項(xiàng)，...，第i行有2iT項(xiàng)，

前i行共有1+3+5+…+（2i—l）=/項(xiàng).

設(shè)第i行的2iT個(gè)數(shù)的和為幻

貝lj4=1+2+4+…+2"'+2?！?4+2+1=2，-1+2，T-1=3x2*'-2

則前i行的和S-=仄+b2+a+???+",

=3X（2°+2'+22+---+2W）-2Z

=3（2,-l）-2i=3x2,-2z-3

910

所以SXI=S*=3x2-2x9-3=1515<2022S1（x）==3x2-2x10-3=3049>2022

7

又581+1+2+4+---+2=1515+255=1770<2022,

Sxi+1+2+4+…+2*=1515+511=2026>2022,81+9=90,

所以n的最小值為90.

所以正確答案為：B

log（）5x,x>0,

?。?\<o

7、設(shè)函數(shù)》若任意給定的'"右（°，2）,都存在唯一的非零實(shí)數(shù)%滿足

/（/（與））=-2?2.+皿，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.MB.Me.叫.（。,2）

答案：A

解析：

結(jié)合函數(shù)/（X）的圖象及值域分析，當(dāng)-2/加+卬*2-1時(shí)，存在唯一的非零實(shí)數(shù)%滿足

/（/（%））=一為2療+，〃〃，然后利用一元二次不等式的性質(zhì)即可得結(jié)論.

【本題詳解】

log05x,x>0

/W=-

一］H—,x<0/、

解：因?yàn)閄,所以由函數(shù)/（X）的圖象可知其值域?yàn)镽,

6

又"X）=T+《（X<0）時(shí)，值域?yàn)镾T；/（X）=1。&"（x>O）時(shí)，值域?yàn)镽,

所以人功的值域?yàn)椋?°°，T）時(shí)有兩個(gè)解，

令f=/（而），IjliJ/（，）=-2.a2m2+am,

若存在唯一的非零實(shí)數(shù)詢滿足〃/（%））=—?病+S”，則當(dāng)此一1時(shí)，，=〃％）,，與%一—對(duì)應(yīng)，

要使/（，）=-2?2"+<7〃7（rS1-i）也——對(duì)應(yīng)，則-2/,/+功力2-1,a>0,任意，”e（0,2）,即

（ma-1）（2/776/+1）<0

因?yàn)?m1+1>0,

所以不等式等價(jià)于〃也一1《°,即（機(jī)人叫

111

ClW

因?yàn)榧?0,2）,所以加2,所以-2,又。>0,

（o，；

所以正實(shí)數(shù)。的取值范圍為I2」.

所以正確答案為：A.

8、已知圓°32+y2=2,A8為圓。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M8|=2,M為弦A8的中點(diǎn)，°（技"石,"+3

當(dāng)A,8在圓°上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有/CMQ為銳角，則實(shí)數(shù)，，的取值范圍是（）

A.（^?,-3）U（l,+℃>）

B（y,-2）U（0,田）

C.（-31）

D.（-2,0）

答案：A

7

解析：

先確定點(diǎn)板是在以。為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)當(dāng)4B在圓°上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有/CMD為銳角，可知

點(diǎn)以應(yīng)在以CD的中點(diǎn)N為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)于參數(shù)"的不等式，即可求得答案.

【本題詳解】

連接0M，則IOM1=x/2-1=1,

所以點(diǎn)M在以。為圓心，1為半徑的圓上，

設(shè)CD的中點(diǎn)為N,則N（后“+1）,且181=4,

因?yàn)楫?dāng)A,B在圓°上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有/CMD為銳角，

所以以°為圓心，1為半徑的圓與以N為圓心，2為半徑的圓相離，

故＞1+2,解得"-3或?！?,

即?eU（!,+＜?）,

所以正確答案為:A.

多選題（共4個(gè)，分值共：）

9、用二分法求方程/（幻=°在［°」］上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，/（0625）＜0,/（0.75）＞0,/（0.6875）＜0,即可

得出方程的近似解為（）

（精確度°」）

A.0.625B.0.75c,0.6875D,0.65

答案：BC

解析：

根據(jù)〃。.6875）/0.75）＜°可得方程在（。.6875。75）上有解，結(jié)合叱-。.6875上?！辜纯傻贸鼋Y(jié)果.

【本題詳解】

因?yàn)?(0.625)<0,/(0.75)>0(/(0.6875)<0

8

所以/(0.6875)-/(0.75)<0,/(力=0在(0.6875,0.75)上有解，

▽|0.75-0.6875|<0.1

所以方程八口=°的近似解(精確度為°-D可以為075,0.6875,

所以正確答案為：BC

10、已知集合4={如叫，嗎40},若BuA,則實(shí)數(shù)0的值可能是()

A.-IB.1C.-2D.2

答案：ABC

解析：

<4

由題意可得從而可求出。的范圍，進(jìn)而可求得答案

【本題詳解】

4?<4

因?yàn)樗?eA,正認(rèn)則〔缶44,解得

所以正確答案為：ABC

11、函數(shù)y=(a2—4a+4)廠是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是()

A.4B.3C.2D.1

答案：ACD

解析：

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，列出方程，得出。的值.

【本題詳解】

由指數(shù)函數(shù)的定義知。2—4。+4=1且*1,解得a=3.

所以正確答案為：ACD.

I11

-----1=J-L

12、橢圓m3的離心率是2,則實(shí)數(shù)加的值是()

93

A.4B.4c.1D.4

答案：AB

解析：

分焦點(diǎn)在x軸與y軸兩種情況討論，分別計(jì)算可得：

【本題詳解】

片+匚11

解：因?yàn)闄E圓m3的離心率是2.

9

_c_y/m-3_1

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，。=而,C=^3,a標(biāo)3,解得〃=74；

_c_J3-"2_19

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a=6c=^F..:a￡5,解得‘“一.

9

故實(shí)數(shù)用的值為4或％.

所以正確答案為：AB.

填空題(共3個(gè)，分值共：)

13、在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)(-2,y)且a)=

2,則sina=.

答案：,

解析：

根據(jù)a終邊上一點(diǎn)(-2,y),求得tana,再結(jié)合〃九(兀-Q)=2可求得y=4,再利用三角函數(shù)定義可求解.

【本題詳解】

因?yàn)閍終邊上一點(diǎn)(-2,y),

所以tana=—p

Xtan(zr—a)=2=tana=-2,

所以可得y=4,

42次

所以sizia=

，(一2尸+425

故答案為：詈.

14、已知tcma=—?jiǎng)thm2a=.

答案：—|

解析:

根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算即可.

【本題詳解】

因?yàn)閠ana=一夕

所以tQ九2a==2,&=-3.

故答案為：-(

15、計(jì)算求值由+lg5+lg2+eLn2+?g0.01=

答案:I##

解析:

10

利用對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【本題詳解】

原式=2+IglO+2+-x(-2)=

42

故答案為：

解答題(共6個(gè)，分值共：)

16、某高中高二年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測(cè)試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣

方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本量為40的樣本，再將40個(gè)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：40,50),50,

60),60,70),70,80),80,90),90,100,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O'405060708090100成績(jī)/分

(1)從所給的頻率分布直方圖中估計(jì)成績(jī)樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù);

(2)在區(qū)間40,50)和90,100內(nèi)的兩組學(xué)生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對(duì)象來自不

同分組的概率.

答案：

(1)眾數(shù)75；平均數(shù)71,中位數(shù)73.3.

⑵

15

解析：

(1)按"眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)"的公式求解.

(2)由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.

(1)

眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對(duì)應(yīng)區(qū)間［70,80)的中點(diǎn)75；

平均數(shù)45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71；

因?yàn)?.1+0.15+0.15<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3>0.5

所以中位數(shù)在區(qū)間［70,80)上，且中位數(shù)=70+10X版二答二2型=73.3

(2)

由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40,50)和90,100內(nèi)的成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分別有4個(gè)和2個(gè)，從6個(gè)樣本選2個(gè)

共有量=15個(gè)結(jié)果，

記事件4="調(diào)查對(duì)象來自不同分組”，結(jié)果有n(4)=4x2=8

11

所以P(A)=臀=*

17>在①sbia+cosa=—，，②tcma=—|這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答.

已知a為第二象限的角，.

(1)求sina和cosa的值；

(2)求&cos(a+》的值.

答案：倒團(tuán)

(1)sina=-,cosa=--；

(2)

5

解析：

(1)利用同角關(guān)系式及三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即求；

(2)利用兩角和公式展開即求.

(1)

選擇①，

法一：聯(lián)立sin咽?cgsa=一，與蟲九2戊+cos2?]=自，

解得：sina=|，cosa=—'或sina=—g，cosa=|,

??.a為第二象限的角，

..34

.?sina=-，cosa=--；

55

法二：由(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2及已知得：sina—cosa=±|,

???Q為第二象限的角，

7

/.sina>0>cosa,si碘-^cosa=

聯(lián)立sina4-cgpa吁一二，sina—cosa=

55

Z得B：si.na=-3，cosa=--4；

選擇②，

聯(lián)立黑=總與s加咽-cos2a=1,

解得：sin^a=,cos2a=||

*/a為第二象限的角，

????sina=3-,cosa=4--；

(2)0團(tuán)

.?.s.ina=-3，cosa二一4二,

55

&cos(a+3)=V2(ycosa一芋sina)=cosa—sina=—1.

12

團(tuán)

18、設(shè)函數(shù)/(x)=/gW(?€/?),且/'(1)=0.

(1)求。的值，并求函數(shù)fQ)的定義域；團(tuán)團(tuán)

(2)用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)/'(X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減.

答案：回團(tuán)

(1)a=2,(―1,+co)；

(2)證明見解析

解析：

⑴由函數(shù)值求參數(shù)，通過真數(shù)大于零求得函數(shù)定義域；

(2)通過函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

(1)

由/(I)=國］=0，得：］=1，a=20回

解>0,得：x>—1/(%)的定義域?yàn)?―1，+8)；

(20團(tuán)回團(tuán)團(tuán)

設(shè)VXI,刀26(0,+8)(x1<X2),貝I」

/Q1)-/(%2)=^777-^777=1g+1)-lg(X1+1)

0<<%2?=x2+1>%i+1，g(%2+1)>Lgg+1)

???/(%1)一汽%2)>0即酌停>/(&)

??.f(x)=/g系在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減.

19、已知橢圓C:《+《=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為一;.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線y=?(x+l)與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，|48|=亨，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

答案：

⑴逅

2

(2)亍+y2=1

解析：

(1)根據(jù)題意，可知?(-?=-3,可得a=2b,再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得c=由此即可求出離心率;

(2)將直線y=：(x+l)與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到匕+丫2=-1，xp：2=匕S，再根據(jù)弦長公式

\AB\=Jl+g)2Ixi-xzl，建立方程，即可求出b的值，進(jìn)而求出橢圓方程.

(1)

解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b),左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-a,0)、(a,0),

13

「?2.(―2)=_工，即Q2=4/)2,則Q=2b.

a\aj4

又a2=爐+c2,:.c=y/3br所以橢圓的離心率e=-=^；

a2

(2)

(三+z!=i

解：設(shè)A(%i，yi)，8(%2，丫2)，由《》2得：2x2+2x4-1-4b2=0,

(y=2(%+1)

「./=32—8b2>o,+初=—1，xix2=?

2

「?|48|=Jl+@)2%-x2\=+」)2-4%T%2=yV86-1=誓，

解得V8b2-1=迎,.?"2=1,滿足/>0,

2

a?=4,.,.橢圓C的方程為了r+y2=1.團(tuán)回

20、已知集合@=由劃2-b<ax<2b-2],B={x\-^<x<2}(a>0).

(1)當(dāng)a=l,bS30,求4UB和CRB；團(tuán)團(tuán)

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得集合4=B?若存在，求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案：

(1)A\JB={x|㈤<^c<4},CRB={X\X<一，或%>2)

(2)存在，a=2,b=3

解析：0000

(朝弋以a=l,b=3,根據(jù)集合的運(yùn)算律求解，(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a