2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共計30分）

一3分）（加?哈爾濱的絕對值是（）

A.-7B.7C.--D.-

77

2.（3分）（2021?哈爾濱）下列運算一定正確的是（）

A.a2a=a3B.（a3）2=a5C.（a-1）2=a2-1D.a5-a2=a3

3.（3分）（2021?哈爾濱）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.?B.?COD.@

4.（3分）（2021?哈爾濱）八個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（

）

5.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，是OO的直徑，3c是OO的切線，點8為切點，若AB=8,

3

tanZBAC=一，則BC的長為（）

A.8B.7C.10D.6

6.（3分）（2021?哈爾濱）方程」1_=7的解為（）

2+x3x-l

A.x=5B.x=3C.x=lD.x=2

7.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，AABC三ADEC,點A和點。是對應(yīng)頂點，點8和點E是

對應(yīng)頂點，過點A作AFLCD,垂足為點/，若NBCE=65。,則NC4F的度數(shù)為（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

8.（3分）（2021?哈爾濱）一個不透明的袋子中裝有12個小球，其中8個紅球、4個黃球,

這些小球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是

（）

A.-B.-C.—D.-

23123

9.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，在AABC中，DE//BC,4）=2,BD=3,AC=10,

則AE的長為（）

10.（3分）（2021?哈爾濱）周日，小輝從家步行到圖書館讀書，讀了一段時間后，小輝立

刻按原路回家.在整個過程中，小輝離家的距離s（單位：M與他所用的時間，（單位：疝〃）

之間的關(guān)系如圖所示，則小輝從家去圖書館的速度和從圖書館回家的速度分別為（）

C.75m/min,100m/minD.80m/min,100/n/nun

二、填空題（每小題3分，共計30分）

II.（3分）（2021?哈爾濱）火星赤道半徑約為3396000米，用科學(xué)記數(shù)法表示為米.

12.（3分）（2021?哈爾濱）在函數(shù)卜=上二中，自變量x的取值范圍是___.

7x-5

13.（3分）（2021?哈爾濱）已知反比例函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過點（2,-5）,則&的值為

X

14.（3分）（2021?哈爾濱）計算的結(jié)果是.

15.（3分）（2021?哈爾濱）把多項式分解因式的結(jié)果是.

16.（3分）（2021?哈爾濱）二次函數(shù)y=-3/-2的最大值為.

不等式組I”-7〈:的解集是

17.（3分）（2021?哈爾濱）

x-5?10

18.（3分）（2021?哈爾濱）四邊形"CD是平行四邊形，45=6,N54E）的平分線交直線8c

于點E,若CE=2,則QABCD的周長為.

19.（3分）（2021?哈爾濱）一個扇形的弧長是8萬cm,圓心角是144。，則此扇形的半徑是

20.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，矩形的對角線AC,3。相交于點O,過點O作

OEA.BC,垂足為點￡,過點A作力FJLO3,垂足為點尸.若3c=2AF,OD=6,則BE

的長為—.

三、解答題（其中21-22題各7分，23-2題各8分，25-27題各10分，共計60分）

21.（7分）（2021?哈爾濱）先化簡，再求代數(shù)式（匚一-竺的值，其中a=2sin45。-1.

a-\a-1a-\

22.（7分）（2021?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，AABC

的頂點和線段DE的端點均在小正方形的頂點上.

（I）在方格紙中將AABC向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后得到AM/VP

（點A的對應(yīng)點是點“，點8的對應(yīng)點是點N,點C的對應(yīng)點是點P）,請畫出AMVP；

（2）在方格紙中畫出以。E為斜邊的等腰直角三角形。EF（點尸在小正方形的頂點上）.連

接O,請直接寫出線段O的長.

23.（8分）（2021?哈爾濱）春寧中學(xué)開展以“我最喜歡的冰雪運動項目”為主題的調(diào)查活

動，圍繞“在冰球、冰壺、短道速滑、高山滑雪四種冰雪運動項目中，你最喜歡哪一種？（必

選且只選一種）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理

后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡短道速滑的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的

40%.請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）請通過計算補全條形統(tǒng)計圖：

（3）若春寧中學(xué)共有1500名學(xué)生，請你估計該中學(xué)最喜歡高山滑雪的學(xué)生共有多少名.

人數(shù)

24

24

20

16

16

12

12

8

4

冰

冰

短

高

球

壺

山

道運動項目

滑

速

雪

滑

24.（8分）（2021?哈爾濱）已知四邊形438是正方形，點E在邊D4的延長線上，連接CE

交4?于點G,過點3作8WLCE,垂足為點M,8M的延長線交仞于點尸，交CD的

延長線于點H.

（1）如圖1,求證：CE=BH；

（2）如圖2,若連接CF,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的

四個三角形（A4EG除外），使寫出的每個三角形都與A4EG全等.

25.(10分)(2021?哈爾濱)君輝中學(xué)計劃為書法小組購買某種品牌的A、B兩種型號的毛

筆.若購買3支A種型號的毛筆和1支3種型號的毛筆需用22元；若購買2支A種型號的

毛筆和3支B種型號的毛筆需用24元.

(1)求每支A種型號的毛筆和每支3種型號的毛筆各多少元；

(2)君輝中學(xué)決定購買以上兩種型號的毛筆共80支，總費用不超過420元，那么該中學(xué)最

多可以購買多少支A種型號的毛筆？

26.(10分)(2021?哈爾濱)已知0。是AA8C的外接圓，A3為0O的直徑，點N為AC的

中點，連接QV并延長交G)O于點E,連接BE,BE交AC于點D.

(1)如圖1,求證：ZCDE+-ZBAC=\35°i

2

(2)如圖2,過點。作。G_L3E,10G交他于點尸，交于點G,連接OG,OD,

若DG=BD,求證：OG//AC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AG,若DN二邁,求AG的長.

5

27.(10分)(2021?哈爾濱)在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線丫=0?+云

經(jīng)過A(10,0),B(.|,6)兩點，直線y=2x-4與x軸交于點C,與y軸交于點。，點P為

直線y=2x-4上的一個動點，連接E4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當點P在第一象限時，設(shè)點尸的橫坐標為f,AAPC的面積為S,求S關(guān)于f的

函數(shù)解析式(不要求寫出自變量I的取值范圍)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點E在y軸的正半軸上，且=連接CE,當直線

8P交x軸正半軸于點L,交y軸于點丫時，過點P作尸G//CE交x軸于點G,過點G作y

軸的平行線交線段VL于點尸，連接C尸，過點G作GQ//CF交線段也于點。，NCFG的

平分線交x軸于點M，過點M作用〃//6交尸G于點過點，作“RLC尸于點R,若

FR+MH=GQ,求點P的坐標.

圖1圖2

2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共計30分）

1.（3分）（2021?哈爾濱）-■!?的絕對值是（）

7

A.-7B.7C.--D.-

77

【解答］解：|一口=」，

77

故選：D.

2.（3分）（2021?哈爾濱）下列運算一定正確的是（）

A.a2-a=a3B.（a3）2=a5C.（a—I）2=o2—1D.a5—a2=a3

【解答】解：A、a2-a=a\原計算正確，故此選項符合題意；

B、（6）3="6,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、（a-l）2=a2-2a+l,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

￡＞、“5與/不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意.

故選：A.

3.（3分）（2021?哈爾濱）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.十◎C.G◎

【解答】解：A.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

4.（3分）（2021?哈爾濱）八個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（

)

正面

【解答】解：從正面看，共有三列，每列的小正方形個數(shù)分別為2、1、2,

故選：C.

5.(3分M2021?哈爾濱)如圖，A3是。。的直徑，8c是。0的切線，點8為切點，若A8=8，

3

tanZ.BAC=二，則BC的長為()

4

A.8B.7C.10D.6

【解答】解：?.?AB是0O的直徑，3C是OO的切線，

：.ABLBC,

.?.ZABC=90°,

tanNBAC==—，

AB4

3

/.8C=二x8=6.

4

故選：D.

「I?

6.（3分）（2021?哈爾濱）方程——=----的解為（）

2+x31

A.x=5B.x=3C.x=1D.x=2

【解答】解：去分母得：3x-l=2(2+x),

去括號得：3x-\=4+2x,

移項合并得：x=5,

檢驗：當x=5時，(2+x)-(3x-l)*0,

分式方程的解為x=5.

故選：A.

7.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，^ABC^NDEC,點A和點。是對應(yīng)頂點，點6和點E是

對應(yīng)頂點，過點A作AFJ_CO,垂足為點尸，若ZBCE=65°,則NCA尸的度數(shù)為（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

【解答】解：AABC三及犯。，

/.ZACB二ZDCE,

?;ZBCE=65。,

/.ZACD=ZBCE=65°,

-.?AF±CD,

:.ZAFC=90°,

ZCAF+ZACD=90°,

ZC4F=90o-65o=25°,

故選：B.

8.（3分）（2021?哈爾濱）一個不透明的袋子中裝有12個小球，其中8個紅球、4個黃球,

這些小球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是

（）

A.-B.-C.—D.-

23123

【解答】解：?.?從袋子中隨機摸出一個小球共有12種等可能結(jié)果，摸出的小球是紅球的結(jié)

果數(shù)為8,

.?.摸出的小球是紅球的概率為*=2,

123

故選：D.

9.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，在AABC中，DE//BC,4）=2,BD=3,AC=10,

則短的長為（）

【解答】解：???。石//8。，

ADAE

..----=-----，

ABAC

?.?AD=2,BD=3,AC=10,

,2AE

…2+3"I（r，

:.AE=4.

故選：B.

10.（3分）（2021?哈爾濱）周日，小輝從家步行到圖書館讀書，讀了一段時間后，小輝立

刻按原路回家.在整個過程中，小輝離家的距離s（單位：⑼與他所用的時間/（單位：min）

之間的關(guān)系如圖所示，則小輝從家去圖書館的速度和從圖書館回家的速度分別為（）

B.80/2?/inin,90/x/min

C.75"〃min,100m/minD.80/n/min,100/n/min

【解答】解：由題意，得:

小輝從家去圖書館的速度為：1500:20=75（加/加〃）；

小輝從圖書館回家的速度為：1500+（70-55）=100（〃?/加加）.

故選：C.

二、填空題（每小題3分，共計30分）

11.（3分）（2021?哈爾濱）火星赤道半徑約為3396000米，用科學(xué)記數(shù)法表示為_3.396xl（）6

米.

［解答］解：3396000=3.396xlO6.

故答案是：3.396xlO6.

12.（3分）（2021?哈爾濱）在函數(shù)y^中，自變量x的取值范圍是

?lx-57

【解答】解：7x-5wO,x^—.

7

故答案為：XH*.

7

13.（3分）（2021?哈爾濱）己知反比例函數(shù)y=4的圖象經(jīng)過點（2,-5）,則4的值為_-10

X

【解答】解：?.■反比例函數(shù)），=V的圖象經(jīng)過點（2-5）,

X

k=2x（—5）=—10,

故答案為：-10.

14.（3分）（2021?哈爾濱）計算加-2/的結(jié)果是_2忘_.

【解答】解：原式=3a-2x變

2

=30

=2>/2.

故答案為：2夜.

15.（3分）（2021?哈爾濱）把多項式〃“一25。分解因式的結(jié)果是_h（a+5）（a-5）_.

【解答】解：a2b-25b

=b（a2-25）

=b（a+5）（。-5）.

故答案為：+5）（。一5）.

16.（3分）（2021?哈爾濱）二次函數(shù)y=-3d—2的最大值為2_.

【解答】解：在二次函數(shù)），=-3尤2一2中，

?.?頂點坐標為（0,-2）,

且a=—3<0,

拋物線開口向下，

.,?二次函數(shù)y=-3x2-2的最大值為-2.

故答案為：—2.

17.（3分）（2021?哈爾濱）不等式組的解集是_》<3

x-5?10

【解答】解：解不等式3%-7V2,得：x<3,

解不等式X-5“10,得：冗,15,

則不等式組的解集為xv3,

故答案為：x<3.

18.（3分）（2021?哈爾濱）四邊形A58是平行四邊形，AB=6,的平分線交直線8C

于點￡,若CE=2,則口ABC。的周長為20或28.

【解答】解：當E點在線段5c上時，如圖：

BEC

v四邊形ABCO為平行四邊形，

??.BC//AD,

:.ZBEA=ZEAD,

???AE平分N84D,

:.ZBAE=ZEAD,

:.ZBEA=ZBAE,

;.BE=AB,

???AB=6,

BE=6，

???CE=2,

BC=BE+CE=6+2=8,

平行四邊形A3C￡)的周長為：2x(6+8)=28,

當E點在線段BC延長線上時，如圖：

BCE

???四邊形ABCD為平行四邊形,

/.BC//AD,

:.ZBEA=ZEAD,

?.4￡平分二區(qū)40，

:.ZBAE=ZEAD,

:.ZBEA=ZJBAE,

BE=ABf

???AB=6,

/.BE=6，

?.?CE=2,

BC=BE—CE=6—2=4,

二.平行四邊形ABC。的周長為：2x（6+4）=20,

綜上，平行四邊形MCD的周長為20或28.

故答案為20或28.

19.（3分）（2021?哈爾濱）一,個扇形的弧長是8萬cm,圓心角是144。，則此扇形的半徑是10

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rem,由題意得,

144〃rc

-----二84,

180

解得r=10(cm)，

故答案為：10.

20.（3分）（2021?哈爾濱）如圖，矩形45co的對角線AC,NO相交于點O,過點O作

OELBC,垂足為點石，過點A作AF_LO3,垂足為點尸.若BC=2AF,OD=6,則BE

的長為_3幣＞

【解答】解：?.?四邊形是矩形,

：.OA=OB=OC=OD,

???OE1.BC,

:.BE=CE,ABOE=/COE,

又???3C=2AF,

???AF=BE,

在RtAAFO和RtABEO中，

(AF=BE

[AO=BO'

..RtAAFO^RtABEO(HL),

/.ZAOF=/BOE,

ZAOF=ZBOE=ZCOE,

又?.?NAOF+ZBOE+ZCOE=180°,

:./BOE=60。,

?.?OB=OD=6,

/.BF=O5sin60°=6x—=3^,

2

故答案為：373.

三、解答題（其中21?22題各7分，23?2題各8分，25?27題各10分，共計60分）

21.（7分）（2021?哈爾濱）先化簡，再求代數(shù)式（二一-竺？）+，-的值，其中4=201145。-1.

a-\a-1a-\

2。+3ci—

【解答】解：原式

a-\a(Q-1)(Q+1)a

_32。+3

aa(a+I)

3(〃+1)2a+3

〃(4+l)。(。+1)

3a+3—2a—3

一_a(a+\)―

a(a+1)

1

^+T

當a=2sin45°-l=2x也一1=&-1時,

2

原式日考

22.（7分）（2021?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，^ABC

的頂點和線段DE的端點均在小正方形的頂點上.

（1）在方格紙中將AA8c向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后得到AMNP

（點A的對應(yīng)點是點M,點3的對應(yīng)點是點N,點C的對應(yīng)點是點P）,請畫出&WWP；

（2）在方格紙中畫出以3E為斜邊的等腰直角三角形。防（點尸在小正方形的頂點上）.連

接EP,請直接寫出線段EP的長.

23.（8分）（2021?哈爾濱）春寧中學(xué)開展以“我最喜歡的冰雪運動項目”為主題的調(diào)查活

動，圍繞“在冰球、冰壺、短道速滑、高山滑雪四種冰雪運動項目中，你最喜歡哪一種？（必

選且只選一種）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理

后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡短道速滑的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的

40%.請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）請通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若春寧中學(xué)共有1500名學(xué)生，請你估計該中學(xué)最喜歡高山滑雪的學(xué)生共有多少名.

人數(shù)

20

16

16

12

12

S

4

冰

冰

短

高

壺

球

山

道運動項目

滑

速

雪

滑

【解答】解：（1）本次調(diào)查共抽取的學(xué)生數(shù)有：24+40%=60（名）；

（2）最喜歡冰球項目的人數(shù)有：60-16-24-12=8（名），補全統(tǒng)計圖如下:

冰

冰

短

高

球

壺

道

山運動項目

速

滑

滑

雪

（3）根據(jù)題意得：

12

1500x—=300（名），

60

答：估計該中學(xué)最喜歡高山滑雪的學(xué)生共有300名.

24.（8分）（2021?哈爾濱）已知四邊形A5CD是正方形，點E在邊D4的延長線上，連接CE

交AB于點G,過點5作a0LCE,垂足為點M,3M的延長線交4）于點尸，交CD的

延長線于點H.

（1）如圖1,求證：CE=BH；

（2）如圖2,若連接CN,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的

四個三角形（A4EG除外），使寫出的每個三角形都與AA￡G全等.

【解答】證明：（1）???四邊形ABCD是正方形,

:.BC=CD=AD=AB,ZBCD=ZADC=90°,

?;BM工CE,

/.ZHMC=ZADC=90°f

/.ZH+Z//CM=90°ZE+ZECD，

.,.ZH=ZE,

在A￡DC和AHCB中，

ZE=/H

</EDC=NHCB=90。,

CD=BC

\EDC=\HCB{AAS），

:.CE=BH；

（2）ABCG,ADCF,NDHF,MBF,

理由如下：\'AE=AB,

:.AE=BC=AD=CD,

???AEDC3AHC8,

:.ED=HC,

\AD=CDf

;.AE=HD=CD=AB,

在AAEG和ABCG中，

/EAG=NCBG=90。

<ZAG￡=4BGC,

AE=BC

MEG三ABCG(AAS),

AG=BG=-AB,

2

同理可證A4EB三由用，

AF=DF=-AD,

2

/.AG=AF^DF,

在AAEG和A4班1中，

AE=AB

<ZEAG=ZBAF=900,

AG=AF

:.^EG=MBF(SAS),

同理可證AAEG三ADHF,AAEG=ADCF.

25.(10分)(2021?哈爾濱)君輝中學(xué)計劃為書法小組購買某種品牌的4、B兩種型號的毛

筆.若購買3支A種型號的毛筆和1支3種型號的毛筆需用22元；若購買2支A種型號的

毛筆和3支8種型號的毛筆需用24元.

(1)求每支A種型號的毛筆和每支B種型號的毛筆各多少元；

(2)君輝中學(xué)決定購買以上兩種型號的毛筆共80支，總費用不超過420元，那么該中學(xué)最

多可以購買多少支A種型號的毛筆？

【解答】解：(1)設(shè)每支A種型號的毛筆x元，每支3種型號的毛筆y元；

3x+y=22

由題意可得:

2x+3y=24

.[x=6

解得：\,

[y=4

答:每支A種型號的毛筆6元，每支3種型號的毛筆4元；

(2)設(shè)A種型號的毛筆為。支，

由題意可得：6a+4(80-a)?420,

解得：4,50,

答：最多可以購買50支4種型號的毛筆.

26.(10分)(2021?哈爾濱)已知0O是A48c的外接圓，A3為OO的直徑，點N為AC的

中點，連接QV并延長交。O于點E,連接BE,BE交AC于點、D.

(1)如圖1,求證：NC￡>E+，N8AC=135。；

2

(2)如圖2,過點。作DG_L8E,Z)G交AB于點尸，交。。于點G,連接OG,OD,

若DG=BD,求證：OGHAC-.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AG,若。N=2且，求AG的長.

5

圖1圖2圖3

:.ZBAP=NCAP,

?.?點N為AC的中點,

AE=CE,

:.ZABE=/CBE,

???AB是。。的直徑，

/.ZC=90°,

/.ZBAC+ZABC=90°,

ZQAB+4QBA=1x90°=45°,

/.ZAQB=NEQP=135。，

AAQ。中，ZEQP=NG4P+ZADQ=135°,

NCDE+-ABAC=135°;

2

(2)證明：在ADGO和AZMO中,

DG=BD

<OD=OD,

OG=OB

??.XXX)三XDBO(SSS),

:.ZABD=ZDGO9

-.DGA.BE,

/.ZGZ)B=90°,

二ZADG+4BDC=90°，

??,ZBDC+/CBE=9Cf,

;.ZADG=NCBE=ZABD=NDGO,

\OGHADx

(3)解：如圖3,過點G作GK_LAC于K,延長GO交3C于點”,

圖3

由(2)知：OG//AC,

:.GH//AC9

NOHB=/C=90。,

OH1BC,

:.BH=CH,

???NK=NC=NOHC=9Q°,

???四邊形G〃CK是矩形，

:.CH=GK,

設(shè)GK=y,則8C=2y,ON=GK=y,

由(2)知：ZADG=/DBC,

在AGKD和ADCB中，

ZADG=NDBC

<NK=NC，

DG=BD

/.AGKD=ADCB(A4S),

:.GK=DC=y,

?;OE/IBC,

:"E=/DBC,

.,.tanZDBC=tanE,

2逐

:.生=處,即二工，

BCEN2yEN

.口z4石

..EN=---,

5

2R

...A/V=CN=y+-^",ON=y,

由勾股定理得：AO2=ON2+AN2,

，(>+季)2=9+()，+攣)2,

27.(10分)(2021?哈爾濱)在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線》=0^+法

經(jīng)過4(10,0),B(1,6)兩點，直線y=2x-4與x軸交于點C,與y軸交于點。，點P為

直線y=2x-4上的一個動點，連接R4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當點P在第一象限時，設(shè)